12. 已知关于$x$的方程$x^2 - (2k - 3)x + k^2 + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1, x_2$.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$x_1, x_2$满足$|x_1| + |x_2| = 2|x_1x_2| - 3$，求$k$的值.

12. (1)
∵原方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=[-(2k-3)]^2-4(k^2+1)=4k^2-12k+9-4k^2-4=-12k+5＞0$,解得$k＜\frac{5}{12}$.
(2)
∵$k＜\frac{5}{12}$,$\therefore x_1+x_2=2k-3＜0$.又
∵$x_1· x_2=k^2+1＞0$,$\therefore x_1＜0$,$x_2＜0$,$\therefore |x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=-2k+3$.
∵$|x_1|+|x_2|=2|x_1x_2|-3$,$\therefore -2k+3=2k^2+2-3$,即$k^2+k-2=0$,$\therefore k_1=1$,$k_2=-2$.又
∵$k＜\frac{5}{12}$,$\therefore k=-2$.

13. 改编题 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两实数根.
(1)若$x_1,x_2$恰好是矩形的两邻边长,且$m=3$,求该矩形的周长和面积;
(2)若$2x_1,2x_2$恰好是菱形的两条对角线的长,菱形边长为6,则$m=$;
(3)若等腰$△ ABC$的一边长为7,且$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的长,求这个三角形的周长.

13. (1)
∵$m=3$,$\therefore$原方程化为$x^2-8x+14=0$,$\therefore x_1+x_2=8$,$x_1x_2=14$,$\therefore$该矩形的周长为$2(x_1+x_2)=16$,面积为$x_1x_2=14$.
(2)3 解析:$x_1+x_2=2m+2$,$x_1x_2=m^2+5$.
∵$2x_1,2x_2$是边长为6的菱形的两条对角线的长,$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m+2)^2-2(m^2+5)=6^2=36$,解得$m=-7$或$m=3$.由题意可知$\Delta=[-(2m+2)]^2-4(m^2+5)\ge0$,$x_1+x_2=2m+2＞0$,$x_1x_2=m^2+5＞0$,$\therefore m\ge2$,$\therefore m=3$.
(3)①当7为底边长时,方程的两根为腰,$\therefore$两根相等,即$\Delta=0$,解得$m=2$,代入原方程可解得$x_1=x_2=3$.
∵$3+3＜7$,$\therefore$不能构成三角形.
②当7为腰长时,$x=7$是方程的一个根,把$x=7$代入方程得$49-14(m+1)+m^2+5=0$,整理得$m^2-14m+40=0$,解得$m_1=10$,$m_2=4$.当$m=10$时,$x_1+x_2=2(m+1)=22$,$\therefore x_2=15$,而$7+7＜15$,不能构成三角形,故舍去;当$m=4$时,$x_1+x_2=2(m+1)=10$,$\therefore x_2=3$,则三角形的周长为$3+7+7=17$.综上,这个三角形的周长为17.

14. (2026·北京月考)已知关于$x$的方程$x^2 - bx - c = 0(bc≠0)$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2(x_1＜x_2)$，关于$x$的方程$bx+c=0$的根为$x_3$，给出下面三个结论：
①$x_1＜x_2＜x_3$；②$x_1＜x_3＜x_2$；③$x_3＜x_1＜x_2$。
上述结论中，所有可能正确的结论的序号是。

14. ①③ 解析:对于方程$x^2-bx-c=0(bc\ne0)$有两个不相等的实数根$x_1$,$x_2$($x_1＜x_2$),由根与系数的关系,得$x_1+x_2=b$,$x_1x_2=-c$,对于方程$bx+c=0$,解得$x_3=-\frac{c}{b}$,代入根与系数的关系,$x_3=-\frac{-x_1x_2}{x_1+x_2}=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}$,$\therefore x_3-x_1=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}-x_1=\frac{x_1x_2-x_1(x_1+x_2)}{x_1+x_2}=\frac{-x_1^2}{x_1+x_2}$,$x_3-x_2=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}-x_2=\frac{x_1x_2-x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2}=\frac{-x_2^2}{x_1+x_2}$,分情况讨论:当$x_1＜x_2＜0$时,$x_1+x_2＜0$,则$x_3-x_1＞0$,$x_3-x_2＞0$,所以$x_1＜x_2＜x_3$,结论①正确;当$0＜x_1＜x_2$时,$x_1+x_2＞0$,则$x_3-x_1＜0$,$x_3-x_2＜0$,所以$x_3＜x_1＜x_2$,结论③正确;当$x_1＜0＜x_2$时,若$|x_1|＞|x_2|$,则$x_1+x_2＜0$,$x_3-x_1＞0$,$x_3-x_2＞0$,所以$x_1＜x_2＜x_3$,结论①正确;若$|x_1|＜|x_2|$,则$x_1+x_2＞0$,$x_3-x_1＜0$,$x_3-x_2＜0$,所以$x_3＜x_1＜x_2$,结论③正确.综上,所有可能正确的结论的序号是①③.

15. (荆州中考)已知在关于$x$的分式方程$\frac{k-1}{x-1}=2$ ①和一元二次方程$(2 - k)x^2 + 3mx + (3 - k)n = 0$ ②中，$k,m,n$均为实数，方程①的根为非负数。
(1)$k$的取值范围是。
(2)当方程②有两个整数根$x_1,x_2$，$k$为整数，且$k=m+2,n=1$时，求方程②的整数根。
(3)当方程②有两个实数根$x_1,x_2$满足$x_1(x_1 -k)+x_2(x_2 -k)=(x_1 -k)(x_2 -k)$，且$k$为负整数时，试判断$|m|≤2$是否成立？请说明理由。

15. (1)$k\ge-1$且$k\ne1$且$k\ne2$ 解析:
∵分式方程$\frac{k-1}{x-1}=2$的根为非负数,$\therefore x\ge0$且$x\ne1$,即$x=\frac{k+1}{2}\ge0$,且$\frac{k+1}{2}\ne1$,解得$k\ge-1$且$k\ne1$.又一元二次方程的二次项系数$2-k\ne0$,$\therefore k\ne2$.综上可得,$k\ge-1$且$k\ne1$且$k\ne2$.
(2)
∵一元二次方程$(2-k)x^2+3mx+(3-k)n=0$有两个整数根$x_1,x_2$,且$k=m+2$,$n=1$,$\therefore$把$k=m+2$,$n=1$代入原方程得$mx^2-3mx+m-1=0$,$\therefore \Delta=(-3m)^2-4m(m-1)=m(5m+4)\ge0$,且$m\ne0$.
∵$x_1,x_2$,$k$,$m$都是整数,且$x_1+x_2=3$,$x_1· x_2=\frac{m-1}{m}=1-\frac{1}{m}$,$\therefore 1-\frac{1}{m}$为整数,$\therefore m=1$或$m=-1$.
又由(1)中k的取值范围知$m+2\ge-1$且$m+2\ne1$且$m+2\ne2$,$\therefore m\ge-3$且$m\ne-1$且$m\ne0$,$\therefore m=1$.把$m=1$代入方程$mx^2-3mx+m-1=0$得$x^2-3x+1-1=0$,即$x^2-3x=0$,$\therefore x(x-3)=0$,解得$x_1=0$,$x_2=3$.
(3)$|m|\le2$成立.理由如下:由(1)知$k\ge-1$且$k\ne1$且$k\ne2$.
∵$k$是负整数,$\therefore k=-1$.
∵方程$(2-k)x^2+3mx+(3-k)n=0$有两个实数根$x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=-\frac{3m}{2-k}=\frac{3m}{k-2}=-m$,$x_1x_2=\frac{(3-k)n}{2-k}=\frac{4}{3}n$.
∵$x_1(x_1-k)+x_2(x_2-k)=(x_1-k)·(x_2-k)$,即$x_1^2-x_1k+x_2^2-x_2k=x_1x_2-x_1k-x_2k+k^2$,$\therefore x_1^2+x_2^2=x_1x_2+k^2$,则$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-x_1x_2=k^2$,$\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2=k^2$,$\therefore (-m)^2-3×\frac{4}{3}n=1$,即$m^2-4n=1$,$\therefore n=\frac{m^2-1}{4}$.
由题意知方程②的根的判别式$\Delta=(3m)^2-4(2-k)(3-k)n=9m^2-48n\ge0$,把$n=\frac{m^2-1}{4}$代入,可得$9m^2-48×\frac{m^2-1}{4}\ge0$,$\therefore m^2\le4$,则$|m|\le2$,$\therefore |m|\le2$成立.