9.「2026山东济南期中，★☆」在一次尺规作图练习中，小明同学进行了如下的作图操作：如图，作一条射线AB，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交AB于点C，再以点C为圆心，某长度为半径作圆，交前弧于D，E两点，作射线AD，AE.经测量发现，∠BAE=27°，则∠DAE的度数为（）


A.72°
B.54°
C.36°
D.27°

由作图知AB是∠DAE的平分线,
所以∠DAE=2∠BAE=2×27°=54°.故选B.

10.聚焦 中考 尺规作图「2026河南郑州期中，★☆」作图与计算.
(1)如图,已知∠α,∠AOB,在∠AOB内部,以OB为一边,求作∠BOC=∠α(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)在第(1)问的条件下,若∠AOB=62°,∠BOC=34°,OD是∠AOC的平分线,则∠DOC的度数为.

(1)如图,∠BOC即为所求.

(2)14°.
详解:如图,因为∠AOB=62°,∠BOC=34°,
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=28°.
因为OD是∠AOC的平分线,
所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=14°.

11.「2026山东济南章丘期中，★☆」如图，$∠ AOB = 90°$，$OC$是$∠ AOB$内部的一条射线，$OD$，$OE$分别是$∠ AOB$，$∠ BOC$的平分线.
(1)若$∠ AOC = 20°$，求$∠ DOE$的度数.
(2)小明通过作图观察发现，无论$∠ AOC$的大小如何变化，$∠ DOE$的度数始终为$∠ AOC$的一半.他的结论是否正确？请判断，并说明理由.

(1)因为∠AOB=90°,∠AOC=20°,
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-20°=70°.
因为OD,OE分别是∠AOB,∠BOC的平分线,
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°,∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=35°,
所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=45°-35°=10°.
(2)小明的结论正确.理由如下:
设∠AOC=α,因为∠AOB=90°,
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-α.
因为OD,OE分别是∠AOB,∠BOC的平分线,
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°,∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}(90°-α)=45°-\frac{1}{2}α$.所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=$45°-(45°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$.
所以∠DOE的度数始终为∠AOC的一半,故小明的结论正确.

12. 核心素养 推理能力 「2026 河北秦皇岛期中」活动课上，王老师将一副三角尺按图①所示的方式摆放在直线EF上，45°角的顶点与60°角的顶点重合于点O，斜边OB与直角边OD在直线EF上，然后将直角三角尺OAB绕点O按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒.
(1)旋转前，∠AOC=，∠BOC=.
(2)“希望”小组的同学发现：当t=2时，OA是∠BOC的平分线，请你利用图②说明理由.
(3)“飞翔”小组的同学发现：若直角三角尺OAB旋转至图③的位置时，∠AOC+∠BOD为定值.请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由.

(1)75°;120°.
详解:因为∠AOC+∠AOB+∠COD=180°,∠AOB=45°,∠COD=60°,
所以∠AOC=180°-∠AOB-∠COD=180°-45°-60°=75°,∠BOC=180°-∠COD=180°-60°=120°.
(2)当t=2时,∠BOE=2×15°=30°,
所以∠BOC=180°-∠BOE-∠COD=180°-30°-60°=90°.
因为∠AOB=45°,所以∠AOB=$\frac{1}{2}$∠BOC,
所以OA是∠BOC的平分线.
(3)正确.
直角三角尺OAB旋转至题图③的位置时,
∠AOC=∠COD-∠AOD=60°-∠AOD,
∠BOD=∠BOA+∠AOD=45°+∠AOD,
所以∠AOC+∠BOD = 60°-∠AOD + 45°+∠AOD =105°.