7.如图，△ABC是等边三角形，点D为△ABC右侧一点，连接AD，BD，CD，BC = BD，∠BAD=25°，则∠BCD=。

7.55°

【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，回忆等边三角形三边相等、内角为60°的性质，结合BC=BD的条件，可推出AB=BD，得到△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等算出∠ABD的度数，再进一步求出△BCD的顶角∠CBD的度数，最后再次利用等腰三角形底角相等的性质即可算出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC，∠ABC=60°
又
∵BC=BD
∴AB=BD，即△ABD为等腰三角形
∴∠BAD=∠BDA=25°
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=180°-25°×2=130°
∴∠CBD=∠ABD - ∠ABC=130°-60°=70°
又
∵BC=BD，即△BCD为等腰三角形
∴∠BCD=∠BDC=$\frac{180° - ∠CBD}{2}$=$\frac{180° - 70°}{2}$=55°
【答案】
55°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是通过等边三角形和等腰三角形的边的等量关系，将已知角和未知角建立关联，结合三角形内角和定理即可求解，需要熟练掌握特殊三角形的边角性质。
【难度系数】
0.7

8.(手拉手模型)(2024·厦门期中)若$△ ABC$和$△ EDC$都是等边三角形，$∠ EBD = 65°$，则$∠ AEB =$.

8.125°

【分析】
本题是等边三角形手拉手模型的典型应用，解题思路如下：①首先回忆共顶点双等边三角形的常见结论：可通过SAS证明一组三角形全等；②利用全等得到对应角相等，将未知角和已知的∠EBD建立联系；③最后结合三角形内角和定理求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$CE=CD$，$∠ ACB=∠ ECD=∠ BAC=∠ ABC=60°$，
∴$∠ ACB - ∠ BCE = ∠ ECD - ∠ BCE$，即$∠ ACE=∠ BCD$。
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACE=∠ BCD \\CE=CD\end{cases}$
∴$△ ACE ≌ △ BCD$（SAS），
∴$∠ CAE=∠ CBD$。
∵$∠ BAE + ∠ ABE = (∠ BAC - ∠ CAE) + (∠ ABC - ∠ CBE)$
$= 60° + 60° - (∠ CAE + ∠ CBE)$
将$∠ CAE$替换为$∠ CBD$，得：
$∠ BAE + ∠ ABE = 120° - (∠ CBD + ∠ CBE) = 120° - ∠ EBD$，
已知$∠ EBD=65°$，
∴$∠ BAE + ∠ ABE = 120° - 65°=55°$。
在$△ ABE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AEB = 180° - (∠ BAE + ∠ ABE) = 180° - 55°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是手拉手模型的常规考法，核心是利用双等边三角形的边、角相等的性质证明全等，实现角的等量转化，进而结合三角形内角和求解未知角，掌握手拉手模型的基本规律可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7

9.(手拉手模型)如图①,在等边三角形 $ ABC $ 中, $ D $ 是边 $ AB $ 上的动点,以 $ CD $ 为一边,向上作等边三角形 $ EDC $,连接 $ AE $.

(1)$ △ DBC $ 和 $ △ EAC $ 全等吗？请说明理由；
(2)求证：$ AE // BC $；
(3)如图②,动点 $ D $ 运动到边 $ BA $ 的延长线上, $ △ EDC $ 仍为等边三角形,请问是否仍有 $ AE // BC $？证明你的猜想.

9.(1)$△ DBC ≌ △ EAC$.理由: $\because △ ABC, △ EDC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB = ∠ DCE=60°, BC=AC, DC=EC, \therefore ∠ ACB - ∠ ACD = ∠ DCE - ∠ ACD$, 即 $∠ BCD = ∠ ACE$, 在 $△ DBC$ 和 $△ EAC$ 中, $\begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCD=∠ ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$ $\therefore △ DBC ≌ △ EAC(\mathrm{SAS})$
(2) $\because △ DBC ≌ △ EAC, \therefore ∠ EAC = ∠ B=60°$, 又 $\because ∠ ACB=60°, \therefore ∠ EAC = ∠ ACB, \therefore AE // BC$
(3)仍有 $AE // BC. \because △ ABC, △ EDC$ 为等边三角形, $\therefore BC=AC, DC=CE, ∠ BCA = ∠ DCE=60°, \therefore ∠ BCA + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$, 即 $∠ BCD = ∠ ACE$, 在 $△ DBC$ 和 $△ EAC$ 中, $\begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCD=∠ ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$ $\therefore △ DBC ≌ △ EAC(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ EAC = ∠ B=60°$, 又 $\because ∠ ACB=60°, \therefore ∠ EAC = ∠ ACB, \therefore AE // BC$

【分析】
本题是典型的等边三角形手拉手全等模型，解题思路可按以下步骤梳理：
(1) 证三角形全等：首先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等，再结合两个60°角同减（或同加）公共角∠ACD，得到相等的夹角，即可用SAS判定全等；
(2) 证平行：由全等三角形的对应角相等，可得∠EAC=∠B=60°，该角与∠ACB是相等的内错角，即可推出两直线平行；
(3) 点在延长线的情况：和前两问思路一致，仅夹角推导变为两个60°角同加公共角∠ACD，后续证明全等、推导角相等、证平行的步骤不变。
【解析】
(1) $△ DBC ≌ △ EAC$，理由如下：
$\because △ ABC$、$△ EDC$都是等边三角形，
$\therefore ∠ ACB = ∠ DCE = 60°$，$BC=AC$，$DC=EC$，
$\therefore ∠ ACB - ∠ ACD = ∠ DCE - ∠ ACD$，即$∠ BCD = ∠ ACE$，
在$△ DBC$和$△ EAC$中：
$\begin{cases}BC=AC \\∠ BCD = ∠ ACE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ DBC ≌ △ EAC(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：
$\because △ DBC ≌ △ EAC$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ B = 60°$，
又$\because ∠ ACB = 60°$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ ACB$，
$\therefore AE // BC$（内错角相等，两直线平行）。
(3) 仍有$AE // BC$，证明如下：
$\because △ ABC$、$△ EDC$都是等边三角形，
$\therefore BC=AC$，$DC=EC$，$∠ BCA = ∠ DCE = 60°$，
$\therefore ∠ BCA + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，即$∠ BCD = ∠ ACE$，
在$△ DBC$和$△ EAC$中：
$\begin{cases}BC=AC \\∠ BCD = ∠ ACE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ DBC ≌ △ EAC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ B = 60°$，
又$\because ∠ ACB = 60°$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ ACB$，
$\therefore AE // BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $△ DBC ≌ △ EAC$，理由见解析；
(2) $AE // BC$，证明见解析；
(3) 仍有$AE // BC$，证明见解析。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于等边三角形手拉手模型的基础应用，核心解题逻辑是利用等边三角形的边、角性质构造全等条件，通过全等转化角的关系进而证明平行，无论动点位置在线段上还是延长线上，核心解题思路不变，掌握该模型可快速解决同类几何问题。
【难度系数】
0.7

10.(抽象能力)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE交于点F,CE//AB.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由;
(2)若AD=12,CE=8,求CF的长.

10.(1)$△ DEF$ 是等边三角形.理由如下: $\because AB=AD, ∠ A=60°, \therefore △ ABD$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ABD = ∠ ADB=60°, \because CE // AB, \therefore ∠ CED = ∠ A=60°, ∠ DFE = ∠ ABD=60°, \therefore ∠ CED = ∠ ADB = ∠ DFE, \therefore △ DEF$ 是等边三角形
(2)连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O, \because AB=AD, CB=CD, \therefore AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线, 即 $AC ⊥ BD, \because AB=AD, ∠ BAD=60°, \therefore ∠ BAC = ∠ DAC=30°, \because CE // AB, \therefore ∠ BAC = ∠ ACE = ∠ CAD=30°, \therefore AE=CE=8, \therefore DE=AD-AE=12-8=4, \because △ DEF$ 是等边三角形, $\therefore EF=DE=4, \therefore CF=CE-EF=8-4=4$

【分析】
(1) 要判断△DEF的形状，先从已知条件AB=AD、∠A=60°入手，根据等边三角形的判定定理可先得出△ABD是等边三角形，得到∠ADB=∠ABD=60°；再结合CE//AB的条件，利用平行线的同位角相等性质，得到△DEF的三个内角均为60°，即可判断其形状。
(2) 要求CF的长，已知CE=8，只需求出EF的长度即可。首先根据AB=AD、CB=CD，可得AC是BD的垂直平分线，结合等腰三角形三线合一得到∠BAC=∠DAC=30°；再由CE//AB推导得到∠ACE=∠CAD，从而得出AE=CE，求出DE的长度；最后结合(1)中△DEF是等边三角形，得到EF=DE，即可计算出CF的长度。
【解析】
(1) $△ DEF$ 是等边三角形，理由如下：
$\because AB=AD$，$∠ A=60°$，
$\therefore △ ABD$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB=60°$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ CED = ∠ A=60°$，$∠ DFE = ∠ ABD=60°$，
$\therefore ∠ CED = ∠ ADB = ∠ DFE$，
$\therefore △ DEF$ 是等边三角形。
(2) 连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，
$\because AB=AD$，$CB=CD$，
$\therefore AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线，即 $AC ⊥ BD$。
$\because AB=AD$，$∠ BAD=60°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC=30°$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ ACE = ∠ CAD=30°$，
$\therefore AE=CE=8$，
$\therefore DE=AD-AE=12-8=4$。
$\because △ DEF$ 是等边三角形，
$\therefore EF=DE=4$，
$\therefore CF=CE-EF=8-4=4$。
【答案】
(1) $△ DEF$ 是等边三角形；(2) $CF$ 的长为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先利用“含60°角的等腰三角形是等边三角形”的特征判定等边三角形，再结合平行线的性质推导角度关系，进而得到线段的等量关系求解，考察了学生的逻辑推理和几何直观能力。
【难度系数】
0.7