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1.计算:
(1) $\sqrt{24} × 4\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{48}$.
(2) $3\sqrt{12} - 6\sqrt{\frac{1}{3}} + 2\sqrt{48}$.
(3) $( \sqrt{\frac{4}{3}} + \sqrt{3} ) × \sqrt{12} - \sqrt{48} ÷ \sqrt{6}$.
(1) $\sqrt{24} × 4\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{48}$.
(2) $3\sqrt{12} - 6\sqrt{\frac{1}{3}} + 2\sqrt{48}$.
(3) $( \sqrt{\frac{4}{3}} + \sqrt{3} ) × \sqrt{12} - \sqrt{48} ÷ \sqrt{6}$.
答案
(1) 原式$=2\sqrt{6}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}÷4\sqrt{3}=8\sqrt{3}÷4\sqrt{3}=2$.
(2) 原式$=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}+8\sqrt{3}=12\sqrt{3}$.
(3) 原式$=(\frac{2}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3})×2\sqrt{3}-4\sqrt{3}÷\sqrt{6}$
$=\frac{5}{3}\sqrt{3}×2\sqrt{3}-2\sqrt{2}=10-2\sqrt{2}$.
(2) 原式$=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}+8\sqrt{3}=12\sqrt{3}$.
(3) 原式$=(\frac{2}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3})×2\sqrt{3}-4\sqrt{3}÷\sqrt{6}$
$=\frac{5}{3}\sqrt{3}×2\sqrt{3}-2\sqrt{2}=10-2\sqrt{2}$.
2.计算:
(1)$(3\sqrt{3}-1)(3\sqrt{3}+1)-(2\sqrt{3}-1)^2$.
(2)$(\sqrt{48}+\sqrt{18})(2-2\sqrt{3})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
(1)$(3\sqrt{3}-1)(3\sqrt{3}+1)-(2\sqrt{3}-1)^2$.
(2)$(\sqrt{48}+\sqrt{18})(2-2\sqrt{3})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
答案
(1)$(3\sqrt{3}-1)(3\sqrt{3}+1)-(2\sqrt{3}-1)^2$
$=27-1-(12-4\sqrt{3}+1)$
$=27-1-12+4\sqrt{3}-1$
$=13+4\sqrt{3}$.
(2)$(\sqrt{48}+\sqrt{18})(2-2\sqrt{3})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$
$=(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2-2\sqrt{3})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$
$=8\sqrt{3}-24+6\sqrt{2}-6\sqrt{6}-3-2+2\sqrt{6}$
$=8\sqrt{3}-4\sqrt{6}+6\sqrt{2}-29$.
$=27-1-(12-4\sqrt{3}+1)$
$=27-1-12+4\sqrt{3}-1$
$=13+4\sqrt{3}$.
(2)$(\sqrt{48}+\sqrt{18})(2-2\sqrt{3})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$
$=(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2-2\sqrt{3})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$
$=8\sqrt{3}-24+6\sqrt{2}-6\sqrt{6}-3-2+2\sqrt{6}$
$=8\sqrt{3}-4\sqrt{6}+6\sqrt{2}-29$.
3.「2026 上海浦东新区期中」已知$x=\frac{1}{2+\sqrt{3}},y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$，求下列代数式的值.
(1)$x^2 - xy + y^2$.
(2)$\sqrt{x} + \sqrt{y}$.
(1)$x^2 - xy + y^2$.
(2)$\sqrt{x} + \sqrt{y}$.
答案
(1)$x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$,
$y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$,
所以$x+y=4,xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$,
所以原式$=(x+y)^2-3xy=4^2-3×1=13$.
(2)由(1)得$x+y=4,xy=1$,
所以$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}=4+2=6$,
因为$\sqrt{x}+\sqrt{y}＞0$,所以原式$=\sqrt{6}$.
$y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$,
所以$x+y=4,xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$,
所以原式$=(x+y)^2-3xy=4^2-3×1=13$.
(2)由(1)得$x+y=4,xy=1$,
所以$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}=4+2=6$,
因为$\sqrt{x}+\sqrt{y}＞0$,所以原式$=\sqrt{6}$.
4.「2026北京石景山期末」小石根据学习“数”与“式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小石的探究过程，请补充完整.
(1)具体运算，发现规律.
⑤$\sqrt{6-\frac{11}{6}}=$
(2)观察、归纳、得出猜想.
第$n$个等式为
(用含$n$的式子表示，$n$为正整数).
(3)证明你的猜想.
(4)应用运算规律.
若$\sqrt{a-\frac{23}{a}}=b\sqrt{\frac{1}{12}}$($a,b$均为正整数)，求$b-a$的值.
下面是小石的探究过程，请补充完整.
(1)具体运算，发现规律.
⑤$\sqrt{6-\frac{11}{6}}=$
$5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(根据规律填空).(2)观察、归纳、得出猜想.
第$n$个等式为
$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$
(用含$n$的式子表示，$n$为正整数).
(3)证明你的猜想.
(4)应用运算规律.
若$\sqrt{a-\frac{23}{a}}=b\sqrt{\frac{1}{12}}$($a,b$均为正整数)，求$b-a$的值.
答案
(1)由题中规律可知$\sqrt{6-\frac{11}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$.
(2)第$n$个等式为$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$.
(3)证明:因为$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2-(2n+1)}{n+1}}=\sqrt{\frac{n^2}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$,
所以$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$.
(4)因为$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$,$\sqrt{a-\frac{23}{a}}=b\sqrt{\frac{1}{12}}$,
所以$a=12,b=11$,
把$a,b$的值代入原式,等式成立,
所以$b-a=11-12=-1$.
(2)第$n$个等式为$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$.
(3)证明:因为$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2-(2n+1)}{n+1}}=\sqrt{\frac{n^2}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$,
所以$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$.
(4)因为$\sqrt{n+1-\frac{2n+1}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$,$\sqrt{a-\frac{23}{a}}=b\sqrt{\frac{1}{12}}$,
所以$a=12,b=11$,
把$a,b$的值代入原式,等式成立,
所以$b-a=11-12=-1$.
