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1 写出一个符合下列条件的二元一次方程组.
① 两个方程中未知数$x,y$的系数都不为0；
② 方程组的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=-3. \end{cases}$
① 两个方程中未知数$x,y$的系数都不为0；
② 方程组的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=-3. \end{cases}$
答案
1. 答案不唯一,如$\begin{cases} x+y=-2,\\ x-y=4 \end{cases}$
解析
【分析】
要构造符合要求的二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的解的定义：方程组的解能使组内每一个二元一次方程左右两边的值相等。解题时可先为两个方程的x、y分别设定不为0的系数，再将已知的解$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$代入，计算出方程等号右侧的常数项，即可得到符合要求的方程，将两个方程组合即为所求方程组，答案不唯一。
【解析】
步骤1：构造第一个二元一次方程
选择x的系数为1，y的系数为1（均不为0，满足条件①），将$x=1,y=-3$代入$x+y$，得$1+(-3)=-2$，因此第一个方程为$x+y=-2$。
步骤2：构造第二个二元一次方程
选择x的系数为1，y的系数为-1（均不为0，满足条件①），将$x=1,y=-3$代入$x-y$，得$1-(-3)=4$，因此第二个方程为$x-y=4$。
将两个方程组合即可得到符合要求的方程组，也可选择其他非零系数构造不同的符合要求的方程组。
【答案】
答案不唯一，如$\begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=4 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，二元一次方程的定义
【点评】
本题为开放性试题，核心考查对二元一次方程及方程组解的概念的理解，解题方式灵活，只要满足题目给出的两个条件即可。
【难度系数】
0.8
要构造符合要求的二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的解的定义：方程组的解能使组内每一个二元一次方程左右两边的值相等。解题时可先为两个方程的x、y分别设定不为0的系数，再将已知的解$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$代入，计算出方程等号右侧的常数项，即可得到符合要求的方程，将两个方程组合即为所求方程组，答案不唯一。
【解析】
步骤1：构造第一个二元一次方程
选择x的系数为1，y的系数为1（均不为0，满足条件①），将$x=1,y=-3$代入$x+y$，得$1+(-3)=-2$，因此第一个方程为$x+y=-2$。
步骤2：构造第二个二元一次方程
选择x的系数为1，y的系数为-1（均不为0，满足条件①），将$x=1,y=-3$代入$x-y$，得$1-(-3)=4$，因此第二个方程为$x-y=4$。
将两个方程组合即可得到符合要求的方程组，也可选择其他非零系数构造不同的符合要求的方程组。
【答案】
答案不唯一，如$\begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=4 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，二元一次方程的定义
【点评】
本题为开放性试题，核心考查对二元一次方程及方程组解的概念的理解，解题方式灵活，只要满足题目给出的两个条件即可。
【难度系数】
0.8
2 已知$∠ 1$与线段$a$.用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹、不写作法).
① 作$∠ A=∠ 1$；
② 在$∠ A$的两边分别作$AN=a$,$AM=2a$；
③ 连接$MN$.
① 作$∠ A=∠ 1$；
② 在$∠ A$的两边分别作$AN=a$,$AM=2a$；
③ 连接$MN$.
答案
2. 如图所示
解析
【分析】
本题是尺规作图类题目，可按题目给出的步骤逐步思考操作：首先回忆尺规作一个角等于已知角的方法，先作出与∠1相等的∠A；再用圆规量取已知线段a的长度，在∠A的其中一条边上截取长度为a的线段AN，在另一条边上连续截取两次长度为a的线段，即可得到总长度为2a的AM；最后连接MN即可，操作全程注意保留作图的弧线痕迹。
【解析】
第一步，利用尺规作等角的方法作出∠A=∠1；第二步，以A为圆心，线段a的长度为半径画弧，在∠A的一条边上截得AN=a，在∠A的另一条边上先截得一段长度为a的线段，再以该线段的另一端点为圆心、a为半径继续画弧截得第二段，得到总长为2a的AM；第三步，连接MN，保留所有作图痕迹，即完成要求的作图。
【答案】
如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作线段
【点评】
本题属于基础作图题，主要考查尺规基本作图的操作能力，解题时严格按照作图步骤操作，注意保留规定的作图痕迹即可。
【难度系数】
0.8
本题是尺规作图类题目，可按题目给出的步骤逐步思考操作：首先回忆尺规作一个角等于已知角的方法，先作出与∠1相等的∠A；再用圆规量取已知线段a的长度，在∠A的其中一条边上截取长度为a的线段AN，在另一条边上连续截取两次长度为a的线段，即可得到总长度为2a的AM；最后连接MN即可，操作全程注意保留作图的弧线痕迹。
【解析】
第一步，利用尺规作等角的方法作出∠A=∠1；第二步，以A为圆心，线段a的长度为半径画弧，在∠A的一条边上截得AN=a，在∠A的另一条边上先截得一段长度为a的线段，再以该线段的另一端点为圆心、a为半径继续画弧截得第二段，得到总长为2a的AM；第三步，连接MN，保留所有作图痕迹，即完成要求的作图。
【答案】
如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作线段
【点评】
本题属于基础作图题，主要考查尺规基本作图的操作能力，解题时严格按照作图步骤操作，注意保留规定的作图痕迹即可。
【难度系数】
0.8
3 教材 P139 问题变式 问题解决策略:逐步确定.
【问题】
中秋佳节灯笼俏,灯笼齐挂亮堂堂,三三数时能数尽,五五数时剩两盏,七七数时刚刚好.
问:最少有多少盏灯笼?
【理解问题】
灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件:① 三三数时能数尽,则所求灯笼的数量能被3整除;② 五五数时剩两盏,则所求灯笼的数量除以
【拟定计划】
设灯笼的数量为$ x $个($ x $为正整数),需满足的3个条件可表述如下:① $ x = 3k $ ($ k $为正整数);② $ x = 5m + 2 $ ($ m $为非负整数);③ $ x = $ ______ (用含$ n $的代数式表示,$ n $为正整数).由①和③可得$ x $能被21整除,即$ x = 21p $ ($ p $为正整数). 根据以上分析,得到$\begin{cases}x=5m+2, \\ x=21p,\end{cases}$因此$ 5m = 21p - 2 $,且$ m $为非负整数,所以“$ 21p - 2 $”一定能被5整除.
【实施计划】
(1) 补全以上三个空格,并求最少有多少盏灯笼.
(2) 若在原来问题的基础上加入1个新条件“八八数时还缺三”,请求出此时满足所有条件的灯笼数量的最小值.
【问题】
中秋佳节灯笼俏,灯笼齐挂亮堂堂,三三数时能数尽,五五数时剩两盏,七七数时刚刚好.
问:最少有多少盏灯笼?
【理解问题】
灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件:① 三三数时能数尽,则所求灯笼的数量能被3整除;② 五五数时剩两盏,则所求灯笼的数量除以
5
,余数是2
;③ 七七数时刚刚好,则所求灯笼的数量能被7整除.【拟定计划】
设灯笼的数量为$ x $个($ x $为正整数),需满足的3个条件可表述如下:① $ x = 3k $ ($ k $为正整数);② $ x = 5m + 2 $ ($ m $为非负整数);③ $ x = $ ______ (用含$ n $的代数式表示,$ n $为正整数).由①和③可得$ x $能被21整除,即$ x = 21p $ ($ p $为正整数). 根据以上分析,得到$\begin{cases}x=5m+2, \\ x=21p,\end{cases}$因此$ 5m = 21p - 2 $,且$ m $为非负整数,所以“$ 21p - 2 $”一定能被5整除.
【实施计划】
(1) 补全以上三个空格,并求最少有多少盏灯笼.
(2) 若在原来问题的基础上加入1个新条件“八八数时还缺三”,请求出此时满足所有条件的灯笼数量的最小值.
答案
3. (1) 5 2 7n 当$ p=1 $时,不符合题意;当$ p=2 $时,$ 21p-2=40 $能被5整除,此时$ x=21×2=42 $,即最少有42盏灯笼
(2) “八八数时还缺三”可表示为$ x=8q-3 $($ q $为正整数),结合前面的条件,得$\begin{cases} x=5m+2,\\ x=21p,\\ x=8q-3, \end{cases}$ 整理,得$ 5m=21p-2,8q=21p+3 $
因为$ 5m=21p-2 $,所以$ 21p-2 $是5的倍数,则$ 21p $的个位数是2或7. 所以$ p=2,7,12,17,22,\dots $符合题意. 当$ p=2 $时,$ 21p+3=21×2+3=45 $不是8的倍数;当$ p=7 $时,$ 21p+3=21×7+3=150 $不是8的倍数;当$ p=12 $时,$ 21p+3=21×12+3=255 $不是8的倍数;当$ p=17 $时,$ 21p+3=21×17+3=360 $是8的倍数,符合题意,此时$ 21p=357 $,即灯笼数量的最小值是357
(2) “八八数时还缺三”可表示为$ x=8q-3 $($ q $为正整数),结合前面的条件,得$\begin{cases} x=5m+2,\\ x=21p,\\ x=8q-3, \end{cases}$ 整理,得$ 5m=21p-2,8q=21p+3 $
因为$ 5m=21p-2 $,所以$ 21p-2 $是5的倍数,则$ 21p $的个位数是2或7. 所以$ p=2,7,12,17,22,\dots $符合题意. 当$ p=2 $时,$ 21p+3=21×2+3=45 $不是8的倍数;当$ p=7 $时,$ 21p+3=21×7+3=150 $不是8的倍数;当$ p=12 $时,$ 21p+3=21×12+3=255 $不是8的倍数;当$ p=17 $时,$ 21p+3=21×17+3=360 $是8的倍数,符合题意,此时$ 21p=357 $,即灯笼数量的最小值是357
解析
【分析】
本题是结合生活情境的带余除法应用问题，采用逐步确定的解题策略：首先梳理题目给出的所有整除和余数条件，先找到同时满足多个整除条件的数的共同特征，缩小未知数的取值范围，再将剩余的余数条件代入，通过从小到大枚举验证的方式，找到符合所有条件的最小值即可。
第一步先补全题目空缺：“五五数时剩两盏”即总数除以5余2；“七七数时刚刚好”即总数是7的倍数，可表示为7n（n为正整数）。接下来先找同时被3和7整除的数，即21的倍数，再从中找除以5余2的最小数解决第一问；第二问新增“八八数时还缺三”的条件，即总数加3是8的倍数，在第一问得到的符合前三个条件的数的序列中继续验证，找到最小的符合新条件的数即可。
【解析】
(1) 补全空格：“五五数时剩两盏”，即所求灯笼数量除以$\boxed{5}$，余数是$\boxed{2}$；“七七数时刚刚好”，则$x=\boxed{7n}$（n为正整数）。
由条件①③可知x是3和7的公倍数，最小公倍数为21，因此$x=21p$（p为正整数）。
结合条件②$x=5m+2$，可得$21p-2$能被5整除。5的倍数个位为0或5，因此$21p$的个位只能为2或7，由于21的个位是1，因此p的个位为2或7。
取最小的正整数p验证：当$p=1$时，$21×1-2=19$，不能被5整除，不符合要求；当$p=2$时，$21×2-2=40$，能被5整除，此时$x=21×2=42$。
(2) 新条件“八八数时还缺三”可表示为$x=8q-3$（q为正整数），即$21p+3$能被8整除。
结合第一问结论，p的取值依次为2、7、12、17、22……，逐一验证：
当$p=2$时，$21×2+3=45$，$45÷8=5······5$，不能被8整除，不符合；
当$p=7$时，$21×7+3=150$，$150÷8=18······6$，不能被8整除，不符合；
当$p=12$时，$21×12+3=255$，$255÷8=31······7$，不能被8整除，不符合；
当$p=17$时，$21×17+3=360$，$360÷8=45$，能被8整除，符合条件，此时$x=21×17=357$。
【答案】
(1) 三个空格依次为5、2、7n，最少有42盏灯笼；
(2) 满足所有条件的灯笼数量最小值为357。
【知识点】
带余除法；公倍数应用；整除判定
【点评】
本题以传统余数问题为载体，考查逐步筛选的问题解决策略，先通过公倍数缩小取值范围，再逐一验证余数条件，解题思路清晰，能有效锻炼逻辑推理能力和分析问题的有序性。
【难度系数】
0.7
本题是结合生活情境的带余除法应用问题，采用逐步确定的解题策略：首先梳理题目给出的所有整除和余数条件，先找到同时满足多个整除条件的数的共同特征，缩小未知数的取值范围，再将剩余的余数条件代入，通过从小到大枚举验证的方式，找到符合所有条件的最小值即可。
第一步先补全题目空缺：“五五数时剩两盏”即总数除以5余2；“七七数时刚刚好”即总数是7的倍数，可表示为7n（n为正整数）。接下来先找同时被3和7整除的数，即21的倍数，再从中找除以5余2的最小数解决第一问；第二问新增“八八数时还缺三”的条件，即总数加3是8的倍数，在第一问得到的符合前三个条件的数的序列中继续验证，找到最小的符合新条件的数即可。
【解析】
(1) 补全空格：“五五数时剩两盏”，即所求灯笼数量除以$\boxed{5}$，余数是$\boxed{2}$；“七七数时刚刚好”，则$x=\boxed{7n}$（n为正整数）。
由条件①③可知x是3和7的公倍数，最小公倍数为21，因此$x=21p$（p为正整数）。
结合条件②$x=5m+2$，可得$21p-2$能被5整除。5的倍数个位为0或5，因此$21p$的个位只能为2或7，由于21的个位是1，因此p的个位为2或7。
取最小的正整数p验证：当$p=1$时，$21×1-2=19$，不能被5整除，不符合要求；当$p=2$时，$21×2-2=40$，能被5整除，此时$x=21×2=42$。
(2) 新条件“八八数时还缺三”可表示为$x=8q-3$（q为正整数），即$21p+3$能被8整除。
结合第一问结论，p的取值依次为2、7、12、17、22……，逐一验证：
当$p=2$时，$21×2+3=45$，$45÷8=5······5$，不能被8整除，不符合；
当$p=7$时，$21×7+3=150$，$150÷8=18······6$，不能被8整除，不符合；
当$p=12$时，$21×12+3=255$，$255÷8=31······7$，不能被8整除，不符合；
当$p=17$时，$21×17+3=360$，$360÷8=45$，能被8整除，符合条件，此时$x=21×17=357$。
【答案】
(1) 三个空格依次为5、2、7n，最少有42盏灯笼；
(2) 满足所有条件的灯笼数量最小值为357。
【知识点】
带余除法；公倍数应用；整除判定
【点评】
本题以传统余数问题为载体，考查逐步筛选的问题解决策略，先通过公倍数缩小取值范围，再逐一验证余数条件，解题思路清晰，能有效锻炼逻辑推理能力和分析问题的有序性。
【难度系数】
0.7
