1 新情境 保护水资源 近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题.某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定:居民用水量每月不超过a吨时，只需缴纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费(水费+污水处理费).
(1)某市区居民3月份用水量为8吨，超过规定水量，用含a的代数式表示该用户应缴水费多少元.
(2)下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况.

根据上表数据，求规定用水量a的值.
(3)结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护?如何节约用水?

(1)3月份应缴水费10+5a(8−a)=(10+40a−5a²)元.
(2)由题意，得5a(7−a)+10=70，
解得a=3或a=4.
5a(5−a)+10=40，解得a=3或a=2.
综上可知，规定用水量a的值为3.
(3)我们的水资源是有限的，所以可以通过提高节水技术、防治水污染、植树造林等举措来节约水资源，保护水资源.

2 (2026·扬州宝应期末)某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个.
(1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率；
(2)若此品牌头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？

(1)设该品牌头盔从4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，依题意，得150(1+x)²=216，
解得x₁=0.2=20%，x₂=−2.2(不合题意，舍去).
故该品牌头盔从4月份到6月份销售量的月平均增长率为20%.
(2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
∴(y−300)(60−$\frac{y-400}{2}$×1)=6 032.
∴y₁=416，y₂=404.
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴y=404.
故该品牌头盔的实际售价应定为404元/个.
归纳总结 本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键.

3 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB=16\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,动点 $P$,$Q$ 分别以 $3\ \mathrm{cm/s}$,$2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度从点 $A$,$C$ 同时出发,沿规定路线移动.
(1)若点 $P$ 从点 $A$ 移动到点 $B$ 停止,点 $Q$ 随点 $P$ 的停止而停止移动,问经过多长时间 $P$,$Q$ 两点之间的距离是 $10\ \mathrm{cm}$?
(2)若点 $P$ 沿着 $AB→BC→CD$ 移动,点 $Q$ 从点 $C$ 移动到点 $D$ 停止时,点 $P$ 随点 $Q$ 的停止而停止移动,试探求经过多长时间 $△ PBQ$ 的面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$?

(1)如图，过点 $P$ 作 $PE⊥ CD$ 于点 $E$，
设 $x\ \mathrm{s}(0≤ x≤ \frac{16}{3})$ 后，点 $P$ 和点 $Q$ 之间的距离是 $10\ \mathrm{cm}$，则$AP=3x\ \mathrm{cm}$，$EQ=|16-2x-3x|\ \mathrm{cm}$，$PE=6\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ EPQ$ 中，$EQ^2+PE^2=PQ^2$，$\therefore (16-2x-3x)^2+6^2=10^2$，$\therefore x_1=\frac{8}{5},x_2=\frac{24}{5}$，
$\therefore$ 经过 $\frac{8}{5}\ \mathrm{s}$ 或 $\frac{24}{5}\ \mathrm{s}$，$P$，$Q$ 两点之间的距离是 $10\ \mathrm{cm}$.
(2)连接 $BQ$. 设经过 $y\ \mathrm{s}(0≤ y≤ 8)$ 后 $△ PBQ$ 的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$.
根据点 $P$ 的三个位置进行分类讨论，表示出 $△ PBQ$的底和高，代入面积公式即可求解.
①当 $0≤ y≤ \frac{16}{3}$ 时，$PB=(16-3y)\mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{1}{2}PB· BC=12$，即 $\frac{1}{2}(16-3y)× 6=12$，
解得 $y=4$；
②当 $\frac{16}{3}＜ y≤ \frac{22}{3}$ 时，$BP=(3y-16)\mathrm{cm}$，$CQ=2y\ \mathrm{cm}$，
则 $\frac{1}{2}BP· CQ=\frac{1}{2}(3y-16)× 2y=12$，
解得 $y_1=6,y_2=-\frac{2}{3}$(舍去)；
③当 $\frac{22}{3}＜ y≤ 8$ 时，$QP=CQ-PC=(22-y)\mathrm{cm}$，
则 $\frac{1}{2}QP· BC=\frac{1}{2}(22-y)× 6=12$，解得 $y=18$(舍去).
综上所述，经过 $4\ \mathrm{s}$ 或 $6\ \mathrm{s}$ 时，$△ PBQ$ 的面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$.
归纳总结 本题考查了动点问题，掌握由勾股定理求长度、解一元二次方程等知识点及分类讨论思想是解题的关键.