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9 如图，D是BC的中点，AE，AF分别是$△ ABC$的角平分线、高，则下列结论正确的是（
A.$AD=CD$
B.$∠ CAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AEB=90°$
D.$DF=CF$
B
）A.$AD=CD$
B.$∠ CAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AEB=90°$
D.$DF=CF$
答案
9. B
解析
【分析】
解决本题需要紧扣三角形中线、角平分线、高的定义，结合题目给出的已知条件逐一判断选项正误。首先明确已知条件：D是BC中点，故AD是△ABC的中线，可得BD=CD；AE是△ABC的角平分线，可得AE平分∠BAC；AF是△ABC的高，可得AF⊥BC。再对应每个选项核对是否符合上述性质即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. AD是△ABC的中线，仅能得到BD=CD，只有当△ABC为直角三角形且∠BAC=90°时才有AD=CD，题目未说明△ABC是特殊三角形，该结论不成立，故A错误；
B. 根据角平分线的定义：三角形的角平分线将对应顶角分成两个相等的角，AE是∠BAC的角平分线，因此∠CAE=∠BAE=$\dfrac{1}{2}∠BAC$，该结论成立，故B正确；
C. 已知AF是△ABC的高，故∠AFB=∠AFC=90°，AE是角平分线不是高，因此∠AEB不一定等于90°，故C错误；
D. D是BC中点，F是高与BC的垂足，仅当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，AF与中线AD重合，此时才有DF=CF，题目未说明△ABC是等腰三角形，该结论不成立，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，解题的核心是准确掌握三角形三类重要线段的定义和性质，不要混淆不同线段的特征。
【难度系数】
0.8
解决本题需要紧扣三角形中线、角平分线、高的定义，结合题目给出的已知条件逐一判断选项正误。首先明确已知条件：D是BC中点，故AD是△ABC的中线，可得BD=CD；AE是△ABC的角平分线，可得AE平分∠BAC；AF是△ABC的高，可得AF⊥BC。再对应每个选项核对是否符合上述性质即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. AD是△ABC的中线，仅能得到BD=CD，只有当△ABC为直角三角形且∠BAC=90°时才有AD=CD，题目未说明△ABC是特殊三角形，该结论不成立，故A错误；
B. 根据角平分线的定义：三角形的角平分线将对应顶角分成两个相等的角，AE是∠BAC的角平分线，因此∠CAE=∠BAE=$\dfrac{1}{2}∠BAC$，该结论成立，故B正确；
C. 已知AF是△ABC的高，故∠AFB=∠AFC=90°，AE是角平分线不是高，因此∠AEB不一定等于90°，故C错误；
D. D是BC中点，F是高与BC的垂足，仅当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，AF与中线AD重合，此时才有DF=CF，题目未说明△ABC是等腰三角形，该结论不成立，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，解题的核心是准确掌握三角形三类重要线段的定义和性质，不要混淆不同线段的特征。
【难度系数】
0.8
10（易错题）有下列说法:① 三角形的角平分线是射线;② 三角形的三条角平分线都在三角形内部且相交于一点;③ 三角形的三条高都在三角形的内部;④ 三角形的一条中线把该三角形分成两个等底同高的小三角形.其中,正确的是
②④
（填序号）.答案
10. ②④
解析
【分析】
本题主要考查三角形的角平分线、中线、高的概念与性质，解题思路为逐个辨析4个说法的正误：首先回忆三类线段的定义、位置特征，再结合不同类型三角形的特点逐一判断，最终选出正确的序号。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
1. 关于说法①：三角形的角平分线是三角形内角的平分线与对边相交后，顶点到交点之间的线段，射线是角本身的平分线，因此①错误；
2. 关于说法②：无论锐角、直角、钝角三角形，三条角平分线都位于三角形内部，且交于同一点，因此②正确；
3. 关于说法③：只有锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此③错误；
4. 关于说法④：三角形的中线会将对边分为长度相等的两段，因此分成的两个小三角形底相等，且高均为原三角形对应底边上的高，属于等底同高，因此④正确。
综上，正确的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是易错题，易错点主要有两处：一是混淆三角形的角平分线和角的平分线的类型（前者是线段，后者是射线）；二是忽略不同类型三角形高的位置差异，误认所有三角形的高都在内部。解题时要结合概念分情况辨析，避免思维定式。
【难度系数】
0.7
本题主要考查三角形的角平分线、中线、高的概念与性质，解题思路为逐个辨析4个说法的正误：首先回忆三类线段的定义、位置特征，再结合不同类型三角形的特点逐一判断，最终选出正确的序号。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
1. 关于说法①：三角形的角平分线是三角形内角的平分线与对边相交后，顶点到交点之间的线段，射线是角本身的平分线，因此①错误；
2. 关于说法②：无论锐角、直角、钝角三角形，三条角平分线都位于三角形内部，且交于同一点，因此②正确；
3. 关于说法③：只有锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此③错误；
4. 关于说法④：三角形的中线会将对边分为长度相等的两段，因此分成的两个小三角形底相等，且高均为原三角形对应底边上的高，属于等底同高，因此④正确。
综上，正确的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是易错题，易错点主要有两处：一是混淆三角形的角平分线和角的平分线的类型（前者是线段，后者是射线）；二是忽略不同类型三角形高的位置差异，误认所有三角形的高都在内部。解题时要结合概念分情况辨析，避免思维定式。
【难度系数】
0.7
11 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是
点D
。答案
11. 点D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此我们只需找到△ABC的任意两条中线，它们的交点就是△ABC的重心。首先观察网格特征，确定△ABC两条边的中点，画出对应中线，判断中线经过的已知点即可得到答案。
【解析】
根据三角形重心的定义可知，重心是三角形三条中线的交点。
第一步：找到BC边的中点，连接点A与BC边的中点，得到BC边上的中线；
第二步：找到AB边的中点，连接点C与AB边的中点，得到AB边上的中线；
观察网格可得，上述两条中线的交点为点D，因此点D就是△ABC的重心。
【答案】
点D
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题考查三角形重心的识别，解题关键是牢记重心是三角形三条中线的交点，结合网格特征很容易找到两条中线的交点，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此我们只需找到△ABC的任意两条中线，它们的交点就是△ABC的重心。首先观察网格特征，确定△ABC两条边的中点，画出对应中线，判断中线经过的已知点即可得到答案。
【解析】
根据三角形重心的定义可知，重心是三角形三条中线的交点。
第一步：找到BC边的中点，连接点A与BC边的中点，得到BC边上的中线；
第二步：找到AB边的中点，连接点C与AB边的中点，得到AB边上的中线；
观察网格可得，上述两条中线的交点为点D，因此点D就是△ABC的重心。
【答案】
点D
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题考查三角形重心的识别，解题关键是牢记重心是三角形三条中线的交点，结合网格特征很容易找到两条中线的交点，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
12 如图，$AB⊥BD$于点$B$，$AC⊥CD$于点$C$，且$AC$与$BD$相交于点$E$，则$△ ADE$的边$DE$上的高是
（第12题）（第13题）
线段AB
，边$AE$上的高是线段DC
；若$AE=5$，$DE=2$，$CD=\frac{9}{5}$，则$AB=$$\frac{9}{2}$
。（第12题）（第13题）
答案
12. 线段AB 线段DC $\frac{9}{2}$
解析
【分析】
解题思路分为两部分：首先依据三角形高的定义判断对应边上的高，再利用等面积法计算AB的长度。①回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高。判断DE边上的高时，找顶点A向DE所在直线BD作的垂线，结合AB⊥BD的条件，可得AB是DE边上的高；判断AE边上的高时，找顶点D向AE所在直线AC作的垂线，结合CD⊥AC的条件，可得CD是AE边上的高。②求AB时，△ADE的面积可分别以DE、AE为底，对应高为AB、CD计算，两种方式计算的面积相等，代入已知数值列等式即可求解。
【解析】
1. 识别△ADE的高：
边DE在直线BD上，已知$AB⊥BD$，即AB垂直于DE所在直线，A是△ADE的顶点，垂足为B，因此边DE上的高是线段AB。
边AE在直线AC上，已知$AC⊥CD$，即CD垂直于AE所在直线，D是△ADE的顶点，垂足为C，因此边AE上的高是线段DC。
2. 计算AB的长度：
根据三角形面积公式，△ADE的面积可表示为：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × DE × AB$，也可表示为$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AE × CD$
联立两个等式得：$\frac{1}{2} × DE × AB = \frac{1}{2} × AE × CD$，化简得$DE · AB = AE · CD$
代入$AE=5$，$DE=2$，$CD=\frac{9}{5}$：
$2 × AB = 5 × \frac{9}{5}$
解得$AB=\frac{9}{2}$。
【答案】
线段AB；线段DC；$\frac{9}{2}$
【知识点】
三角形高的定义；三角形面积公式；等面积法
【点评】
本题考查三角形高的识别和等面积法的应用，识别高时要结合垂直关系找准对应顶点和对边的垂线，等面积法是计算三角形内线段长度的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两部分：首先依据三角形高的定义判断对应边上的高，再利用等面积法计算AB的长度。①回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高。判断DE边上的高时，找顶点A向DE所在直线BD作的垂线，结合AB⊥BD的条件，可得AB是DE边上的高；判断AE边上的高时，找顶点D向AE所在直线AC作的垂线，结合CD⊥AC的条件，可得CD是AE边上的高。②求AB时，△ADE的面积可分别以DE、AE为底，对应高为AB、CD计算，两种方式计算的面积相等，代入已知数值列等式即可求解。
【解析】
1. 识别△ADE的高：
边DE在直线BD上，已知$AB⊥BD$，即AB垂直于DE所在直线，A是△ADE的顶点，垂足为B，因此边DE上的高是线段AB。
边AE在直线AC上，已知$AC⊥CD$，即CD垂直于AE所在直线，D是△ADE的顶点，垂足为C，因此边AE上的高是线段DC。
2. 计算AB的长度：
根据三角形面积公式，△ADE的面积可表示为：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × DE × AB$，也可表示为$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AE × CD$
联立两个等式得：$\frac{1}{2} × DE × AB = \frac{1}{2} × AE × CD$，化简得$DE · AB = AE · CD$
代入$AE=5$，$DE=2$，$CD=\frac{9}{5}$：
$2 × AB = 5 × \frac{9}{5}$
解得$AB=\frac{9}{2}$。
【答案】
线段AB；线段DC；$\frac{9}{2}$
【知识点】
三角形高的定义；三角形面积公式；等面积法
【点评】
本题考查三角形高的识别和等面积法的应用，识别高时要结合垂直关系找准对应顶点和对边的垂线，等面积法是计算三角形内线段长度的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
13 如图，BD是$△ ABC$的边AC上的中线，AE是$△ ABD$的边BD上的中线，BF是$△ ABE$的边AE上的中线.若$△ ABC$的面积是32，则涂色部分的面积是
12
.答案
13. 12 【解析】$\because$ BD 是$△ ABC$ 的边 AC 上的中线，
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 32=16. \because AE$ 是$△ ABD$的边BD上的中线, $\therefore S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=S_{△ BEC}=S_{△ DEC}=\frac{1}{2} × 16=8.$ 又$\because BF$ 是$△ ABE$ 的边 AE 上的中线,则 CF 是$△ ACE$ 的边 AE 上的中线, $\therefore S_{△ BEF}=S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × 8=4,S_{△ CEF}=S_{△ ACF}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=\frac{1}{2}(S_{△ ADE}+S_{△ CDE})=8. \therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ BEF}+S_{△ CEF}=4+8=12.$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 32=16. \because AE$ 是$△ ABD$的边BD上的中线, $\therefore S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=S_{△ BEC}=S_{△ DEC}=\frac{1}{2} × 16=8.$ 又$\because BF$ 是$△ ABE$ 的边 AE 上的中线,则 CF 是$△ ACE$ 的边 AE 上的中线, $\therefore S_{△ BEF}=S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × 8=4,S_{△ CEF}=S_{△ ACF}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=\frac{1}{2}(S_{△ ADE}+S_{△ CDE})=8. \therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ BEF}+S_{△ CEF}=4+8=12.$
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形中线的性质：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以顺着题目给出的中线条件，从面积已知的$△ ABC$出发，逐步推导各层级小三角形的面积，最后将涂色部分包含的两个三角形面积相加即可得到结果。
【解析】
$\because$ BD是$△ ABC$的边AC上的中线，
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×32=16$。
$\because$ AE是$△ ABD$的边BD上的中线，
$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×16=8$，同理可得$S_{△ BEC}=S_{△ DEC}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=8$。
又$\because$ BF是$△ ABE$的边AE上的中线，F是AE中点，因此CF也是$△ ACE$的边AE上的中线，
$\therefore S_{△ BEF}=S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×8=4$，
$S_{△ CEF}=S_{△ ACF}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=\frac{1}{2}(S_{△ ADE}+S_{△ CDE})=\frac{1}{2}×(8+8)=8$。
$\therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ BEF}+S_{△ CEF}=4+8=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查三角形中线和面积的关系，解题时需要多次运用“三角形中线将三角形分为面积相等的两部分”的性质，逐步推导各小三角形的面积，解题关键是准确识别每条中线对应的三角形，避免混淆面积关系。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是三角形中线的性质：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以顺着题目给出的中线条件，从面积已知的$△ ABC$出发，逐步推导各层级小三角形的面积，最后将涂色部分包含的两个三角形面积相加即可得到结果。
【解析】
$\because$ BD是$△ ABC$的边AC上的中线，
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×32=16$。
$\because$ AE是$△ ABD$的边BD上的中线，
$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×16=8$，同理可得$S_{△ BEC}=S_{△ DEC}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=8$。
又$\because$ BF是$△ ABE$的边AE上的中线，F是AE中点，因此CF也是$△ ACE$的边AE上的中线，
$\therefore S_{△ BEF}=S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×8=4$，
$S_{△ CEF}=S_{△ ACF}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=\frac{1}{2}(S_{△ ADE}+S_{△ CDE})=\frac{1}{2}×(8+8)=8$。
$\therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ BEF}+S_{△ CEF}=4+8=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查三角形中线和面积的关系，解题时需要多次运用“三角形中线将三角形分为面积相等的两部分”的性质，逐步推导各小三角形的面积，解题关键是准确识别每条中线对应的三角形，避免混淆面积关系。
【难度系数】
0.7
14 如图，AD，AE 分别是$△ ABC$的高和中线，$∠ CAB=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$. 求：
(1) $AD$ 的长；
(2) $△ ABE$ 的面积.
(1) $AD$ 的长；
(2) $△ ABE$ 的面积.
答案
14. (1) $\because$ 在$△ ABC$ 中,$∠ CAB=90°$,AD 是边 BC 上的高，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2}BC · AD. \because AB=6\ \mathrm{cm},AC=8\ \mathrm{cm},BC=10\ \mathrm{cm},\therefore AD=4.8\ \mathrm{cm}$
(2) $\because AE$ 是$△ ABC$ 的中线,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC. \therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE · AD=\frac{1}{2} · \frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{4}BC · AD=\frac{1}{4} × 10 × 4.8=12(\mathrm{cm}^2)$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2}BC · AD. \because AB=6\ \mathrm{cm},AC=8\ \mathrm{cm},BC=10\ \mathrm{cm},\therefore AD=4.8\ \mathrm{cm}$
(2) $\because AE$ 是$△ ABC$ 的中线,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC. \therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE · AD=\frac{1}{2} · \frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{4}BC · AD=\frac{1}{4} × 10 × 4.8=12(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
(1) 求AD的长时，因为△ABC是直角三角形，AD是BC边上的高，可利用三角形面积的两种计算方式：一是用两直角边乘积的一半计算，二是用底BC乘高AD的一半计算，通过等面积法建立等式即可求出AD。
(2) 求△ABE的面积时，AE是△ABC的中线，根据中线性质可知BE为BC的一半，△ABE以BE为底时高与AD相等，代入面积公式计算即可，也可利用“中线平分三角形面积”直接取△ABC面积的一半得到结果。
【解析】
(1) $\because$ 在$△ ABC$中，$∠ CAB=90°$，AD是边BC上的高，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
将$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AD$，
解得$AD=\frac{6×8}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because$ AE是$△ ABC$的中线，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC$，
$△ ABE$以BE为底时，高为AD，因此：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· AD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC· AD$，
代入数值计算得：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{4}×10×4.8=12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $AD$的长为$\boldsymbol{4.8\ \mathrm{cm}}$；
(2) $△ ABE$的面积为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
1. 三角形高与中线性质
2. 等面积法求线段长
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等面积法求高的技巧，以及三角形中线平分三角形面积的性质，这两类方法在几何线段、面积求解问题中应用广泛，要灵活掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 求AD的长时，因为△ABC是直角三角形，AD是BC边上的高，可利用三角形面积的两种计算方式：一是用两直角边乘积的一半计算，二是用底BC乘高AD的一半计算，通过等面积法建立等式即可求出AD。
(2) 求△ABE的面积时，AE是△ABC的中线，根据中线性质可知BE为BC的一半，△ABE以BE为底时高与AD相等，代入面积公式计算即可，也可利用“中线平分三角形面积”直接取△ABC面积的一半得到结果。
【解析】
(1) $\because$ 在$△ ABC$中，$∠ CAB=90°$，AD是边BC上的高，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
将$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AD$，
解得$AD=\frac{6×8}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because$ AE是$△ ABC$的中线，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC$，
$△ ABE$以BE为底时，高为AD，因此：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· AD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC· AD$，
代入数值计算得：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{4}×10×4.8=12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $AD$的长为$\boldsymbol{4.8\ \mathrm{cm}}$；
(2) $△ ABE$的面积为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
1. 三角形高与中线性质
2. 等面积法求线段长
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等面积法求高的技巧，以及三角形中线平分三角形面积的性质，这两类方法在几何线段、面积求解问题中应用广泛，要灵活掌握。
【难度系数】
0.7
15 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BE$是腰$AC$上的中线.
（1）若$△ ABE$的周长比$△ BCE$的周长多2 cm，且$AB$与$BC$的长之和为10 cm，求$AB$，$BC$的长；
（2）若$△ ABC$的周长为20 cm，$BE$将$△ ABC$分成周长差为4 cm的两部分，求$△ ABC$的三边长.
（1）若$△ ABE$的周长比$△ BCE$的周长多2 cm，且$AB$与$BC$的长之和为10 cm，求$AB$，$BC$的长；
（2）若$△ ABC$的周长为20 cm，$BE$将$△ ABC$分成周长差为4 cm的两部分，求$△ ABC$的三边长.
答案
15. (1) $\because BE$ 是腰 AC 上的中线, $\therefore AE=CE. \therefore C_{△ ABE}-C_{△ BCE}=(AB+BE+AE)-(BC+BE+CE)=AB-BC=2\ \mathrm{cm}.$ 又$\because AB$ 与 BC 的和为 10 cm, $\therefore AB+BC=10\ \mathrm{cm}. \therefore AB=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$
(2) 设$AB=x\ \mathrm{cm},BC=y\ \mathrm{cm}.$
① 当$x＞y$时,根据题意,得$\begin{cases}2x+y=20,\\x-y=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8,\\y=4.\end{cases}$ $\therefore △ ABC$ 的三边长分别为 8 cm,8 cm,4 cm.
② 当$x＜y$时,根据题意,得$\begin{cases}2x+y=20,\\y-x=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{16}{3},\\y=\frac{28}{3}.\end{cases}$ $\therefore △ ABC$ 的三边长分别为$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$,$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$,$\frac{28}{3}\ \mathrm{cm}$
(2) 设$AB=x\ \mathrm{cm},BC=y\ \mathrm{cm}.$
① 当$x＞y$时,根据题意,得$\begin{cases}2x+y=20,\\x-y=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8,\\y=4.\end{cases}$ $\therefore △ ABC$ 的三边长分别为 8 cm,8 cm,4 cm.
② 当$x＜y$时,根据题意,得$\begin{cases}2x+y=20,\\y-x=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{16}{3},\\y=\frac{28}{3}.\end{cases}$ $\therefore △ ABC$ 的三边长分别为$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$,$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$,$\frac{28}{3}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
（1）首先根据三角形中线的性质得到AE=CE，对比△ABE和△BCE的周长可知，两个三角形的公共边为BE，且AE=CE，因此二者的周长差就是AB与BC的长度差，再结合已知AB与BC的和为10cm，建立方程组即可求解。
（2）BE将△ABC分成周长差为4cm的两部分，需分类讨论两种情况：一种是△ABE周长更大，即AB-BC=4cm；另一种是△BCE周长更大，即BC-AB=4cm，再结合等腰三角形的总周长建立方程组求解，最后验证所得三边长是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
（1）
∵BE是腰AC上的中线，
∴$AE=CE$。
$C_{△ABE}=AB+BE+AE$，$C_{△BCE}=BC+BE+CE$，
因此$C_{△ABE}-C_{△BCE}=(AB+BE+AE)-(BC+BE+CE)=AB-BC=2\ \mathrm{cm}$，
又已知$AB+BC=10\ \mathrm{cm}$，
联立$\begin{cases}AB-BC=2\\AB+BC=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}AB=6\ \mathrm{cm}\\BC=4\ \mathrm{cm}\end{cases}$。
（2）设$AB=AC=x\ \mathrm{cm}$，$BC=y\ \mathrm{cm}$，由△ABC周长为20cm可得$2x+y=20$，分两种情况讨论：
①当$AB＞BC$时，周长差满足$x-y=4$，
联立$\begin{cases}2x+y=20\\x-y=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=8\\y=4\end{cases}$，三边长为8cm，8cm，4cm，符合三角形三边关系。
②当$AB＜BC$时，周长差满足$y-x=4$，
联立$\begin{cases}2x+y=20\\y-x=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{16}{3}\\y=\frac{28}{3}\end{cases}$，三边长为$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$，$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$，$\frac{28}{3}\ \mathrm{cm}$，符合三角形三边关系。
【答案】
（1）$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$；
（2）△ABC的三边长为8cm、8cm、4cm或$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$、$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$、$\frac{28}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
三角形中线性质，等腰三角形性质，二元一次方程组应用
【点评】
本题解题关键是利用中线性质简化周长差，直接得到边长的数量关系，第二问要注意分类讨论两种周长大小的情况，避免漏解，求出边长后需验证是否满足三角形三边关系。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据三角形中线的性质得到AE=CE，对比△ABE和△BCE的周长可知，两个三角形的公共边为BE，且AE=CE，因此二者的周长差就是AB与BC的长度差，再结合已知AB与BC的和为10cm，建立方程组即可求解。
（2）BE将△ABC分成周长差为4cm的两部分，需分类讨论两种情况：一种是△ABE周长更大，即AB-BC=4cm；另一种是△BCE周长更大，即BC-AB=4cm，再结合等腰三角形的总周长建立方程组求解，最后验证所得三边长是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
（1）
∵BE是腰AC上的中线，
∴$AE=CE$。
$C_{△ABE}=AB+BE+AE$，$C_{△BCE}=BC+BE+CE$，
因此$C_{△ABE}-C_{△BCE}=(AB+BE+AE)-(BC+BE+CE)=AB-BC=2\ \mathrm{cm}$，
又已知$AB+BC=10\ \mathrm{cm}$，
联立$\begin{cases}AB-BC=2\\AB+BC=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}AB=6\ \mathrm{cm}\\BC=4\ \mathrm{cm}\end{cases}$。
（2）设$AB=AC=x\ \mathrm{cm}$，$BC=y\ \mathrm{cm}$，由△ABC周长为20cm可得$2x+y=20$，分两种情况讨论：
①当$AB＞BC$时，周长差满足$x-y=4$，
联立$\begin{cases}2x+y=20\\x-y=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=8\\y=4\end{cases}$，三边长为8cm，8cm，4cm，符合三角形三边关系。
②当$AB＜BC$时，周长差满足$y-x=4$，
联立$\begin{cases}2x+y=20\\y-x=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{16}{3}\\y=\frac{28}{3}\end{cases}$，三边长为$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$，$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$，$\frac{28}{3}\ \mathrm{cm}$，符合三角形三边关系。
【答案】
（1）$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$；
（2）△ABC的三边长为8cm、8cm、4cm或$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$、$\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$、$\frac{28}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
三角形中线性质，等腰三角形性质，二元一次方程组应用
【点评】
本题解题关键是利用中线性质简化周长差，直接得到边长的数量关系，第二问要注意分类讨论两种周长大小的情况，避免漏解，求出边长后需验证是否满足三角形三边关系。
【难度系数】
0.7
