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1.在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，$AC=5$，则$AB$的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.C $\because ∠ B = ∠ C,\therefore AB=AC=5.$
人教版
2.「2026福建福州期中」根据下列选项不能判定△ABC是等腰三角形的是（
A.∠A:∠B:∠C=2:2:3
B.AB:BC:AC=2:2:3
C.∠B=50°,∠C=80°
D.2∠A=∠B+∠C
2.「2026福建福州期中」根据下列选项不能判定△ABC是等腰三角形的是（
D
）A.∠A:∠B:∠C=2:2:3
B.AB:BC:AC=2:2:3
C.∠B=50°,∠C=80°
D.2∠A=∠B+∠C
答案
2.D A.$\because ∠A:∠B:∠C=2:2:3,\therefore ∠A=∠B,$
$\therefore △ABC$是等腰三角形,故 A 不符合题意；
B.$\because AB:BC:AC=2:2:3,\therefore AB=BC,$
$\therefore △ABC$是等腰三角形,故 B 不符合题意；
C.$\because ∠B=50°,∠C=80°,∠A+∠B+∠C=180°,$
$\therefore ∠A=180°-∠B-∠C=50°,\therefore ∠A=∠B,$
$\therefore △ABC$是等腰三角形,故 C 不符合题意；
D.由$2∠A=∠B+∠C$不能判定$△ABC$是等腰三角形,故 D 符合题意.故选 D.
$\therefore △ABC$是等腰三角形,故 A 不符合题意；
B.$\because AB:BC:AC=2:2:3,\therefore AB=BC,$
$\therefore △ABC$是等腰三角形,故 B 不符合题意；
C.$\because ∠B=50°,∠C=80°,∠A+∠B+∠C=180°,$
$\therefore ∠A=180°-∠B-∠C=50°,\therefore ∠A=∠B,$
$\therefore △ABC$是等腰三角形,故 C 不符合题意；
D.由$2∠A=∠B+∠C$不能判定$△ABC$是等腰三角形,故 D 符合题意.故选 D.
3.如图,已知:线段a,b,求作:以a,b为边的等腰三角形(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
答案
3.解析 如图所示,当a为腰,b为底边时,$△ABC$即为所求作;当a为底边,b为腰时,$△EFG$即为所求作.
4.「2025陕西中考」如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，$∠ ADB=2∠ C$.若$AB=5$，$BC=6$，则$△ ABD$的周长为（
A.8
B.10
C.11
D.12
C
）A.8
B.10
C.11
D.12
答案
4.C $\because ∠ADB$是$△ADC$的外角,$\therefore ∠ADB=∠C+∠DAC,$
$\because ∠ADB=2∠C,\therefore ∠C=∠DAC,\therefore AD=DC,$
$\therefore △ABD$的周长$=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC,$
$\because AB=5,BC=6,$
$\therefore △ABD$的周长$=5+6=11.$
$\because ∠ADB=2∠C,\therefore ∠C=∠DAC,\therefore AD=DC,$
$\therefore △ABD$的周长$=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC,$
$\because AB=5,BC=6,$
$\therefore △ABD$的周长$=5+6=11.$
5. 学科特色 教材变式「2025河南驻马店一模」如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,$DE// AB$交AC于点E,若$DE=7,CE=8$,则AC的长为
15
.答案
5.答案 15
解析 $\because AD$是$∠BAC$的平分线,$\therefore ∠BAD=∠CAD,$
$\because DE// AB,\therefore ∠BAD=∠ADE,\therefore ∠CAD=∠ADE,$
$\therefore AE=DE=7,\therefore AC=AE+CE=7+8=15.$
解析 $\because AD$是$∠BAC$的平分线,$\therefore ∠BAD=∠CAD,$
$\because DE// AB,\therefore ∠BAD=∠ADE,\therefore ∠CAD=∠ADE,$
$\therefore AE=DE=7,\therefore AC=AE+CE=7+8=15.$
6.「2026江苏南通月考节选」如图,在锐角$△ ABC$中,点E是AB边上一点,$BE=CE$,$AD ⊥ BC$于点D,AD与EC交于点G.求证:$△ AEG$为等腰三角形.
答案
6.证明 $\because AD⊥BC$于点D,
$\therefore ∠ADB=∠ADC=90°,\therefore ∠EAG=90°-∠B,∠CGD=90°-∠GCD,$
$\because BE=CE,\therefore ∠B=∠GCD,$
$\therefore ∠EAG=∠CGD=∠AGE,\therefore AE=GE,$
$\therefore △AEG$为等腰三角形.
$\therefore ∠ADB=∠ADC=90°,\therefore ∠EAG=90°-∠B,∠CGD=90°-∠GCD,$
$\because BE=CE,\therefore ∠B=∠GCD,$
$\therefore ∠EAG=∠CGD=∠AGE,\therefore AE=GE,$
$\therefore △AEG$为等腰三角形.
7.「2025山西晋中期末，★☆」如图，在平面直角坐标系中有一点$P(4,3)$，连接$OP$，$OP=5$，在$x$轴上找一点$Q$，使$△ OPQ$是以$OP$为腰的等腰三角形，则点$Q$的坐标不能是（
A.$(-5,0)$
B.$(5,0)$
C.$(8,0)$
D.$(\dfrac{25}{8},0)$
D
）A.$(-5,0)$
B.$(5,0)$
C.$(8,0)$
D.$(\dfrac{25}{8},0)$
答案
7.D 设点$Q$的坐标为$(m,0)$,则$OQ=|m|.$
①若$OQ=OP$,则$|m|=5,\therefore m=±5;$
②若$PO=PQ$,如图,过$P$作$PH⊥x$轴于$H$,
$\therefore OH=QH=4,\therefore OQ=8,\therefore m=8.$
综上所述,点$Q$的坐标为$(-5,0)$或$(5,0)$或$(8,0)$.故选 D.
8. 学科特色
教材变式「2026河南洛阳期中，★☆」如图，一艘货轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东$40°$的N处，则N与灯塔P的距离为
教材变式「2026河南洛阳期中，★☆」如图，一艘货轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东$40°$的N处，则N与灯塔P的距离为
80
海里。答案
8.答案 80
解析 由题意知$∠M=70°,∠N=40°,$
$\therefore ∠NPM=180°-70°-40°=70°,\therefore ∠NPM=∠M,$
$\therefore NP=MN=40×2=80$(海里).
解析 由题意知$∠M=70°,∠N=40°,$
$\therefore ∠NPM=180°-70°-40°=70°,\therefore ∠NPM=∠M,$
$\therefore NP=MN=40×2=80$(海里).
9.「2026浙江温州期中，★☆」如图，D为$△ ABC$内一点，CD平分$∠ ACB$，$BE ⊥ CD$，垂足为D，交AC于点E，若$∠ A = ∠ ABE$，$AC=10$，$BC=6$，则BD的长为
2
。答案
9.答案 2
解析 $\because CD$平分$∠ACB,\therefore ∠BCD=∠ECD,$
$\because BE⊥CD,\therefore ∠BDC=∠EDC=90°,$
在$△BCD$和$△ECD$中,$\begin{cases} ∠BCD=∠ECD, \\ CD=CD, \\ ∠BDC=∠EDC, \end{cases}$
$\therefore △BCD≌△ECD(ASA),$
$\therefore CE=BC=6,BD=ED,$
$\because ∠A=∠ABE,\therefore AE=BE,$
$\because AC=10,\therefore BE=AE=4,\therefore BD=\frac{1}{2}BE=2.$
解析 $\because CD$平分$∠ACB,\therefore ∠BCD=∠ECD,$
$\because BE⊥CD,\therefore ∠BDC=∠EDC=90°,$
在$△BCD$和$△ECD$中,$\begin{cases} ∠BCD=∠ECD, \\ CD=CD, \\ ∠BDC=∠EDC, \end{cases}$
$\therefore △BCD≌△ECD(ASA),$
$\therefore CE=BC=6,BD=ED,$
$\because ∠A=∠ABE,\therefore AE=BE,$
$\because AC=10,\therefore BE=AE=4,\therefore BD=\frac{1}{2}BE=2.$
