1[2026湖北孝感期末]月历中有很多奥秘,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2024年12月份的月历,用一个正方形任意框出4个数,将这4个数先平方,然后交叉相加,再相减,结果都是一定的.例如:
$(2^2+10^2)-(3^2+9^2)=14$,
$(12^2+20^2)-(13^2+19^2)=14$.
(1)请你用这个正方形再框出4个数,验算一下,看看是否符合这个规律;
(2)把框出的4个数中左上角的数记为$n$,请用含$n$的式子把这个规律表示出来;
(3)请用整式的运算对以上规律加以证明.

(1) 如图,正方形框出的4个数为4,5,11,12(4个数不唯一).
$(4^2+12^2)-(5^2+11^2)=14$,符合规律.
(2) 左上角的数记为$n$,则右上角的数为$n+1$,左下角的数为$n+7$,右下角的数为$n+8$.
根据题意可得$[n^2+(n+8)^2]-[(n+1)^2+(n+7)^2]=14$.
(3) 证明:$[n^2+(n+8)^2]-[(n+1)^2+(n+7)^2]=n^2+n^2+16n+64-n^2-2n-1-n^2-14n-49=14$,则$[n^2+(n+8)^2]-[(n+1)^2+(n+7)^2]=14$成立.

2[2025广东肇庆期末](1)$22×48=(35-13)×(35+13)=35^2 -13^2=1056$,按上面的方法计算下列两个数的积(每组中两个数的和等于70),
你发现结果有什么规律?
$33×37,31×39,34×36$.
(2)和等于70时,哪两个数的乘积最大?

(1) $33×37=(35-2)(35+2)=35^2-2^2=1221$,
$31×39=(35-4)(35+4)=35^2-4^2=1209$,
$34×36=(35-1)(35+1)=35^2-1^2=1224$,
规律:和为70的两个数$a,b$的积等于$35^2-(\frac{a-b}{2})^2$.
(2) 35和35.

3[2025湖北襄阳质检]用10 m长的绳子围成长方形,试改变长方形一边的长,观察长方形的面积怎样变化.设长方形一边的长为x m,面积为S m².
(1)补全下表.

(2)试用含x的式子表示S,并写出x的取值范围.
(3)x取时,S最大,为.
(4)由上可得长方形的周长一定时,怎样围长方形才能使它的面积最大?

(1) 补全表格如下:
| 一边的长$x(\mathrm{m})$ | 4 | 3 | 2.5 | 2 | $x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 相邻的一边长$(\mathrm{m})$ | 1 | 2 | 2.5 | 3 | $5-x$ |
| 面积$S(\mathrm{m}^2)$ | 4 | 6 | 6.25 | 6 | $x(5-x)$ |
(2) $S=x(5-x)=-x^2+5x,0＜x＜5$.
(3) 由上表可以看出,$x=2.5$时,面积最大,为6.25.
(4) 长方形的周长一定时,围成正方形才能使它的面积最大.