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① 解方程 $4y^2 = 12y + 3$，得到（
A.$y = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{2}$
B.$y = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{2}$
C.$y = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
D.$y = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
C
）。A.$y = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{2}$
B.$y = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{2}$
C.$y = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
D.$y = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的题目，解题思路如下：第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定系数$a、b、c$的取值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程有实根后代入求根公式；第三步对得到的根进行化简，对比选项得到正确答案。
【解析】
解：先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$4y^2 - 12y - 3 = 0$
其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-12$，常数项$c=-3$。
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4×4×(-3) = 144 + 48 = 192$
因为$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y = \frac{-(-12)\pm\sqrt{192}}{2×4} = \frac{12\pm8\sqrt{3}}{8}$
对结果约分，分子分母同时除以4得：
$y = \frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 二次根式化简
3. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，解题核心是熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤，要注意先整理方程为一般形式再确定系数，避免符号错误，根式化简时要把被开方数的完全平方因数全部开出来。
【难度系数】
0.7
本题是求解一元二次方程的题目，解题思路如下：第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定系数$a、b、c$的取值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程有实根后代入求根公式；第三步对得到的根进行化简，对比选项得到正确答案。
【解析】
解：先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$4y^2 - 12y - 3 = 0$
其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-12$，常数项$c=-3$。
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4×4×(-3) = 144 + 48 = 192$
因为$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y = \frac{-(-12)\pm\sqrt{192}}{2×4} = \frac{12\pm8\sqrt{3}}{8}$
对结果约分，分子分母同时除以4得：
$y = \frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 二次根式化简
3. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，解题核心是熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤，要注意先整理方程为一般形式再确定系数，避免符号错误，根式化简时要把被开方数的完全平方因数全部开出来。
【难度系数】
0.7
2 设a是一元二次方程$x^2 + 5x = 0$的较大根，b是$x^2 - 3x + 2 = 0$较小根，那么$a + b$的值是(
C.1
D.2
C
)。C.1
D.2
答案
2. C
解析
【分析】
解题时按三步推导即可：首先分别求解两个给定的一元二次方程，本题方程结构适合用因式分解法快速求根；再根据题干要求，分别确定第一个方程的较大根a、第二个方程的较小根b；最后计算a+b的结果，匹配对应选项。
【解析】
1. 求解方程$x^2 + 5x = 0$：
因式分解得$x(x+5)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-5$，其中较大根$a=0$。
2. 求解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$：
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，其中较小根$b=1$。
3. 计算$a+b$：$a+b=0+1=1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求解；因式分解；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的因式分解解法，同时需要注意审题，准确区分根的大小要求，只要熟练掌握因式分解的方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时按三步推导即可：首先分别求解两个给定的一元二次方程，本题方程结构适合用因式分解法快速求根；再根据题干要求，分别确定第一个方程的较大根a、第二个方程的较小根b；最后计算a+b的结果，匹配对应选项。
【解析】
1. 求解方程$x^2 + 5x = 0$：
因式分解得$x(x+5)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-5$，其中较大根$a=0$。
2. 求解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$：
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，其中较小根$b=1$。
3. 计算$a+b$：$a+b=0+1=1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求解；因式分解；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的因式分解解法，同时需要注意审题，准确区分根的大小要求，只要熟练掌握因式分解的方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3 已知$x=1$是一元二次方程$(m+2)x^2 +4x -m^2=0$的一个根，则$m$的值为（
B.3
C.3或－2
B
）。B.3
C.3或－2
答案
3. B
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，得到关于m的方程并求解；其次结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的解，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$(m+2)x^2 +4x -m^2=0$的一个根
∴将x=1代入原方程，得：
$(m+2)×1^2 +4×1 -m^2=0$
整理得：$m^2 -m -6=0$
因式分解得：$(m-3)(m+2)=0$
解得：$m=3$或$m=-2$
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$m+2≠0$，即$m≠-2$
因此舍去$m=-2$，得$m=3$
故选B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程判定；因式分解解方程
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误选C选项，求出参数解后要注意验证是否符合题目给出的前提条件。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：首先根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，得到关于m的方程并求解；其次结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的解，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$(m+2)x^2 +4x -m^2=0$的一个根
∴将x=1代入原方程，得：
$(m+2)×1^2 +4×1 -m^2=0$
整理得：$m^2 -m -6=0$
因式分解得：$(m-3)(m+2)=0$
解得：$m=3$或$m=-2$
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$m+2≠0$，即$m≠-2$
因此舍去$m=-2$，得$m=3$
故选B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程判定；因式分解解方程
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误选C选项，求出参数解后要注意验证是否符合题目给出的前提条件。
【难度系数】
0.7
④ 解方程$(x - 1)^2 = 4$，得$x_1 =$
3
，$x_2 =$-1
。答案
4. $x_1=3$，$x_2=-1$
解析
【分析】本题是形如$(a-b)^2=c$（$c≥0$）的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路：根据平方根的定义，平方等于4的数有两个，分别是2和-2，因此可将原二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个根，解题时注意不要漏掉负根的情况。
【解析】解：对原方程$(x - 1)^2 = 4$两边直接开平方，得：
$x - 1 = ±\sqrt{4}=±2$
分两种情况计算：
① 当$x-1=2$时，解得$x=2+1=3$；
② 当$x-1=-2$时，解得$x=-2+1=-1$。
【答案】3；-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，解题核心是明确正数有两个互为相反数的平方根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】0.9
【解析】解：对原方程$(x - 1)^2 = 4$两边直接开平方，得：
$x - 1 = ±\sqrt{4}=±2$
分两种情况计算：
① 当$x-1=2$时，解得$x=2+1=3$；
② 当$x-1=-2$时，解得$x=-2+1=-1$。
【答案】3；-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，解题核心是明确正数有两个互为相反数的平方根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】0.9
5 解方程$(x - 2)^2 - 2 + x = 0$，得$x_1=$
2
，$x_2=$1
。答案
5. $x_1=2$，$x_2=1$
解析
【分析】
观察方程的结构可发现，方程中同时存在$(x-2)$的平方项与$(x-2)$的一次项，因此适合用因式分解法求解。解题时先把方程变形为含公因式$(x-2)$的形式，再提取公因式将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个根，这种方法比展开方程后再求解更简便。
【解析】
解：原方程可变形为：
$(x-2)^2 + (x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 + 1) = 0$
整理得：
$(x-2)(x-1) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
分别解这两个一元一次方程，得：
$x_1=2$，$x_2=1$
【答案】
$2$，$1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时需先观察方程结构选择最简便的解法，本题运用整体思想提取公因式求解，可有效减少计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.85
观察方程的结构可发现，方程中同时存在$(x-2)$的平方项与$(x-2)$的一次项，因此适合用因式分解法求解。解题时先把方程变形为含公因式$(x-2)$的形式，再提取公因式将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个根，这种方法比展开方程后再求解更简便。
【解析】
解：原方程可变形为：
$(x-2)^2 + (x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 + 1) = 0$
整理得：
$(x-2)(x-1) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
分别解这两个一元一次方程，得：
$x_1=2$，$x_2=1$
【答案】
$2$，$1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时需先观察方程结构选择最简便的解法，本题运用整体思想提取公因式求解，可有效减少计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.85
6 解方程$x^2 - 2x = 399$，得$x_1=$
21
，$x_2=$-19
。答案
6. $x_1=21$，$x_2=-19$
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解类题目，观察方程左边$x^2-2x$的结构，可通过配方转化为完全平方式简化计算。解题思路为：先给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方形式，再通过开平方将二次方程降次为一元一次方程，最后分别求解两个一元一次方程即可得到两根。
【解析】
使用配方法解方程，步骤如下：
1. 配方：方程左右两边同时加1（一次项系数为-2，其一半的平方为$(-1)^2=1$），得：
$x^2 - 2x + 1 = 399 + 1$
整理为完全平方形式：$(x - 1)^2 = 400$
2. 开平方：对等式两边同时开平方，得：
$x - 1 = \pm 20$
3. 分别求解：
当$x - 1 = 20$时，解得$x = 21$；
当$x - 1 = -20$时，解得$x = -19$。
【答案】
$21$；$-19$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题属于一元二次方程基础计算类题目，选择配方法可快速简化计算，也可选择公式法、因式分解法求解，核心考查对一元二次方程基础解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程求解类题目，观察方程左边$x^2-2x$的结构，可通过配方转化为完全平方式简化计算。解题思路为：先给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方形式，再通过开平方将二次方程降次为一元一次方程，最后分别求解两个一元一次方程即可得到两根。
【解析】
使用配方法解方程，步骤如下：
1. 配方：方程左右两边同时加1（一次项系数为-2，其一半的平方为$(-1)^2=1$），得：
$x^2 - 2x + 1 = 399 + 1$
整理为完全平方形式：$(x - 1)^2 = 400$
2. 开平方：对等式两边同时开平方，得：
$x - 1 = \pm 20$
3. 分别求解：
当$x - 1 = 20$时，解得$x = 21$；
当$x - 1 = -20$时，解得$x = -19$。
【答案】
$21$；$-19$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题属于一元二次方程基础计算类题目，选择配方法可快速简化计算，也可选择公式法、因式分解法求解，核心考查对一元二次方程基础解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
7 如果代数式$2x^2 - 3x -5$的值等于代数式$4 -6x$的值，则$x=$
8 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 +2kx +k^2=0$的一个根是$-2$，那么$k=$
9 关于$x$的一元二次方程$x^2 +2x +c=0(c≤1)$的两根为
$-3 或 \frac{3}{2}$
。8 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 +2kx +k^2=0$的一个根是$-2$，那么$k=$
2
。9 关于$x$的一元二次方程$x^2 +2x +c=0(c≤1)$的两根为
$x_1=-1+\sqrt{1-c},\ x_2=-1-\sqrt{1-c}$
。答案
7. $-3 或 \frac{3}{2}$
8. 2
9. $x_1=-1+\sqrt{1-c},\ x_2=-1-\sqrt{1-c}$
8. 2
9. $x_1=-1+\sqrt{1-c},\ x_2=-1-\sqrt{1-c}$
解析
【分析】
第7题：首先根据“两个代数式值相等”的条件建立等量关系，得到关于x的一元二次方程，将方程整理为一般形式后，通过因式分解法即可快速求出x的取值。
第8题：根据方程根的定义，方程的根满足方程等式，将x=-2代入原方程可得到仅含参数k的方程，求解该方程就能得到k的值。
第9题：已知一元二次方程和参数c的取值范围，先判断判别式大于等于0，确认有实根后，用配方法求解即可得到方程的两个根。
【解析】
7. 解：由题意列等式：
$2x^2 - 3x -5 = 4 - 6x$
移项合并同类项得：
$2x^2 + 3x -9 =0$
因式分解得：
$(2x -3)(x +3)=0$
即$2x-3=0$或$x+3=0$，
解得$x=\frac{3}{2}$或$x=-3$。
8. 解：把$x=-2$代入方程$x^2 +2kx +k^2=0$得：
$(-2)^2 + 2k×(-2) +k^2 =0$
整理得：$k^2 -4k +4=0$
即$(k-2)^2=0$，解得$k=2$。
9. 解：对于方程$x^2 +2x +c=0$（$c≤1$），
判别式$\Delta = 2^2 -4c =4(1-c)≥0$，方程有两个实数根。
配方得：$x^2+2x+1=1-c$，即$(x+1)^2=1-c$
开平方得$x+1=±\sqrt{1-c}$，
因此两根为$x_1=-1+\sqrt{1-c}$，$x_2=-1-\sqrt{1-c}$。
【答案】
7. $-3 或 \frac{3}{2}$；8. $2$；9. $x_1=-1+\sqrt{1-c},\ x_2=-1-\sqrt{1-c}$
【知识点】
一元二次方程的求解、方程根的定义、配方法解方程
【点评】
这三道题是一元二次方程的基础常规题型，分别考查了根据题意列方程求解、利用根的定义求参数、解含参数的一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基本解法和根的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
第7题：首先根据“两个代数式值相等”的条件建立等量关系，得到关于x的一元二次方程，将方程整理为一般形式后，通过因式分解法即可快速求出x的取值。
第8题：根据方程根的定义，方程的根满足方程等式，将x=-2代入原方程可得到仅含参数k的方程，求解该方程就能得到k的值。
第9题：已知一元二次方程和参数c的取值范围，先判断判别式大于等于0，确认有实根后，用配方法求解即可得到方程的两个根。
【解析】
7. 解：由题意列等式：
$2x^2 - 3x -5 = 4 - 6x$
移项合并同类项得：
$2x^2 + 3x -9 =0$
因式分解得：
$(2x -3)(x +3)=0$
即$2x-3=0$或$x+3=0$，
解得$x=\frac{3}{2}$或$x=-3$。
8. 解：把$x=-2$代入方程$x^2 +2kx +k^2=0$得：
$(-2)^2 + 2k×(-2) +k^2 =0$
整理得：$k^2 -4k +4=0$
即$(k-2)^2=0$，解得$k=2$。
9. 解：对于方程$x^2 +2x +c=0$（$c≤1$），
判别式$\Delta = 2^2 -4c =4(1-c)≥0$，方程有两个实数根。
配方得：$x^2+2x+1=1-c$，即$(x+1)^2=1-c$
开平方得$x+1=±\sqrt{1-c}$，
因此两根为$x_1=-1+\sqrt{1-c}$，$x_2=-1-\sqrt{1-c}$。
【答案】
7. $-3 或 \frac{3}{2}$；8. $2$；9. $x_1=-1+\sqrt{1-c},\ x_2=-1-\sqrt{1-c}$
【知识点】
一元二次方程的求解、方程根的定义、配方法解方程
【点评】
这三道题是一元二次方程的基础常规题型，分别考查了根据题意列方程求解、利用根的定义求参数、解含参数的一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基本解法和根的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
10 定义:如果两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根,我们称这两个方程互为“友好方程”。如果关于$x$的一元二次方程$x^2=mx$与$x^2+2x - m^2 +1=0$互为“友好方程”,则$m$可取的值是
$1、-1、-\frac{1}{2}$
。答案
10. $1、-1、-\frac{1}{2}$
[提示:化简方程$x^2=mx$,得$x(x-m)=0$,解得$x=0$或$m$。①当$x=0$是方程$x^2+2x -m^2+1=0$的根时,$-m^2+1=0$,$m=\pm1$,符合题意;②当$x=m$是方程$x^2+2x -m^2+1=0$的根时,$m^2+2m -m^2+1=0$,$m=-\frac{1}{2}$,符合题意。所以$m=\pm1$或$-\frac{1}{2}$。]
[提示:化简方程$x^2=mx$,得$x(x-m)=0$,解得$x=0$或$m$。①当$x=0$是方程$x^2+2x -m^2+1=0$的根时,$-m^2+1=0$,$m=\pm1$,符合题意;②当$x=m$是方程$x^2+2x -m^2+1=0$的根时,$m^2+2m -m^2+1=0$,$m=-\frac{1}{2}$,符合题意。所以$m=\pm1$或$-\frac{1}{2}$。]
解析
【分析】
解题首先要准确理解“友好方程”的定义：两个一元二次方程有且只有一个公共实数根。先求解结构简单的方程$x^2=mx$，可得到它的两个根，两个方程的公共根必然是这两个根中的一个，因此分两种情况讨论：①公共根为$x=0$；②公共根为$x=m$。分别将根代入第二个方程求出$m$的可能值，再验证是否满足“仅有一个公共根”的条件即可。
【解析】
第一步：求解方程$x^2=mx$
移项得$x^2 - mx = 0$，因式分解得$x(x - m)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=m$。
第二步：分情况讨论公共根
① 若公共根为$x=0$：
将$x=0$代入方程$x^2 + 2x - m^2 + 1=0$，得：
$0 + 0 - m^2 + 1 = 0$
解得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$。
验证：当$m=\pm1$时，第二个方程为$x^2+2x=0$，根为$x=0$和$x=-2$，与第一个方程仅共有$x=0$一个公共根，符合题意。
② 若公共根为$x=m$：
将$x=m$代入方程$x^2 + 2x - m^2 + 1=0$，得：
$m^2 + 2m - m^2 + 1 = 0$
化简得$2m + 1 = 0$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
验证：当$m=-\frac{1}{2}$时，第二个方程为$x^2+2x+\frac{3}{4}=0$，根为$x=-\frac{1}{2}$和$x=-\frac{3}{2}$，与第一个方程仅共有$x=-\frac{1}{2}$一个公共根，符合题意。
综上，$m$的取值为$1$、$-1$、$-\frac{1}{2}$。
【答案】
$1、-1、-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程求解；新定义理解；分类讨论
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是抓住新定义的本质，结合一元二次方程的解法，通过分类讨论公共根的两种情况求解，注意求出参数后要验证是否符合题意，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题首先要准确理解“友好方程”的定义：两个一元二次方程有且只有一个公共实数根。先求解结构简单的方程$x^2=mx$，可得到它的两个根，两个方程的公共根必然是这两个根中的一个，因此分两种情况讨论：①公共根为$x=0$；②公共根为$x=m$。分别将根代入第二个方程求出$m$的可能值，再验证是否满足“仅有一个公共根”的条件即可。
【解析】
第一步：求解方程$x^2=mx$
移项得$x^2 - mx = 0$，因式分解得$x(x - m)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=m$。
第二步：分情况讨论公共根
① 若公共根为$x=0$：
将$x=0$代入方程$x^2 + 2x - m^2 + 1=0$，得：
$0 + 0 - m^2 + 1 = 0$
解得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$。
验证：当$m=\pm1$时，第二个方程为$x^2+2x=0$，根为$x=0$和$x=-2$，与第一个方程仅共有$x=0$一个公共根，符合题意。
② 若公共根为$x=m$：
将$x=m$代入方程$x^2 + 2x - m^2 + 1=0$，得：
$m^2 + 2m - m^2 + 1 = 0$
化简得$2m + 1 = 0$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
验证：当$m=-\frac{1}{2}$时，第二个方程为$x^2+2x+\frac{3}{4}=0$，根为$x=-\frac{1}{2}$和$x=-\frac{3}{2}$，与第一个方程仅共有$x=-\frac{1}{2}$一个公共根，符合题意。
综上，$m$的取值为$1$、$-1$、$-\frac{1}{2}$。
【答案】
$1、-1、-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程求解；新定义理解；分类讨论
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是抓住新定义的本质，结合一元二次方程的解法，通过分类讨论公共根的两种情况求解，注意求出参数后要验证是否符合题意，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
11 用适当方法解下列关于$ x $的一元二次方程：
(1) $(3x + 1)^2 = 4$；
(2) $x^2 - 4x - 60 = 0$；
(3) $5(x - 3)^2 + x = 3$；
(4) $5x^2 + 2x - 7 = 0$；
(5) $\frac{1}{2}x - 1 = 2x^2$；
(6) $x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 = 0$；
(7) $x^2 + (x - 1)^2 = (2x - 3)^2$；
(8) $(x + 3)^2 = (2x - 5)^2$；
(9) $\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x = 2\sqrt{2}$；
(10) $(3 - 2\sqrt{2})x^2 + 2(\sqrt{2} - 1)x - 3 = 0$；
(11) $ax^2 - (bc + ca + ab)x + b^2c + bc^2 = 0$；
(12) $mx^2 + (4m + 1)x + 4m + 2 = 0$。
(1) $(3x + 1)^2 = 4$；
(2) $x^2 - 4x - 60 = 0$；
(3) $5(x - 3)^2 + x = 3$；
(4) $5x^2 + 2x - 7 = 0$；
(5) $\frac{1}{2}x - 1 = 2x^2$；
(6) $x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 = 0$；
(7) $x^2 + (x - 1)^2 = (2x - 3)^2$；
(8) $(x + 3)^2 = (2x - 5)^2$；
(9) $\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x = 2\sqrt{2}$；
(10) $(3 - 2\sqrt{2})x^2 + 2(\sqrt{2} - 1)x - 3 = 0$；
(11) $ax^2 - (bc + ca + ab)x + b^2c + bc^2 = 0$；
(12) $mx^2 + (4m + 1)x + 4m + 2 = 0$。
答案
11. (1) $x_1=\frac{1}{3},\ x_2=-1$
(2) $x_1=10,\ x_2=-6$
(3) $x_1=3,\ x_2=\frac{14}{5}$
(4) $x_1=-\frac{7}{5},\ x_2=1$
(5) 无实数根
(6) $x_1=x_2=-\sqrt{7}$
(7) $x_1=1,\ x_2=4$
(8) $x_1=8,\ x_2=\frac{2}{3}$
(9) $x=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$
(10) $x_1=-3\sqrt{2}-3,\ x_2=\sqrt{2}+1$ [提示:$3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2$,所以原方程可化为$[(\sqrt{2}-1)x+3][(\sqrt{2}-1)x-1]=0$,解得$x_1=-3\sqrt{2}-3,\ x_2=\sqrt{2}+1$。]
(11) $x_1=\frac{bc}{a},\ x_2=b+c$ [提示:原方程可化为$(ax-bc)(x-b-c)=0$,解得$x_1=\frac{bc}{a},\ x_2=b+c$。]
(12) $x_1=-\frac{2m+1}{m},\ x_2=-2$ [提示:原方程可化为$(mx+2m+1)(x+2)=0$,解得$x_1=-\frac{2m+1}{m},\ x_2=-2$。]
(2) $x_1=10,\ x_2=-6$
(3) $x_1=3,\ x_2=\frac{14}{5}$
(4) $x_1=-\frac{7}{5},\ x_2=1$
(5) 无实数根
(6) $x_1=x_2=-\sqrt{7}$
(7) $x_1=1,\ x_2=4$
(8) $x_1=8,\ x_2=\frac{2}{3}$
(9) $x=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$
(10) $x_1=-3\sqrt{2}-3,\ x_2=\sqrt{2}+1$ [提示:$3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2$,所以原方程可化为$[(\sqrt{2}-1)x+3][(\sqrt{2}-1)x-1]=0$,解得$x_1=-3\sqrt{2}-3,\ x_2=\sqrt{2}+1$。]
(11) $x_1=\frac{bc}{a},\ x_2=b+c$ [提示:原方程可化为$(ax-bc)(x-b-c)=0$,解得$x_1=\frac{bc}{a},\ x_2=b+c$。]
(12) $x_1=-\frac{2m+1}{m},\ x_2=-2$ [提示:原方程可化为$(mx+2m+1)(x+2)=0$,解得$x_1=-\frac{2m+1}{m},\ x_2=-2$。]
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：①形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程用直接开平方法最简便；②方程左右两边有公因式或者易因式分解为两个一次式乘积的用因式分解法；③不易因式分解的可整理为一般式$ax^2+bx+c=0$，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$再用公式法或配方法求解；含参数的方程默认二次项系数不为0，按上述方法求解即可。
【解析】
(1) 直接开平方法：
开平方得$3x+1=±2$，
当$3x+1=2$时，解得$x=\frac{1}{3}$；当$3x+1=-2$时，解得$x=-1$。
(2) 十字相乘法因式分解：
方程变形为$(x-10)(x+6)=0$，
则$x-10=0$或$x+6=0$，解得对应根。
(3) 提公因式法因式分解：
移项得$5(x-3)^2+(x-3)=0$，提取公因式$(x-3)$得$(x-3)(5x-14)=0$，
则$x-3=0$或$5x-14=0$，解得对应根。
(4) 十字相乘法因式分解：
方程变形为$(5x+7)(x-1)=0$，
则$5x+7=0$或$x-1=0$，解得对应根。
(5) 先整理为一般式再判断判别式：
移项得$2x^2-\frac{1}{2}x+1=0$，化简为$4x^2-x+2=0$，
判别式$\Delta=(-1)^2-4×4×2=-31＜0$，故无实数根。
(6) 完全平方公式因式分解：
方程变形为$(x+\sqrt{7})^2=0$，直接得重根。
(7) 展开整理后因式分解：
展开合并同类项得$x^2-5x+4=0$，因式分解为$(x-1)(x-4)=0$，解得对应根。
(8) 平方差公式因式分解：
移项得$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$，分解为$(3x-2)(-x+8)=0$，解得对应根。
(9) 公式法求解：
整理为一般式$\sqrt{2}x^2+4\sqrt{3}x-2\sqrt{2}=0$，计算得$\Delta=64$，代入求根公式化简得解。
(10) 利用$3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2$因式分解：
原方程化为$[(\sqrt{2}-1)x+3][(\sqrt{2}-1)x-1]=0$，分别解两个一次方程得根，注意分母有理化。
(11) 十字相乘法因式分解（$a≠0$）：
原方程分解为$(ax-bc)(x-b-c)=0$，解得对应根。
(12) 十字相乘法因式分解（$m≠0$）：
原方程分解为$(mx+2m+1)(x+2)=0$，解得对应根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{3},\ x_2=-1$
(2) $x_1=10,\ x_2=-6$
(3) $x_1=3,\ x_2=\frac{14}{5}$
(4) $x_1=-\frac{7}{5},\ x_2=1$
(5) 无实数根
(6) $x_1=x_2=-\sqrt{7}$
(7) $x_1=1,\ x_2=4$
(8) $x_1=8,\ x_2=\frac{2}{3}$
(9) $x=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$
(10) $x_1=-3\sqrt{2}-3,\ x_2=\sqrt{2}+1$
(11) $x_1=\frac{bc}{a},\ x_2=b+c$
(12) $x_1=-\frac{2m+1}{m},\ x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解，根的判别式
【点评】
本组题目覆盖了一元二次方程的各类常见题型，解题时要优先观察方程结构选择简便解法，对于含参数的方程要注意二次项系数不为0的隐含条件，有助于提升灵活运用解法的能力。
【难度系数】
0.6
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：①形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程用直接开平方法最简便；②方程左右两边有公因式或者易因式分解为两个一次式乘积的用因式分解法；③不易因式分解的可整理为一般式$ax^2+bx+c=0$，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$再用公式法或配方法求解；含参数的方程默认二次项系数不为0，按上述方法求解即可。
【解析】
(1) 直接开平方法：
开平方得$3x+1=±2$，
当$3x+1=2$时，解得$x=\frac{1}{3}$；当$3x+1=-2$时，解得$x=-1$。
(2) 十字相乘法因式分解：
方程变形为$(x-10)(x+6)=0$，
则$x-10=0$或$x+6=0$，解得对应根。
(3) 提公因式法因式分解：
移项得$5(x-3)^2+(x-3)=0$，提取公因式$(x-3)$得$(x-3)(5x-14)=0$，
则$x-3=0$或$5x-14=0$，解得对应根。
(4) 十字相乘法因式分解：
方程变形为$(5x+7)(x-1)=0$，
则$5x+7=0$或$x-1=0$，解得对应根。
(5) 先整理为一般式再判断判别式：
移项得$2x^2-\frac{1}{2}x+1=0$，化简为$4x^2-x+2=0$，
判别式$\Delta=(-1)^2-4×4×2=-31＜0$，故无实数根。
(6) 完全平方公式因式分解：
方程变形为$(x+\sqrt{7})^2=0$，直接得重根。
(7) 展开整理后因式分解：
展开合并同类项得$x^2-5x+4=0$，因式分解为$(x-1)(x-4)=0$，解得对应根。
(8) 平方差公式因式分解：
移项得$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$，分解为$(3x-2)(-x+8)=0$，解得对应根。
(9) 公式法求解：
整理为一般式$\sqrt{2}x^2+4\sqrt{3}x-2\sqrt{2}=0$，计算得$\Delta=64$，代入求根公式化简得解。
(10) 利用$3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2$因式分解：
原方程化为$[(\sqrt{2}-1)x+3][(\sqrt{2}-1)x-1]=0$，分别解两个一次方程得根，注意分母有理化。
(11) 十字相乘法因式分解（$a≠0$）：
原方程分解为$(ax-bc)(x-b-c)=0$，解得对应根。
(12) 十字相乘法因式分解（$m≠0$）：
原方程分解为$(mx+2m+1)(x+2)=0$，解得对应根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{3},\ x_2=-1$
(2) $x_1=10,\ x_2=-6$
(3) $x_1=3,\ x_2=\frac{14}{5}$
(4) $x_1=-\frac{7}{5},\ x_2=1$
(5) 无实数根
(6) $x_1=x_2=-\sqrt{7}$
(7) $x_1=1,\ x_2=4$
(8) $x_1=8,\ x_2=\frac{2}{3}$
(9) $x=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$
(10) $x_1=-3\sqrt{2}-3,\ x_2=\sqrt{2}+1$
(11) $x_1=\frac{bc}{a},\ x_2=b+c$
(12) $x_1=-\frac{2m+1}{m},\ x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解，根的判别式
【点评】
本组题目覆盖了一元二次方程的各类常见题型，解题时要优先观察方程结构选择简便解法，对于含参数的方程要注意二次项系数不为0的隐含条件，有助于提升灵活运用解法的能力。
【难度系数】
0.6
