5.(2025·宿城区期末)如图,在直线$l:y=x-4$上方的双曲线$y=\frac{2}{x}(x＞0)$上有一个动点$P$,过点$P$作$x$轴的垂线,交直线$l$于点$Q$,连接$OP$,$OQ$,则$△ POQ$面积的最大值是 ()

A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

5. C

6.(2025·扬州)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=ax+b$的图象交于点$A(-1,6),B(m,-2)$.
(1)求反比例函数、一次函数的解析式;
(2)求$△ OAB$的面积.

(1)将$A(-1,6)$代入$y=\frac{k}{x}$,得
$k=-1×6=-6$,所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$,
将$B(m,-2)$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$m=-\frac{6}{-2}=3$,
∴$B(3,-2)$.
将$A(-1,6),B(3,-2)$代入$y=ax+b$,得
$\begin{cases} -a+b=6, \\ 3a+b=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-2, \\ b=4, \end{cases}$
所以一次函数的解析式为$y=-2x+4$.
(2)如答图,设一次函数的图象与$x$轴的交点为$C$,
将$y=0$代入一次函数$y=-2x+4$,得$-2x+4=0$,
解得$x=2,∴C(2,0),∴OC=2$,
由(1)得$A(-1,6),B(3,-2)$,
∴$△OAB$的面积为$S_{△AOC}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}×2×6+\frac{1}{2}×2×2=8$.

7.(2025·泸州)如图,一次函数$y=2x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的一个交点为$A(2,6)$。
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$B,C$,求$S_{△ ABC}$的值。

(1)
∵一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$,
∴$6=2×2+b,∴b=2$,
∴一次函数的解析式为$y=2x+2$.
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$,
∴$6=\frac{m}{2},∴m=12$,
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$.
(2)将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B,C$,
∴直线$BC$的函数解析式为$y=2x+2-12=2x-10$,
联立$\begin{cases} y=2x-10, \\ y=\frac{12}{x}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=-12, \end{cases}$或$\begin{cases} x=6, \\ y=2, \end{cases}$
∴$B(-1,-12),C(6,2)$.
如答图所示,过点$A$作$AT// y$轴交直线$BC$于点$T$,
∵$A(2,6),∴$点$T$的横坐标为$2$,
在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$,
∴$T(2,-6),∴AT=6-(-6)=12$,
∴$S_{△ABC}=S_{△ABT}+S_{△ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=42$.