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据说,我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题:一个数是59 319,求它的立方根.华罗庚脱口而出:39.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗?有一种方法如下:
第一步确定立方根的数位,因为$1000＜59319＜1000000$,所以$\sqrt[3]{1000}＜\sqrt[3]{59319}＜\sqrt[3]{1000000}$.所以$10＜\sqrt[3]{59319}＜100$,即59 319的立方根是一个两位数.第二步确定立方根的个位上的数字,0~9十个整数的立方如下表:
观察发现:0~9十个整数的立方的个位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的某一个,且无重无漏.因为59 319的个位上的数字是9,而$9^3=729$,所以能确定$\sqrt[3]{59319}$的个位上的数字是9.第三步确定立方根的十位上的数字,我们知道被开立方数的小数点向左(或向右)移动3位,它的立方根的小数点就相应地向左(或向右)移动1位.数字59 319太大,为了便于确定其立方根十位上的数字,可以先将求$\sqrt[3]{59319}$的问题转化为求$\sqrt[3]{59.319}$的问题,再移动小数点得$\sqrt[3]{59319}$的值.因为$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{59.319}＜\sqrt[3]{64}$,所以$\sqrt[3]{59.319}=3.9$.所以$\sqrt[3]{59319}=39$.经验证$39^3=59319$.
根据上述信息,解答问题.
(1) 3 375的立方根是一个
(2) 已知238 328是整数x的立方,按照上述方法求x.
第一步确定立方根的数位,因为$1000＜59319＜1000000$,所以$\sqrt[3]{1000}＜\sqrt[3]{59319}＜\sqrt[3]{1000000}$.所以$10＜\sqrt[3]{59319}＜100$,即59 319的立方根是一个两位数.第二步确定立方根的个位上的数字,0~9十个整数的立方如下表:
观察发现:0~9十个整数的立方的个位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的某一个,且无重无漏.因为59 319的个位上的数字是9,而$9^3=729$,所以能确定$\sqrt[3]{59319}$的个位上的数字是9.第三步确定立方根的十位上的数字,我们知道被开立方数的小数点向左(或向右)移动3位,它的立方根的小数点就相应地向左(或向右)移动1位.数字59 319太大,为了便于确定其立方根十位上的数字,可以先将求$\sqrt[3]{59319}$的问题转化为求$\sqrt[3]{59.319}$的问题,再移动小数点得$\sqrt[3]{59319}$的值.因为$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{59.319}＜\sqrt[3]{64}$,所以$\sqrt[3]{59.319}=3.9$.所以$\sqrt[3]{59319}=39$.经验证$39^3=59319$.
根据上述信息,解答问题.
(1) 3 375的立方根是一个
两
位数,其立方根的个位上的数字是5
.(2) 已知238 328是整数x的立方,按照上述方法求x.
答案
(1) 两；5. 因为1 000＜3 375＜1 000 000,所以$10＜\sqrt[3]{3\ 375}＜100$. 所以3 375的立方根是一个两位数. 因为3 375的个位上的数字是5,所以其立方根的个位上的数字是5.
(2) 因为1 000＜238 328＜1 000 000,所以$10＜\sqrt[3]{238\ 328}＜100$. 所以x是一个两位数. 因为238 328的个位上的数字是8,所以x的个位上的数字是2. 将238 328缩小到原来的$\frac{1}{1\ 000}$,所以$\sqrt[3]{216}＜\sqrt[3]{238. 328}＜\sqrt[3]{343}$,即$6＜\sqrt[3]{238. 328}＜7$. 所以十位上的数字为6,即$x=62$.
(2) 因为1 000＜238 328＜1 000 000,所以$10＜\sqrt[3]{238\ 328}＜100$. 所以x是一个两位数. 因为238 328的个位上的数字是8,所以x的个位上的数字是2. 将238 328缩小到原来的$\frac{1}{1\ 000}$,所以$\sqrt[3]{216}＜\sqrt[3]{238. 328}＜\sqrt[3]{343}$,即$6＜\sqrt[3]{238. 328}＜7$. 所以十位上的数字为6,即$x=62$.
