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1. 如果关于$x$的一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根分别为$x=3,x=1$,那么这个一元二次方程是（
A.$x^2+3x+4=0$
B.$x^2-4x+3=0$
C.$x^2+4x-3=0$
D.$x^2+3x-4=0$
B
）A.$x^2+3x+4=0$
B.$x^2-4x+3=0$
C.$x^2+4x-3=0$
D.$x^2+3x-4=0$
答案
1. B 解析:
∵方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1=3,x_2=1$,$\therefore x_1+x_2=3+1=4=-p$,得$p=-4$,$x_1· x_2=3×1=3=q$,得$q=3$,$\therefore$这个一元二次方程为$x^2-4x+3=0$.故选B.
∵方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1=3,x_2=1$,$\therefore x_1+x_2=3+1=4=-p$,得$p=-4$,$x_1· x_2=3×1=3=q$,得$q=3$,$\therefore$这个一元二次方程为$x^2-4x+3=0$.故选B.
2. (2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 (
A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
B
)A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
答案
2. B 解析:
∵小影在化简过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1,$\therefore x_1+x_2=6+1=7$.又
∵小冬写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5,$\therefore x_1x_2=10$.
A.$x^2+6x+5=0$中,$x_1+x_2=-6$,$x_1x_2=5$,不符合题意;B.$x^2-7x+10=0$中,$x_1+x_2=7$,$x_1x_2=10$,符合题意;C.$x^2-5x+2=0$中,$x_1+x_2=5$,$x_1x_2=2$,不符合题意;D.$x^2-6x-10=0$中,$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=-10$,不符合题意.故选B.
∵小影在化简过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1,$\therefore x_1+x_2=6+1=7$.又
∵小冬写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5,$\therefore x_1x_2=10$.
A.$x^2+6x+5=0$中,$x_1+x_2=-6$,$x_1x_2=5$,不符合题意;B.$x^2-7x+10=0$中,$x_1+x_2=7$,$x_1x_2=10$,符合题意;C.$x^2-5x+2=0$中,$x_1+x_2=5$,$x_1x_2=2$,不符合题意;D.$x^2-6x-10=0$中,$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=-10$,不符合题意.故选B.
3. (2026·襄阳期末)已知关于x的方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0$的两实数根为$x_1, x_2$，若$x_1 + x_2 = 7$，则m的值为（
A.-3
B.3
C.$\sqrt{7}$或$-\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}$
A
）A.-3
B.3
C.$\sqrt{7}$或$-\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}$
答案
3. A 解析:由题意,$x_1+x_2=1-2m=7$,解得$m=-3$,此时方程化为$x^2-7x+9=0$,$\Delta=49-4×9=13＞0$,符合题意,故$m=-3$.
4. (1)已知关于x的一元二次方程$x^2+mx-2m=0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，若$x_1x_2=-2$，则$x_1+x_2=$
(2)(2025·苏州中考)已知$x_1,x_2$是关于x的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
-1
.(2)(2025·苏州中考)已知$x_1,x_2$是关于x的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
-3
.答案
4. (1)-1 解析:
∵$x_1x_2=-2m=-2$,$\therefore m=1$,$\therefore x_1+x_2=-1$.
(2)-3 解析:
∵$x_1,x_2$是关于x的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-2$.
∵$x_1=1$,$\therefore x_2=-3$.
归纳总结 对于含一个字母系数的一元二次方程,已知一个根求另一个根有两种方法:①根据根与系数的关系求解;②把已知根代入原方程求出未知字母的值,再解方程.
∵$x_1x_2=-2m=-2$,$\therefore m=1$,$\therefore x_1+x_2=-1$.
(2)-3 解析:
∵$x_1,x_2$是关于x的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-2$.
∵$x_1=1$,$\therefore x_2=-3$.
归纳总结 对于含一个字母系数的一元二次方程,已知一个根求另一个根有两种方法:①根据根与系数的关系求解;②把已知根代入原方程求出未知字母的值,再解方程.
5. (巴中中考)对于任意实数$a,b$,定义:$a◆b = a^2+ab+b^2$.若方程$(x◆2)-5=0$的两根记为$m$, $n$,则$m^2+n^2=$
6
.答案
5. 6 解析:$x^2+2x-1=0$,$m+n=-2$,$mn=-1$,$\therefore m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=6$.
6. 方程$x^2 - 3x + 6 = 0$与方程$2x^2 - 6x + 3 = 0$所有实数根的和等于
3
.答案
6. 3 解析:方程$x^2-3x+6=0$中,$\Delta＜0$,没有实数根,$2x^2-6x+3=0$的两实数根之和为3.
7. 原创题 已知实数 $a,b,c$ 满足 $\sqrt{a-2}+(b-4)^2 + |c+1|=0$，关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个实数根分别为 $x_1,x_2$，不解方程求下列各式的值：
(1) $x_1^2 + x_2^2$；
(2) $(x_1 - x_2)^2$；
(3) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$；
(4) $(x_1 - 2)(x_2 - 2)$；
(5) $x_1^3x_2 + x_1x_2^3$。
(1) $x_1^2 + x_2^2$；
(2) $(x_1 - x_2)^2$；
(3) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$；
(4) $(x_1 - 2)(x_2 - 2)$；
(5) $x_1^3x_2 + x_1x_2^3$。
答案
7.
∵$\sqrt{a-2}+(b-4)^2+|c+1|=0$,$\therefore a=2$,$b=4$,$c=-1$,$\therefore$方程为$2x^2+4x-1=0$,$\therefore x_1+x_2=-2$,$x_1x_2=-\frac{1}{2}$.
(1)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-2)^2-2×(-\frac{1}{2})=5$.
(2)$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-2)^2-4×(-\frac{1}{2})=6$.
(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-2}{-\frac{1}{2}}=4$.
(4)$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{1}{2}-2×(-2)+4=\frac{15}{2}$.
(5)$x_1^3x_2+x_1x_2^3=x_1x_2(x_1^2+x_2^2)=-\frac{1}{2}×5=-\frac{5}{2}$.
归纳总结 常用变形方法:
(1)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$;(2)$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$;(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$;(4)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$;(5)$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$.
∵$\sqrt{a-2}+(b-4)^2+|c+1|=0$,$\therefore a=2$,$b=4$,$c=-1$,$\therefore$方程为$2x^2+4x-1=0$,$\therefore x_1+x_2=-2$,$x_1x_2=-\frac{1}{2}$.
(1)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-2)^2-2×(-\frac{1}{2})=5$.
(2)$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-2)^2-4×(-\frac{1}{2})=6$.
(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-2}{-\frac{1}{2}}=4$.
(4)$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{1}{2}-2×(-2)+4=\frac{15}{2}$.
(5)$x_1^3x_2+x_1x_2^3=x_1x_2(x_1^2+x_2^2)=-\frac{1}{2}×5=-\frac{5}{2}$.
归纳总结 常用变形方法:
(1)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$;(2)$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$;(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$;(4)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$;(5)$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$.
8. 已知关于$x$的方程$4x^2 + (a^2 - 3a - 10)x - 4a = 0$的两个实数根互为相反数，则$a$的值为（
A.5或-2
B.0
C.5
D.-2
C
）A.5或-2
B.0
C.5
D.-2
答案
8. C 解析:设关于x的方程$4x^2+(a^2-3a-10)x-4a=0$的两个实数根为m,n,$\therefore m+n=-\frac{a^2-3a-10}{4}$,$mn=\frac{-4a}{4}=-a$.
∵关于x的方程$4x^2+(a^2-3a-10)x-4a=0$的两个实数根互为相反数,$\therefore m+n=-\frac{a^2-3a-10}{4}=0$,$m=-n$,$\therefore a=5$或$a=-2$.
∵$mn=-m^2=-a$,$\therefore a=m^2$,$\therefore a\ge0$,$\therefore a=5$.
∵关于x的方程$4x^2+(a^2-3a-10)x-4a=0$的两个实数根互为相反数,$\therefore m+n=-\frac{a^2-3a-10}{4}=0$,$m=-n$,$\therefore a=5$或$a=-2$.
∵$mn=-m^2=-a$,$\therefore a=m^2$,$\therefore a\ge0$,$\therefore a=5$.
9. (2025·湘西模拟)若实数$a,b$满足$a^2 - 8a + 5 = 0$，$b^2 - 8b + 5 = 0$，则$\frac{b-1}{a-1} + \frac{a-1}{b-1}$的值为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$-2$或$20$
C.$2$或$-20$
D.$-20$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$-2$或$20$
C.$2$或$-20$
D.$-20$
答案
9. C 解析:①当$a=b$时,a和b满足$a^2-8a+5=0$,且$a\ne1$(因为代入$a=1$得$1-8+5=-2\ne0$),$\therefore$原式$=\frac{a-1}{a-1}+\frac{a-1}{a-1}=1+1=2$;
②当$a\ne b$时,a和b是方程$x^2-8x+5=0$的两个根,$\therefore a+b=8$,$ab=5$.原式$=\frac{(b-1)^2+(a-1)^2}{(a-1)(b-1)}=\frac{a^2+b^2-2(a+b)+2}{ab-(a+b)+1}$,$\because a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=64-10=54$,$\therefore a^2+b^2-2(a+b)+2=54-2×8+2=40$,$ab-(a+b)+1=5-8+1=-2$,$\therefore$原式$=\frac{40}{-2}=-20$.综上所述,原式的值为2或-20.故选C.
②当$a\ne b$时,a和b是方程$x^2-8x+5=0$的两个根,$\therefore a+b=8$,$ab=5$.原式$=\frac{(b-1)^2+(a-1)^2}{(a-1)(b-1)}=\frac{a^2+b^2-2(a+b)+2}{ab-(a+b)+1}$,$\because a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=64-10=54$,$\therefore a^2+b^2-2(a+b)+2=54-2×8+2=40$,$ab-(a+b)+1=5-8+1=-2$,$\therefore$原式$=\frac{40}{-2}=-20$.综上所述,原式的值为2或-20.故选C.
10. (2025·福建中考)设$x_1,x_2$是方程$x^2+x-3=0$的两个根，那么$x_1^3 -4x_2^2 +15$的值为
-4
。答案
10. -4 解析:
∵$x_1,x_2$是方程$x^2+x-3=0$的根,$\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-1$,$x_1^2=-x_1+3$,$x_2^2=-x_2+3$.
∵$x_1^3=x_1· x_1^2=x_1(-x_1+3)=-x_1^2+3x_1=-(-x_1+3)+3x_1=4x_1-3$,$\therefore x_1^3-4x_2^2+15=(4x_1-3)-4(-x_2+3)+15=4x_1-3+4x_2-12+15=4(x_1+x_2)=4×(-1)=-4$.
归纳总结 当所求代数式为非对称式时,一般将代数式分离成两部分:一部分(常为高次项)利用根的意义将根代入原方程,整理得到一个与所求相关的结构式;另一部分利用根与系数的关系代入求解.
∵$x_1,x_2$是方程$x^2+x-3=0$的根,$\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-1$,$x_1^2=-x_1+3$,$x_2^2=-x_2+3$.
∵$x_1^3=x_1· x_1^2=x_1(-x_1+3)=-x_1^2+3x_1=-(-x_1+3)+3x_1=4x_1-3$,$\therefore x_1^3-4x_2^2+15=(4x_1-3)-4(-x_2+3)+15=4x_1-3+4x_2-12+15=4(x_1+x_2)=4×(-1)=-4$.
归纳总结 当所求代数式为非对称式时,一般将代数式分离成两部分:一部分(常为高次项)利用根的意义将根代入原方程,整理得到一个与所求相关的结构式;另一部分利用根与系数的关系代入求解.
11. (1)(烟台中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x + m -1 =0$的实数根$x_1,x_2$满足$3x_1x_2 -x_1 -x_2 ＞2$，则$m$的取值范围是
(2)(岳阳中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 +2mx + m^2 -m +2=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$x_1 +x_2 +x_1 · x_2 =2$，则实数$m=$
3＜m≤5
。(2)(岳阳中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 +2mx + m^2 -m +2=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$x_1 +x_2 +x_1 · x_2 =2$，则实数$m=$
3
。答案
11. (1)$3＜m\le5$ 解析:由题意得$x_1+x_2=4$,$x_1x_2=m-1$,$\therefore \Delta=(-4)^2-4(m-1)\ge0$且$3×(m-1)-4＞2$,解得$3＜m\le5$.
(2)3 解析:由题意得$\Delta=(2m)^2-4×1×(m^2-m+2)＞0$,$\therefore m＞2$.
∵$x_1,x_2$是$x^2+2mx+m^2-m+2=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-2m$,$x_1· x_2=m^2-m+2$.
∵$x_1+x_2+x_1· x_2=2$,$\therefore -2m+m^2-m+2=2$,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=3$,$\therefore$实数$m$的值为3.
(2)3 解析:由题意得$\Delta=(2m)^2-4×1×(m^2-m+2)＞0$,$\therefore m＞2$.
∵$x_1,x_2$是$x^2+2mx+m^2-m+2=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-2m$,$x_1· x_2=m^2-m+2$.
∵$x_1+x_2+x_1· x_2=2$,$\therefore -2m+m^2-m+2=2$,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=3$,$\therefore$实数$m$的值为3.
