登录
1[中]如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数$y=\frac{a-1}{x}(a＞1)$的图象于A，B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D。若$S_{△ BCD}=5$，则a的值为（
A.8
B.9
C.10
D.11
（第1题图）
（第2题图）
D
）A.8
B.9
C.10
D.11
（第1题图）
（第2题图）
答案
1. D 【解析】
连接OB由同底等高的两个三角形面积相等，可得$S_{△ ODB}=S_{△ BCD}$
$\frac{1}{2}|a-1|=5$，$a=11$或$a=-9$
反比例函数图象在第一、三象限，$a=11$。
解析
【分析】
遇到反比例函数与三角形面积结合的问题，优先考虑反比例函数中k的几何意义求解。首先观察图形特征：BD垂直y轴，可得BD平行于x轴，点O、C均在x轴上，因此△BCD和△ODB共底BD，且两三角形的高相等（均为x轴到直线BD的距离），故面积相等，可将已知的$S_{△ BCD}=5$转化为$S_{△ ODB}=5$。其次，△ODB是反比例函数图象上的点B向y轴作垂线形成的、以原点为顶点的三角形，符合k的几何意义的应用场景，可据此列方程求a的取值。最后结合反比例函数图象所在象限或者题干给出的$a＞1$的条件，舍去不符合要求的解，得到最终a的值。
【解析】
连接OB，
∵$BD⊥ y$轴，
∴$BD// x$轴，
∵点O和点C都在x轴上，
∴点O、C到直线BD的距离相等，
∴$△ ODB$和$△ BCD$同底等高，因此$S_{△ ODB}=S_{△ BCD}=5$。
根据反比例函数k的几何意义，对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过图象上任意一点作某一坐标轴的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，本题中$k=a-1$，因此列方程：
$\frac{1}{2}|a-1|=5$，
去绝对值得$a-1=10$或$a-1=-10$，解得$a=11$或$a=-9$。
又
∵反比例函数图象在第一、三象限，
∴$k=a-1＞0$，即$a＞1$，
∴舍去$a=-9$，最终得$a=11$。
【答案】D
【知识点】
反比例函数k的几何意义、同底等高三角形面积性质、反比例函数图象性质
【点评】
本题是反比例函数面积类问题的典型基础题，核心是利用同底等高的性质实现面积转化，再结合反比例函数k的几何意义求解参数，解题时要注意根据反比例函数图象的性质对参数的解进行取舍，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
遇到反比例函数与三角形面积结合的问题，优先考虑反比例函数中k的几何意义求解。首先观察图形特征：BD垂直y轴，可得BD平行于x轴，点O、C均在x轴上，因此△BCD和△ODB共底BD，且两三角形的高相等（均为x轴到直线BD的距离），故面积相等，可将已知的$S_{△ BCD}=5$转化为$S_{△ ODB}=5$。其次，△ODB是反比例函数图象上的点B向y轴作垂线形成的、以原点为顶点的三角形，符合k的几何意义的应用场景，可据此列方程求a的取值。最后结合反比例函数图象所在象限或者题干给出的$a＞1$的条件，舍去不符合要求的解，得到最终a的值。
【解析】
连接OB，
∵$BD⊥ y$轴，
∴$BD// x$轴，
∵点O和点C都在x轴上，
∴点O、C到直线BD的距离相等，
∴$△ ODB$和$△ BCD$同底等高，因此$S_{△ ODB}=S_{△ BCD}=5$。
根据反比例函数k的几何意义，对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过图象上任意一点作某一坐标轴的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，本题中$k=a-1$，因此列方程：
$\frac{1}{2}|a-1|=5$，
去绝对值得$a-1=10$或$a-1=-10$，解得$a=11$或$a=-9$。
又
∵反比例函数图象在第一、三象限，
∴$k=a-1＞0$，即$a＞1$，
∴舍去$a=-9$，最终得$a=11$。
【答案】D
【知识点】
反比例函数k的几何意义、同底等高三角形面积性质、反比例函数图象性质
【点评】
本题是反比例函数面积类问题的典型基础题，核心是利用同底等高的性质实现面积转化，再结合反比例函数k的几何意义求解参数，解题时要注意根据反比例函数图象的性质对参数的解进行取舍，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
2[2026江苏连云港调研,中]如图,已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上有一组点$B_1,B_2,···,B_n$,它们的横坐标依次增加1,且点$B_1$的横坐标为1.
①②③…分别表示如图所示的三角形的面积,记$S_1 = ① - ②$, $S_2 = ② - ③$, $···$, 则$S_1 + S_2 + ··· + S_{2025} =$
①②③…分别表示如图所示的三角形的面积,记$S_1 = ① - ②$, $S_2 = ② - ③$, $···$, 则$S_1 + S_2 + ··· + S_{2025} =$
$\frac{2025}{2026}$
.答案
2. $\frac{2025}{2026}$ 【解析】如图，连接$OB_2,OB_3,OB_4,OB_5,\dots$。
由反比例函数中系数$k$的几何意义可知，$△ A_1OB_1$，$△ A_2OB_2$，$△ A_3OB_3$，$△ A_4OB_4······$ 的面积都等于$\frac{1}{2}|k|=1$。
$\because$ 点$B_1,B_2,\dots,B_n$ 的横坐标依次增加1，且点$B_1$ 的横坐标为1，$\therefore S_{△ A_1OB_1}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×2=1$，$S_{△ A_1B_2A_2}=\frac{1}{2}|k|×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$S_{△ A_2B_3A_3}=\frac{1}{2}|k|×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，$S_{△ A_3B_4A_4}=\frac{1}{2}|k|×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，$\dots$，$\therefore S_1=①-②=1-\frac{1}{2}$，$S_2=②-③=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\dots$，$\therefore S_1+S_2+\dots+S_{2025}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$，故答案为$\frac{2025}{2026}$。
解析
【分析】
解题时首先结合反比例函数解析式确定各点$B_n$的坐标规律，再根据反比例函数$k$的几何意义或三角形面积公式求出每个标注三角形的面积，接着写出$S_1、S_2··· S_n$的表达式，观察发现相邻项可以相互抵消，最后利用裂项相消法求和即可得到最终结果。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{2}{x}$，点$B_1,B_2,\dots,B_n$的横坐标依次为1,2,…,n，代入解析式可得对应纵坐标为$2,1,\frac{2}{3},\dots,\frac{2}{n}$。
根据反比例函数$k$的几何意义，过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|=1$，结合每个标注三角形底均为1的特征可得：
第①个三角形面积$S_①=1$，
第②个三角形面积$S_②=\frac{1}{2}$，
第③个三角形面积$S_③=\frac{1}{3}$，
……
第k个三角形面积$S_k=\frac{1}{k}$（k为正整数）。
由题意得：
$S_1=①-②=1-\frac{1}{2}$，
$S_2=②-③=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
……
$S_{2025}= \frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$。
将上述式子相加，中间项相互抵消后得：
$S_1+S_2+\dots+S_{2025}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$。
【答案】
$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，规律探究，裂项相消计算
【点评】
本题是反比例函数与规律探究结合的典型题型，解题核心是利用反比例函数的性质求出各三角形的面积，再通过裂项相消的方法简化求和运算，能够有效考查学生的规律归纳能力和运算化简能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合反比例函数解析式确定各点$B_n$的坐标规律，再根据反比例函数$k$的几何意义或三角形面积公式求出每个标注三角形的面积，接着写出$S_1、S_2··· S_n$的表达式，观察发现相邻项可以相互抵消，最后利用裂项相消法求和即可得到最终结果。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{2}{x}$，点$B_1,B_2,\dots,B_n$的横坐标依次为1,2,…,n，代入解析式可得对应纵坐标为$2,1,\frac{2}{3},\dots,\frac{2}{n}$。
根据反比例函数$k$的几何意义，过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|=1$，结合每个标注三角形底均为1的特征可得：
第①个三角形面积$S_①=1$，
第②个三角形面积$S_②=\frac{1}{2}$，
第③个三角形面积$S_③=\frac{1}{3}$，
……
第k个三角形面积$S_k=\frac{1}{k}$（k为正整数）。
由题意得：
$S_1=①-②=1-\frac{1}{2}$，
$S_2=②-③=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
……
$S_{2025}= \frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$。
将上述式子相加，中间项相互抵消后得：
$S_1+S_2+\dots+S_{2025}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$。
【答案】
$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，规律探究，裂项相消计算
【点评】
本题是反比例函数与规律探究结合的典型题型，解题核心是利用反比例函数的性质求出各三角形的面积，再通过裂项相消的方法简化求和运算，能够有效考查学生的规律归纳能力和运算化简能力。
【难度系数】
0.6
3[较难]如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,点P(m,n)是函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$图象上异于点B的任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点E,F.设长方形OFPE中与正方形OABC不重合部分的面积为S.
(1)点B的坐标是
(2)当$S=\frac{9}{2}$时,求点P的坐标.
(1)点B的坐标是
(3,3)
,k=9
;(2)当$S=\frac{9}{2}$时,求点P的坐标.
答案
3.【解】(1)$\because$ 正方形OABC的面积为9，点B在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
$\therefore OA=OC=3$，$k=9$，$\therefore B(3,3)$。故答案为$(3,3)$，9。
(2)分两种情况：
①当点P在点B的左侧时，如图(1)，长方形OEPF和正方形OABC不重合部分为长方形PFCM，四边形COEM为长方形。$\because P(m,n)$在反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore S=9-3m=\frac{9}{2}$，解得$m=\frac{3}{2}$，则$n=6$，$\therefore$ 点P的坐标为$(\frac{3}{2},6)$。
②当点P在点B的右侧时，如图(2)，长方形OEPF和正方形OABC不重合部分为长方形ANPE，四边形OFNA为长方形。$\because P(m,n)$在反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore S=9-3n=\frac{9}{2}$，解得$n=\frac{3}{2}$，则$m=6$，$\therefore$ 点P的坐标为$(6,\frac{3}{2})$。
综上所述，P的坐标为$(\frac{3}{2},6)$或$(6,\frac{3}{2})$。
解析
【分析】
(1) 首先根据正方形的面积公式求出正方形的边长，即可得到点B的坐标；再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$\vert k\vert$，结合$k＞0$即可求出k的值。
(2) 点P在反比例函数图象上异于B的位置，需分两种情况讨论：①点P在点B左侧，此时不重合面积等于矩形OFPE的总面积减去重合部分矩形的面积（重合部分宽为3，长为点P的横坐标m）；②点P在点B右侧，此时不重合面积等于矩形OFPE的总面积减去重合部分矩形的面积（重合部分长为3，宽为点P的纵坐标n）。分别列方程求解后，代入反比例函数解析式即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 正方形OABC的面积为9，
$\therefore$ 正方形边长$OA=OC=\sqrt{9}=3$，
$\because$ 点B在第一象限，$\therefore$ 点B的坐标为$(3,3)$。
又$\because$ 点B在$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，$k=3×3=9$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{9}{x}(x＞0)$，矩形OFPE的面积为$mn=9$，分两种情况讨论：
①当点P在点B的左侧时，如图(1)，
重合部分是长为m、宽为3的矩形，面积为$3m$，
$\therefore$ 不重合部分面积$S=9-3m$，
令$S=\frac{9}{2}$，得$9-3m=\frac{9}{2}$，解得$m=\frac{3}{2}$，
将$m=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{9}{x}$，得$n=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6$，
$\therefore$ 此时点P坐标为$(\frac{3}{2},6)$。
②当点P在点B的右侧时，如图(2)，
重合部分是长为3、宽为n的矩形，面积为$3n$，
$\therefore$ 不重合部分面积$S=9-3n$，
令$S=\frac{9}{2}$，得$9-3n=\frac{9}{2}$，解得$n=\frac{3}{2}$，
将$n=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{9}{x}$，得$m=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6$，
$\therefore$ 此时点P坐标为$(6,\frac{3}{2})$。
综上所述，点P的坐标为$(\frac{3}{2},6)$或$(6,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) $(3,3)$，9；
(2) $(\frac{3}{2},6)$或$(6,\frac{3}{2})$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题时需要结合k的几何意义将不规则的不重合面积用含点P坐标的式子表示，同时要注意对点P的位置进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据正方形的面积公式求出正方形的边长，即可得到点B的坐标；再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$\vert k\vert$，结合$k＞0$即可求出k的值。
(2) 点P在反比例函数图象上异于B的位置，需分两种情况讨论：①点P在点B左侧，此时不重合面积等于矩形OFPE的总面积减去重合部分矩形的面积（重合部分宽为3，长为点P的横坐标m）；②点P在点B右侧，此时不重合面积等于矩形OFPE的总面积减去重合部分矩形的面积（重合部分长为3，宽为点P的纵坐标n）。分别列方程求解后，代入反比例函数解析式即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 正方形OABC的面积为9，
$\therefore$ 正方形边长$OA=OC=\sqrt{9}=3$，
$\because$ 点B在第一象限，$\therefore$ 点B的坐标为$(3,3)$。
又$\because$ 点B在$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，$k=3×3=9$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{9}{x}(x＞0)$，矩形OFPE的面积为$mn=9$，分两种情况讨论：
①当点P在点B的左侧时，如图(1)，
重合部分是长为m、宽为3的矩形，面积为$3m$，
$\therefore$ 不重合部分面积$S=9-3m$，
令$S=\frac{9}{2}$，得$9-3m=\frac{9}{2}$，解得$m=\frac{3}{2}$，
将$m=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{9}{x}$，得$n=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6$，
$\therefore$ 此时点P坐标为$(\frac{3}{2},6)$。
②当点P在点B的右侧时，如图(2)，
重合部分是长为3、宽为n的矩形，面积为$3n$，
$\therefore$ 不重合部分面积$S=9-3n$，
令$S=\frac{9}{2}$，得$9-3n=\frac{9}{2}$，解得$n=\frac{3}{2}$，
将$n=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{9}{x}$，得$m=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6$，
$\therefore$ 此时点P坐标为$(6,\frac{3}{2})$。
综上所述，点P的坐标为$(\frac{3}{2},6)$或$(6,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) $(3,3)$，9；
(2) $(\frac{3}{2},6)$或$(6,\frac{3}{2})$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题时需要结合k的几何意义将不规则的不重合面积用含点P坐标的式子表示，同时要注意对点P的位置进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4[中]如图，正比例函数$y=x$与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象相交于A,C两点.过A作$AB ⊥ x$轴于B，过C作$CD ⊥ x$轴于D，连接AD,BC，则四边形ABCD的面积为（
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
C
）A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
答案
4. C 【解析】$\because AB ⊥ x$轴，$CD ⊥ x$轴，点A，C在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ COD}=\frac{1}{2}$。根据反比例函数图象的对称性可知$OB=OD$，$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOD}$，$S_{△ COD}=S_{△ COB}$，$\therefore$ 四边形ABCD的面积为$S_{△ AOB}+S_{△ ODA}+S_{△ ODC}+S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×4=2$。故选C。
思路分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系，即$S=\frac{1}{2}|k|$，得出$S_{△ AOB}=S_{△ ODC}=\frac{1}{2}$，再根据反比例函数图象的对称性可知$OB=OD$，得出$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}$，$S_{△ COD}=S_{△ COB}$，进而得出结果。
思路分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系，即$S=\frac{1}{2}|k|$，得出$S_{△ AOB}=S_{△ ODC}=\frac{1}{2}$，再根据反比例函数图象的对称性可知$OB=OD$，得出$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}$，$S_{△ COD}=S_{△ COB}$，进而得出结果。
解析
【分析】
要计算四边形ABCD的面积，我们可以拆分图形求解：首先看到反比例函数图象上的点向x轴作垂线，优先想到反比例函数k的几何意义，可先求出△AOB和△COD的面积；再结合正比例函数和反比例函数都关于原点对称的性质，可得A、C关于原点对称，即OB=OD，根据“等底同高的三角形面积相等”，可推出剩下两个三角形△AOD、△COB的面积，最后将四个三角形面积相加即可得到四边形总面积。
【解析】
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，点A，C在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
根据反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，
∴$S_{△AOB}=S_{△COD}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
∵正比例函数$y=x$与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点A、C关于原点对称，即$OB=OD$。
△AOB和△AOD同高（高为点A的纵坐标），底$OB=OD$，故$S_{△AOB}=S_{△AOD}=\frac{1}{2}$；
同理，△COD和△COB同高（高为点C纵坐标的绝对值），底$OD=OB$，故$S_{△COD}=S_{△COB}=\frac{1}{2}$。
∴四边形ABCD的面积为：
$S_{△AOB}+S_{△AOD}+S_{△COD}+S_{△COB}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，函数图象的对称性，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，通过拆分四边形为多个三角形，结合k的几何意义和对称性快速求解，无需计算交点坐标，能够很好地考查对反比例函数相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要计算四边形ABCD的面积，我们可以拆分图形求解：首先看到反比例函数图象上的点向x轴作垂线，优先想到反比例函数k的几何意义，可先求出△AOB和△COD的面积；再结合正比例函数和反比例函数都关于原点对称的性质，可得A、C关于原点对称，即OB=OD，根据“等底同高的三角形面积相等”，可推出剩下两个三角形△AOD、△COB的面积，最后将四个三角形面积相加即可得到四边形总面积。
【解析】
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，点A，C在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
根据反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，
∴$S_{△AOB}=S_{△COD}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
∵正比例函数$y=x$与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点A、C关于原点对称，即$OB=OD$。
△AOB和△AOD同高（高为点A的纵坐标），底$OB=OD$，故$S_{△AOB}=S_{△AOD}=\frac{1}{2}$；
同理，△COD和△COB同高（高为点C纵坐标的绝对值），底$OD=OB$，故$S_{△COD}=S_{△COB}=\frac{1}{2}$。
∴四边形ABCD的面积为：
$S_{△AOB}+S_{△AOD}+S_{△COD}+S_{△COB}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，函数图象的对称性，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，通过拆分四边形为多个三角形，结合k的几何意义和对称性快速求解，无需计算交点坐标，能够很好地考查对反比例函数相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
5[难]如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别落在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$第一和第三象限的两支上,连接AB,线段AB恰好经过原点O,以AB为腰作等腰三角形ABC,AB=AC,点C落在第四象限内,且$BC// x$轴.过点C作$CD// AB$交双曲线在第一象限的一支于D点,若$△ ABD$的面积为8,则k的值为 (
A.2
B.3
C.4
D.$\sqrt{5}$
A
)A.2
B.3
C.4
D.$\sqrt{5}$
答案
5. A 【解析】如图，过点A作$AF ⊥ BC$于点F。$\because AB=AC$，$AF ⊥ BC$，$\therefore BF=CF$，$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ ACF}$。$\because AB // CD$，$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}=8$，$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ ACF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=4$，$\therefore 2|k|=4$，$\therefore k=\pm2$。$\because k＞0$，$\therefore k=2$。故选A。
关键点拨：本题考查反比例函数与一次函数图象的综合，理解并掌握“一点一垂线”的模型特征是解题关键。
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，由$AB// CD$可知$△ ABD$和$△ ABC$同底$AB$，高为两条平行线间的距离，根据同底等高的三角形面积相等，可得到$△ ABC$的面积；第二步，利用等腰三角形“三线合一”的性质，过$A$作$BC$的垂线，可将$△ ABC$分成面积相等的两个小三角形，求出小三角形的面积；第三步，结合反比例函数上点的坐标特征，建立小三角形面积和$k$的等量关系，结合$k＞0$的条件即可求出$k$的值。
【解析】
如图，过点$A$作$AF ⊥ BC$于点$F$。
$\because AB=AC$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore BF=CF$，则$S_{△ ABF}=S_{△ ACF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
$\because AB // CD$，$△ ABC$和$△ ABD$同底$AB$，高为平行线$AB$与$CD$的间距，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}=8$，
$\therefore S_{△ ABF}=\frac{1}{2}×8=4$。
设$A(x,y)$，由$A$、$B$关于原点对称，$BC// x$轴、$AF⊥ BC$可得$B(-x,-y)$，$F(x,-y)$，则$BF=2x$，$AF=2y$，
$\therefore S_{△ABF}=\frac{1}{2}×2x×2y=2xy$，
又$\because$点$A$在$y=\frac{k}{x}$上，$\therefore xy=k$，即$2k=4$，解得$k=\pm2$。
$\because k＞0$，$\therefore k=2$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
反比例函数k的几何意义；等腰三角形的性质；同底等高三角形面积关系
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是利用平行线的性质完成面积转化，再结合等腰三角形性质和反比例函数的特征建立等量关系，能很好地考查数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.3
解题思路可分三步梳理：第一步，由$AB// CD$可知$△ ABD$和$△ ABC$同底$AB$，高为两条平行线间的距离，根据同底等高的三角形面积相等，可得到$△ ABC$的面积；第二步，利用等腰三角形“三线合一”的性质，过$A$作$BC$的垂线，可将$△ ABC$分成面积相等的两个小三角形，求出小三角形的面积；第三步，结合反比例函数上点的坐标特征，建立小三角形面积和$k$的等量关系，结合$k＞0$的条件即可求出$k$的值。
【解析】
如图，过点$A$作$AF ⊥ BC$于点$F$。
$\because AB=AC$，$AF ⊥ BC$，
$\therefore BF=CF$，则$S_{△ ABF}=S_{△ ACF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
$\because AB // CD$，$△ ABC$和$△ ABD$同底$AB$，高为平行线$AB$与$CD$的间距，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}=8$，
$\therefore S_{△ ABF}=\frac{1}{2}×8=4$。
设$A(x,y)$，由$A$、$B$关于原点对称，$BC// x$轴、$AF⊥ BC$可得$B(-x,-y)$，$F(x,-y)$，则$BF=2x$，$AF=2y$，
$\therefore S_{△ABF}=\frac{1}{2}×2x×2y=2xy$，
又$\because$点$A$在$y=\frac{k}{x}$上，$\therefore xy=k$，即$2k=4$，解得$k=\pm2$。
$\because k＞0$，$\therefore k=2$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
反比例函数k的几何意义；等腰三角形的性质；同底等高三角形面积关系
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是利用平行线的性质完成面积转化，再结合等腰三角形性质和反比例函数的特征建立等量关系，能很好地考查数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.3
