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1 如图，$∠ A=40°$，$∠ CBD$ 是 $△ ABC$ 的外角，$∠ CBD=120°$，则 $∠ C$ 的度数是（
A.$90°$
B.$80°$
C.$60°$
D.$40°$
（第1题）
B
）A.$90°$
B.$80°$
C.$60°$
D.$40°$
（第1题）答案
1.B
解析
【分析】
解题时可以优先选择三角形外角的性质简化计算：首先明确三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，本题中∠CBD是△ABC的外角，与它不相邻的两个内角为∠A和∠C，已知两个角的度数，直接代入性质公式即可求出∠C；也可以先通过邻补角求出∠ABC，再用三角形内角和计算，两种方法均符合所学知识。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ CBD = ∠ A + ∠ C$
将$∠ A=40°$，$∠ CBD=120°$代入上式：
$∠ C = ∠ CBD - ∠ A = 120° - 40° = 80°$
（也可通过内角和验证：$∠ ABC=180°-120°=60°$，$∠ C=180°-40°-60°=80°$）
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形外角性质的理解和运用，只要明确外角与不相邻内角的对应关系，就能快速得出结果，也可通过内角和的方法检验答案是否正确。
【难度系数】
0.9
解题时可以优先选择三角形外角的性质简化计算：首先明确三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，本题中∠CBD是△ABC的外角，与它不相邻的两个内角为∠A和∠C，已知两个角的度数，直接代入性质公式即可求出∠C；也可以先通过邻补角求出∠ABC，再用三角形内角和计算，两种方法均符合所学知识。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ CBD = ∠ A + ∠ C$
将$∠ A=40°$，$∠ CBD=120°$代入上式：
$∠ C = ∠ CBD - ∠ A = 120° - 40° = 80°$
（也可通过内角和验证：$∠ ABC=180°-120°=60°$，$∠ C=180°-40°-60°=80°$）
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形外角性质的理解和运用，只要明确外角与不相邻内角的对应关系，就能快速得出结果，也可通过内角和的方法检验答案是否正确。
【难度系数】
0.9
2（易错题）下列说法错误的是 （
A.一个三角形中至少有两个锐角
B.一个三角形中，一个外角大于任意一个内角
C.三角形的外角和等于$360°$
D.若一个三角形有一个外角为锐角，则这个三角形一定是钝角三角形
B
）A.一个三角形中至少有两个锐角
B.一个三角形中，一个外角大于任意一个内角
C.三角形的外角和等于$360°$
D.若一个三角形有一个外角为锐角，则这个三角形一定是钝角三角形
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查三角形内角与外角的相关性质，解题时需结合所学定理逐一验证每个选项的正误。首先回忆相关核心性质：三角形内角和为180°，任意多边形外角和恒为360°，三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。接下来按选项逐一推导：①验证A选项可结合内角和定理，判断三角形锐角的最少个数；②验证B选项需注意外角和相邻内角的互补关系，判断外角是否大于所有内角；③验证C选项直接用多边形外角和结论即可；④验证D选项可通过外角的大小反推相邻内角的类型，进而判断三角形形状。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：三角形内角和为180°，若三角形只有1个锐角，则剩余两个角均≥90°，三个内角之和会大于180°，不符合内角和定理，因此一个三角形至少有两个锐角，A说法正确，不符合题意。
选项B：三角形的外角仅大于与它不相邻的内角，外角和相邻内角互补，若相邻内角为钝角，对应的外角为锐角，此时外角小于该相邻内角，因此“外角大于任意一个内角”的说法错误，符合题意。
选项C：任意多边形的外角和均为360°，三角形属于多边形，因此外角和等于360°，C说法正确，不符合题意。
选项D：若三角形有一个外角为锐角，则与该外角相邻的内角为180°-锐角=钝角，有一个内角为钝角的三角形是钝角三角形，D说法正确，不符合题意。
综上，本题选错误的说法，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；多边形外角和
【点评】
本题是典型的概念易错题，易错点是容易忽略三角形外角“大于不相邻内角”的前提，误以为外角大于所有内角，解题时要注意结合特殊情况（如钝角三角形的钝角对应的外角）验证结论，避免概念记混。
【难度系数】
0.75
这道题考查三角形内角与外角的相关性质，解题时需结合所学定理逐一验证每个选项的正误。首先回忆相关核心性质：三角形内角和为180°，任意多边形外角和恒为360°，三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。接下来按选项逐一推导：①验证A选项可结合内角和定理，判断三角形锐角的最少个数；②验证B选项需注意外角和相邻内角的互补关系，判断外角是否大于所有内角；③验证C选项直接用多边形外角和结论即可；④验证D选项可通过外角的大小反推相邻内角的类型，进而判断三角形形状。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：三角形内角和为180°，若三角形只有1个锐角，则剩余两个角均≥90°，三个内角之和会大于180°，不符合内角和定理，因此一个三角形至少有两个锐角，A说法正确，不符合题意。
选项B：三角形的外角仅大于与它不相邻的内角，外角和相邻内角互补，若相邻内角为钝角，对应的外角为锐角，此时外角小于该相邻内角，因此“外角大于任意一个内角”的说法错误，符合题意。
选项C：任意多边形的外角和均为360°，三角形属于多边形，因此外角和等于360°，C说法正确，不符合题意。
选项D：若三角形有一个外角为锐角，则与该外角相邻的内角为180°-锐角=钝角，有一个内角为钝角的三角形是钝角三角形，D说法正确，不符合题意。
综上，本题选错误的说法，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；多边形外角和
【点评】
本题是典型的概念易错题，易错点是容易忽略三角形外角“大于不相邻内角”的前提，误以为外角大于所有内角，解题时要注意结合特殊情况（如钝角三角形的钝角对应的外角）验证结论，避免概念记混。
【难度系数】
0.75
3 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=80°$,沿图中虚线截去$∠ C$,则$∠ 1+∠ 2$等于（
A.$360°$
B.$260°$
C.$180°$
D.$140°$
B
）A.$360°$
B.$260°$
C.$180°$
D.$140°$
答案
3.B
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先明确已知条件是△ABC中∠C=80°，要求截去∠C后的∠1+∠2的度数。首先可以利用三角形内角和定理求出△ABC中另外两个内角∠A+∠B的和；再观察截去∠C后剩下的图形是四边形，四边形的内角和为360°，用四边形内角和减去∠A与∠B的和，就能求出∠1+∠2的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=80°$，代入得：
$∠ A + ∠ B = 180° - 80° = 100°$
截去∠C后剩余图形是四边形，四边形内角和为$360°$，即：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A + ∠ B = 360°$
将$∠ A + ∠ B=100°$代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 100° = 260°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，四边形内角和
【点评】
本题是内角和定理的基础应用，解题的关键是准确判断截去角后剩余图形的形状，理清已知角和所求角的数量关系，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.85
拿到这道题，我们首先明确已知条件是△ABC中∠C=80°，要求截去∠C后的∠1+∠2的度数。首先可以利用三角形内角和定理求出△ABC中另外两个内角∠A+∠B的和；再观察截去∠C后剩下的图形是四边形，四边形的内角和为360°，用四边形内角和减去∠A与∠B的和，就能求出∠1+∠2的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=80°$，代入得：
$∠ A + ∠ B = 180° - 80° = 100°$
截去∠C后剩余图形是四边形，四边形内角和为$360°$，即：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A + ∠ B = 360°$
将$∠ A + ∠ B=100°$代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 100° = 260°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，四边形内角和
【点评】
本题是内角和定理的基础应用，解题的关键是准确判断截去角后剩余图形的形状，理清已知角和所求角的数量关系，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.85
4 教材P16习题T1变式 根据如图所示的图形直接写出∠α的度数.
（1）如图①，∠α=
（2）如图②，∠α=
（3）如图③，∠α=
（1）如图①，∠α=
60°
；（2）如图②，∠α=
30°
；（3）如图③，∠α=
70°
.答案
4. (1) 60° (2) 30° (3) 70°
解析
【分析】
解决本题需要用到邻补角和为180°、三角形内角和为180°、三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和这三类性质。针对三个图形的解题思路如下：
1. 图①：先求出140°角的邻补角（即三角形的一个内角），再利用三角形外角性质计算∠α；
2. 图②：利用三角形内角和为180°，将大三角形三个内角相加列等式求解∠α；
3. 图③：利用三角形外角性质，135°的角等于与它不相邻的20°、45°和∠α的和，列式计算得到∠α。
【解析】
（1）图①中：
140°角的邻补角为：$180°-140°=40°$
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：$100°=40°+∠α$
解得：$∠α=100°-40°=60°$
（2）图②中：
根据三角形内角和为$180°$，大三角形三个内角分别为$70°$、$60°$、$(20°+∠α)$，可得：
$70°+60°+20°+∠α=180°$
解得：$∠α=180°-150°=30°$
（3）图③中：
根据三角形外角的性质，$135°$的角等于与它不相邻的三个内角$20°$、$45°$、$∠α$的和，可得：
$135°=20°+45°+∠α$
解得：$∠α=135°-65°=70°$
【答案】
（1）$60°$；（2）$30°$；（3）$70°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，结合对应性质列式计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
解决本题需要用到邻补角和为180°、三角形内角和为180°、三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和这三类性质。针对三个图形的解题思路如下：
1. 图①：先求出140°角的邻补角（即三角形的一个内角），再利用三角形外角性质计算∠α；
2. 图②：利用三角形内角和为180°，将大三角形三个内角相加列等式求解∠α；
3. 图③：利用三角形外角性质，135°的角等于与它不相邻的20°、45°和∠α的和，列式计算得到∠α。
【解析】
（1）图①中：
140°角的邻补角为：$180°-140°=40°$
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：$100°=40°+∠α$
解得：$∠α=100°-40°=60°$
（2）图②中：
根据三角形内角和为$180°$，大三角形三个内角分别为$70°$、$60°$、$(20°+∠α)$，可得：
$70°+60°+20°+∠α=180°$
解得：$∠α=180°-150°=30°$
（3）图③中：
根据三角形外角的性质，$135°$的角等于与它不相邻的三个内角$20°$、$45°$、$∠α$的和，可得：
$135°=20°+45°+∠α$
解得：$∠α=135°-65°=70°$
【答案】
（1）$60°$；（2）$30°$；（3）$70°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，结合对应性质列式计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
5 如图，直线$a // b$，若$∠ 1 = 110°$，$∠ 2 = 60°$，则$∠ 3$的度数为________。
答案
5. 50°
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知直线a//b，首先利用平行线的性质得到与∠1相等的同位角，该角是包含∠3的小三角形的外角；再结合对顶角相等的性质，得到∠2的对顶角与∠2度数相等；最后根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 直线a//b，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1的同位角（即上方小三角形的外角）=∠1=110°。
∵ 对顶角相等，
∴ 该三角形中与∠2为对顶角的内角度数=∠2=60°。
根据三角形外角的性质，外角等于不相邻的两个内角和，可得：
110°=∠3+60°
解得∠3=110°-60°=50°
【答案】
$\boxed{50°}$
【知识点】
平行线的性质，对顶角相等，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了平行线、对顶角和三角形外角的相关知识，解题的核心是准确识别出三角形的外角以及对应的不相邻内角，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知直线a//b，首先利用平行线的性质得到与∠1相等的同位角，该角是包含∠3的小三角形的外角；再结合对顶角相等的性质，得到∠2的对顶角与∠2度数相等；最后根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 直线a//b，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1的同位角（即上方小三角形的外角）=∠1=110°。
∵ 对顶角相等，
∴ 该三角形中与∠2为对顶角的内角度数=∠2=60°。
根据三角形外角的性质，外角等于不相邻的两个内角和，可得：
110°=∠3+60°
解得∠3=110°-60°=50°
【答案】
$\boxed{50°}$
【知识点】
平行线的性质，对顶角相等，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了平行线、对顶角和三角形外角的相关知识，解题的核心是准确识别出三角形的外角以及对应的不相邻内角，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6 一题多解 如图，DF分别交$△ ABC$的边AB，AC于点D，E，交BC的延长线于点F，$∠ B=67°$，$∠ ACB=74°$，$∠ AED=48°$. 求$∠ BDF$的度数.
答案
6. 解法一: $\because ∠CEF=∠AED=48°,∠ACB=∠CEF+∠F$,
$\therefore ∠F=∠ACB-∠CEF=74°-48°=26°. \therefore ∠BDF=180°-∠B-∠F=180°-67°-26°=87°$
解法二: $\because ∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°$,
$\therefore ∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°$
$\therefore ∠F=∠ACB-∠CEF=74°-48°=26°. \therefore ∠BDF=180°-∠B-∠F=180°-67°-26°=87°$
解法二: $\because ∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°$,
$\therefore ∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°$
解析
【分析】
本题可从两种思路入手求解：思路1：先根据对顶角相等得到∠CEF的度数，再利用三角形外角的性质求出∠F的度数，最后在△BDF中根据三角形内角和为180°计算∠BDF的度数；思路2：先在△ABC中利用内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质，直接得到∠BDF等于∠A与∠AED的和，进而算出结果。
【解析】
解法一：
∵ ∠CEF与∠AED是对顶角，
∴ ∠CEF=∠AED=48°，
∵ ∠ACB是△CEF的外角，
∴ ∠ACB=∠CEF+∠F，
∴ ∠F=∠ACB-∠CEF=74°-48°=26°，
在△BDF中，∠BDF+∠B+∠F=180°，
∴ ∠BDF=180°-∠B-∠F=180°-67°-26°=87°。
解法二：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°，
∵ ∠BDF是△ADE的外角，
∴ ∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°。
【答案】
87°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，一题多解的设置可以帮助我们灵活运用三角形相关的角度性质，解题时注意观察图形中角的位置关系，选择合适的方法能简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题可从两种思路入手求解：思路1：先根据对顶角相等得到∠CEF的度数，再利用三角形外角的性质求出∠F的度数，最后在△BDF中根据三角形内角和为180°计算∠BDF的度数；思路2：先在△ABC中利用内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质，直接得到∠BDF等于∠A与∠AED的和，进而算出结果。
【解析】
解法一：
∵ ∠CEF与∠AED是对顶角，
∴ ∠CEF=∠AED=48°，
∵ ∠ACB是△CEF的外角，
∴ ∠ACB=∠CEF+∠F，
∴ ∠F=∠ACB-∠CEF=74°-48°=26°，
在△BDF中，∠BDF+∠B+∠F=180°，
∴ ∠BDF=180°-∠B-∠F=180°-67°-26°=87°。
解法二：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°，
∵ ∠BDF是△ADE的外角，
∴ ∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°。
【答案】
87°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，一题多解的设置可以帮助我们灵活运用三角形相关的角度性质，解题时注意观察图形中角的位置关系，选择合适的方法能简化计算过程。
【难度系数】
0.8
7 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角. 若∠ACD = 135°，则∠BAE + ∠CBF = 
225°
. 答案
7. 225°
解析
【分析】
解题可优先用更简便的思路：我们知道任意三角形的三个外角之和为360°，题中已经给出三个外角中的∠ACD=135°，要求另外两个外角的和，直接用三个外角的总度数减去已知外角的度数就可以得到结果。也可以通过邻补角性质、三角形内角和定理推导计算，两种方法均可求解。
【解析】
根据三角形外角和定理：三角形的三个外角的和为$360°$，可得：
$∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD = 360°$
已知$∠ ACD=135°$，代入上式计算：
$∠ BAE + ∠ CBF = 360° - 135° = 225°$
【答案】
$225°$
【知识点】
三角形外角和定理、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题属于基础类几何计算题，直接运用三角形外角和定理就能快速得出结果，熟练掌握三角形内外角的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题可优先用更简便的思路：我们知道任意三角形的三个外角之和为360°，题中已经给出三个外角中的∠ACD=135°，要求另外两个外角的和，直接用三个外角的总度数减去已知外角的度数就可以得到结果。也可以通过邻补角性质、三角形内角和定理推导计算，两种方法均可求解。
【解析】
根据三角形外角和定理：三角形的三个外角的和为$360°$，可得：
$∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD = 360°$
已知$∠ ACD=135°$，代入上式计算：
$∠ BAE + ∠ CBF = 360° - 135° = 225°$
【答案】
$225°$
【知识点】
三角形外角和定理、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题属于基础类几何计算题，直接运用三角形外角和定理就能快速得出结果，熟练掌握三角形内外角的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
8 如图，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，CE交BA的延长线于点E。若$∠ ABC=20°$，$∠ E=35°$，则$∠ BAC$的度数是 （
A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
B
）A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
答案
8. B
解析
【分析】
解题时可按照三步推导：第一步，先利用三角形外角的性质，在△BCE中求出∠ECD的度数；第二步，结合角平分线的定义，得到△ABC的外角∠ACD的度数；第三步，再次利用三角形外角的性质，由∠ACD和∠ABC的度数计算出∠BAC的度数即可。
【解析】
1. 在△BCE中，∠ECD是△BCE的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，可得：
$∠ ECD = ∠ B + ∠ E = 20° + 35° = 55°$
2. 因为CE是$∠ ACD$的平分线，所以$∠ ACD = 2∠ ECD = 2×55° = 110°$
3. 又因为$∠ ACD$是△ABC的外角，同理可得$∠ ACD = ∠ B + ∠ BAC$，变形得：
$∠ BAC = ∠ ACD - ∠ B = 110° - 20° = 90°$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查三角形外角性质和角平分线定义的综合运用，解题时只需找准外角对应的不相邻内角，逐步推导即可得出结果，是三角形外角部分的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时可按照三步推导：第一步，先利用三角形外角的性质，在△BCE中求出∠ECD的度数；第二步，结合角平分线的定义，得到△ABC的外角∠ACD的度数；第三步，再次利用三角形外角的性质，由∠ACD和∠ABC的度数计算出∠BAC的度数即可。
【解析】
1. 在△BCE中，∠ECD是△BCE的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，可得：
$∠ ECD = ∠ B + ∠ E = 20° + 35° = 55°$
2. 因为CE是$∠ ACD$的平分线，所以$∠ ACD = 2∠ ECD = 2×55° = 110°$
3. 又因为$∠ ACD$是△ABC的外角，同理可得$∠ ACD = ∠ B + ∠ BAC$，变形得：
$∠ BAC = ∠ ACD - ∠ B = 110° - 20° = 90°$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查三角形外角性质和角平分线定义的综合运用，解题时只需找准外角对应的不相邻内角，逐步推导即可得出结果，是三角形外角部分的典型常考题。
【难度系数】
0.7
