9. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y_1=k_1x+b$与双曲线$y_2=\frac{k_2}{x}$(其中$k_1 · k_2 ≠ 0$)相交于$A(-2,3),B(m,-2)$两点,过点$B$作$BP // x$轴,交$y$轴于点$P$,则$△ ABP$的面积是.

9. $\frac{15}{2}$ 解析: $\because$ 直线 $y_1=k_1x+b$ 与双曲线 $y_2=\frac{k_2}{x}$(其中 $k_1 · k_2 ≠ 0$)相交于 $A(-2,3)$,$B(m,-2)$ 两点,$\therefore k_2=-2× 3=-2m$,$\therefore m=3$,$\therefore B(3,-2)$.$\because BP// x$ 轴,$\therefore BP=3$,$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×3×(3+2)=\frac{15}{2}$.

10.（甘孜州中考）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=x+1$的图象与反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象交于$A,B$两点.若点$P$是第一象限内反比例函数图象上一点，且$△ ABP$的面积是$△ AOB$的面积的2倍，则点$P$的横坐标为________.

10. 2 或 $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ 解析:如图,当点 P 在 AB 下方时,作 AB 的平行线 l,使点 O 到直线 AB 和到直线 l 的距离相等,则 $△ ABP$ 的面积是 $△ AOB$ 的面积的 2 倍,直线 AB 与 x 轴交点的坐标为 $(-1,0)$,则直线 l 与 x 轴交点的坐标为 $C(1,0)$,设直线 l 的解析式为 $y=x+b$,将点 C 的坐标代入解得 $b=-1$,故直线 l 的解析式为 $y=x-1$ ①,而反比例函数的解析式为 $y=\frac{2}{x}$ ②,联立①②,解得 $x=2$ 或 $x=-1$(舍去);当点 P 在 AB 上方时,同理可得,直线 l 的函数解析式为 $y=x+3$ ③,联立②③,解得 $x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$(负值已舍去).故答案为 2 或 $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$.

11.（无锡中考）如图，一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限内交于点$A,B$，与$x$轴交于点$C$，$AB=BC$.若$△ OAC$的面积为8，则$k$的值为（）


A.$2$
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$4$

11. C 解析:过点 A,B 分别作 $AD ⊥ x$ 轴于点 D,$BE ⊥ x$ 轴于点 E,如图所示,$\therefore AD// BE$.$\because AB=BC$,$\therefore BE$ 是 $△ ADC$ 的中位线,$\therefore AD=2BE$.设 $BE=t$,则 $AD=2t$,对于 $y=ax+b$,当 $y=t$ 时,$x=\frac{t-b}{a}$,当 $y=2t$ 时,$x=\frac{2t-b}{a}$,$\therefore$ 点 $A(\frac{2t-b}{a},2t)$,点 $B(\frac{t-b}{a},t)$.$\because$ 点 A,B 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,$\therefore k=2t·\frac{2t-b}{a}=t·\frac{t-b}{a}$,$\therefore b=3t$.对于 $y=ax+b$,当 $y=0$ 时,$x=-\frac{b}{a}$,$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(-\frac{b}{a},0)$,$\therefore OC=-\frac{b}{a}$.$\because △ OAC$ 的面积为 8,$\therefore \frac{1}{2}OC· AD=8$,即 $\frac{1}{2}×(-\frac{b}{a})×2t=8$,$\therefore bt=-8a$.$\because b=3t$,$\therefore t^2=-\frac{8a}{3}$,$\therefore k=t·\frac{t-b}{a}=\frac{t^2-bt}{a}=\frac{-\frac{8a}{3}+8a}{a}=\frac{16}{3}$.

12. (2026·柳州模拟)如图,一次函数$y=-x+b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m,3)$和$B(3,1)$.点$P$是线段$AB$上一点,过点$P$作$PD⊥x$轴于点$D$,连接$OP$,若$△ POD$的面积为$S$,则$S$的取值范围是.

12. $\frac{3}{2} ≤ S ≤ 2$ 解析:把点 $B(3,1)$ 分别代入 $y=-x+b$ 和 $y=\frac{k}{x}$ 得 $-3+b=1$,$1=\frac{k}{3}$,解得 $b=4$,$k=3$,$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=-x+4$,反比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{x}$.$\because$ 点 P 是线段 AB 上一点,设 $P(n,-n+4)$,把点 $A(m,3)$ 代入 $y=\frac{3}{x}$ 可得 $m=1$,$\therefore 1 ≤ n ≤ 3$,$\therefore S=\frac{1}{2}OD· PD=\frac{1}{2}· n(-n+4)=-\frac{1}{2}(n^2-4n)=-\frac{1}{2}(n-2)^2+2$.$\because -\frac{1}{2}＜0$,且 $1 ≤ n ≤ 3$,$\therefore$ 当 $n=2$ 时,$S$ 有最大值,最大值是 2,当 $n=1$ 或 $n=3$ 时,$S$ 有最小值,最小值是 $\frac{3}{2}$,$\therefore S$ 的取值范围为 $\frac{3}{2} ≤ S ≤ 2$.

13. (2026·银川月考)如图,一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于第一象限C,D两点,与坐标轴交于A,B两点,连接OC,OD(O是坐标原点).
(1)利用图中条件,求反比例函数的解析式.
(2)求$△ DOC$的面积.
(3)在x轴上是否存在一点P,使得$△ POD$是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

13. (1)$\because$ 一次函数 $y=ax+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象交于第一象限 C,D 两点,$\therefore$ 将 $C(1,4)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$ 得 $4=\frac{k}{1}$,解得 $k=4$,$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{4}{x}$.
(2)根据题意将 $D(4,m)$ 代入 $y=\frac{4}{x}$ 得 $m=\frac{4}{4}=1$,$\therefore D(4,1)$.将 $C(1,4)$ 和 $D(4,1)$ 分别代入 $y=ax+b$ 得 $\begin{cases} a+b=4, \\ 4a+b=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=-1, \\ b=5, \end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=-x+5$,当 $y=0$ 时,即 $0=-x+5$,解得 $x=5$,$\therefore A(5,0)$,$\therefore OA=5$,$\therefore S_{△ DOC}=S_{△ COA}-S_{△ DOA}=\frac{1}{2}×5×4-\frac{1}{2}×5×1=7.5$.
(3)存在.设 $P(n,0)$,$\because D(4,1)$,$\therefore OD^2=4^2+1^2=17$,$OP^2=n^2$,$DP^2=(4-n)^2+1^2$,当 $OD=OP$ 时,$OD^2=OP^2$,$\therefore n^2=17$,解得 $n=\sqrt{17}$ 或 $n=-\sqrt{17}$,$\therefore P_1(\sqrt{17},0)$,$P_2(-\sqrt{17},0)$;当 $OD=DP$ 时,$OD^2=DP^2$,$\therefore (4-n)^2+1^2=17$,解得 $n=8$ 或 $n=0$(不符合题意,舍去),$\therefore P_3(8,0)$;当 $DP=OP$ 时,$DP^2=OP^2$,$\therefore (4-n)^2+1^2=n^2$,解得 $n=\frac{17}{8}$,$\therefore P_4(\frac{17}{8},0)$.
综上,在x轴上存在一点 P,使得 $△ POD$ 是等腰三角形,点 P 的坐标为 $(\sqrt{17},0)$,$(-\sqrt{17},0)$,$(8,0)$,$(\frac{17}{8},0)$.