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9 如图所示为上海某年除夕至初六七天最高气温的统计结果，则这组数据的众数和平均数是（
A.13,17
B.17,13
C.17,14
D.14,17
B
）A.13,17
B.17,13
C.17,14
D.14,17
答案
9. B
解析
【分析】
要解决这道题，分两步思考：第一步先从折线统计图中准确提取除夕到初六每天的最高气温数据；第二步分别根据众数和算术平均数的定义计算对应值，再匹配选项即可。首先众数是一组数据中出现次数最多的数，统计各数据出现的次数就能找到众数；算术平均数是所有数据的总和除以数据的总个数，把7天的气温加和再除以7就能得到平均数。
【解析】
首先从统计图中提取7天的最高气温分别为：8℃、11℃、15℃、17℃、17℃、14℃、9℃。
1. 求众数：观察数据，17出现了2次，其余数据均只出现1次，出现次数最多，因此众数是17。
2. 求平均数：先计算数据总和：$8 + 11 + 15 + 17 + 17 + 14 + 9 = 91$，总共有7个数据，因此平均数为$91 ÷ 7 = 13$。
综上，这组数据的众数是17，平均数是13，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
众数的概念；算术平均数的计算；折线统计图的应用
【点评】
本题属于基础题，核心是先正确从折线统计图中提取有效数据，再结合众数和平均数的定义计算即可，解题时注意数据提取要准确，计算平均数时不要算错总和。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，分两步思考：第一步先从折线统计图中准确提取除夕到初六每天的最高气温数据；第二步分别根据众数和算术平均数的定义计算对应值，再匹配选项即可。首先众数是一组数据中出现次数最多的数，统计各数据出现的次数就能找到众数；算术平均数是所有数据的总和除以数据的总个数，把7天的气温加和再除以7就能得到平均数。
【解析】
首先从统计图中提取7天的最高气温分别为：8℃、11℃、15℃、17℃、17℃、14℃、9℃。
1. 求众数：观察数据，17出现了2次，其余数据均只出现1次，出现次数最多，因此众数是17。
2. 求平均数：先计算数据总和：$8 + 11 + 15 + 17 + 17 + 14 + 9 = 91$，总共有7个数据，因此平均数为$91 ÷ 7 = 13$。
综上，这组数据的众数是17，平均数是13，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
众数的概念；算术平均数的计算；折线统计图的应用
【点评】
本题属于基础题，核心是先正确从折线统计图中提取有效数据，再结合众数和平均数的定义计算即可，解题时注意数据提取要准确，计算平均数时不要算错总和。
【难度系数】
0.8
10 在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数。若去掉一个最高分，平均分为$x$；去掉一个最低分，平均分为$y$；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为$z$，则（
A.$y＞z＞x$
B.$x＞z＞y$
C.$y＞x＞z$
D.$z＞y＞x$
A
）A.$y＞z＞x$
B.$x＞z＞y$
C.$y＞x＞z$
D.$z＞y＞x$
答案
10. A
解析
【分析】
遇到这类多个数据的平均数比较问题，我们可以先将五个互不相等的分数按从小到大的顺序排序，再分别写出x、y、z三个平均数的表达式，通过作差法结合各数的大小关系两两比较，就能得出三者的大小顺序。
【解析】
设五个互不相等的分数按从小到大排列为：$ a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e $。
根据平均数的定义：
1. 去掉一个最高分后，剩余分数为$ a、b、c、d $，平均分为$ x = \frac{a+b+c+d}{4} $；
2. 去掉一个最低分后，剩余分数为$ b、c、d、e $，平均分为$ y = \frac{b+c+d+e}{4} $；
3. 同时去掉最高分和最低分后，剩余分数为$ b、c、d $，平均分为$ z = \frac{b+c+d}{3} $。
先比较$ y $和$ z $的大小：
$ y - z = \frac{b+c+d+e}{4} - \frac{b+c+d}{3} = \frac{3(b+c+d+e) - 4(b+c+d)}{12} = \frac{3e - (b+c+d)}{12} $
因为$ b ＜ c ＜ d ＜ e $，所以$ b ＜ e $、$ c ＜ e $、$ d ＜ e $，可得$ b+c+d ＜ 3e $，因此分子$ 3e - (b+c+d) ＞ 0 $，即$ y - z ＞ 0 $，所以$ y ＞ z $。
再比较$ z $和$ x $的大小：
$ z - x = \frac{b+c+d}{3} - \frac{a+b+c+d}{4} = \frac{4(b+c+d) - 3(a+b+c+d)}{12} = \frac{(b+c+d) - 3a}{12} $
因为$ a ＜ b ＜ c ＜ d $，所以$ a ＜ b $、$ a ＜ c $、$ a ＜ d $，可得$ b+c+d ＞ 3a $，因此分子$ (b+c+d) - 3a ＞ 0 $，即$ z - x ＞ 0 $，所以$ z ＞ x $。
综上可得$ y ＞ z ＞ x $。
【答案】
A
【知识点】
1. 算术平均数计算
2. 实数大小比较
【点评】
本题考查算术平均数的应用和大小比较，解题的关键是将五个分数合理排序，把抽象的平均数转化为具体的代数式，通过作差法结合数的大小关系判断差值的正负，从而得出平均数的大小关系，解题思路清晰直观，难度适中。
【难度系数】
0.7
遇到这类多个数据的平均数比较问题，我们可以先将五个互不相等的分数按从小到大的顺序排序，再分别写出x、y、z三个平均数的表达式，通过作差法结合各数的大小关系两两比较，就能得出三者的大小顺序。
【解析】
设五个互不相等的分数按从小到大排列为：$ a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e $。
根据平均数的定义：
1. 去掉一个最高分后，剩余分数为$ a、b、c、d $，平均分为$ x = \frac{a+b+c+d}{4} $；
2. 去掉一个最低分后，剩余分数为$ b、c、d、e $，平均分为$ y = \frac{b+c+d+e}{4} $；
3. 同时去掉最高分和最低分后，剩余分数为$ b、c、d $，平均分为$ z = \frac{b+c+d}{3} $。
先比较$ y $和$ z $的大小：
$ y - z = \frac{b+c+d+e}{4} - \frac{b+c+d}{3} = \frac{3(b+c+d+e) - 4(b+c+d)}{12} = \frac{3e - (b+c+d)}{12} $
因为$ b ＜ c ＜ d ＜ e $，所以$ b ＜ e $、$ c ＜ e $、$ d ＜ e $，可得$ b+c+d ＜ 3e $，因此分子$ 3e - (b+c+d) ＞ 0 $，即$ y - z ＞ 0 $，所以$ y ＞ z $。
再比较$ z $和$ x $的大小：
$ z - x = \frac{b+c+d}{3} - \frac{a+b+c+d}{4} = \frac{4(b+c+d) - 3(a+b+c+d)}{12} = \frac{(b+c+d) - 3a}{12} $
因为$ a ＜ b ＜ c ＜ d $，所以$ a ＜ b $、$ a ＜ c $、$ a ＜ d $，可得$ b+c+d ＞ 3a $，因此分子$ (b+c+d) - 3a ＞ 0 $，即$ z - x ＞ 0 $，所以$ z ＞ x $。
综上可得$ y ＞ z ＞ x $。
【答案】
A
【知识点】
1. 算术平均数计算
2. 实数大小比较
【点评】
本题考查算术平均数的应用和大小比较，解题的关键是将五个分数合理排序，把抽象的平均数转化为具体的代数式，通过作差法结合数的大小关系判断差值的正负，从而得出平均数的大小关系，解题思路清晰直观，难度适中。
【难度系数】
0.7
11 小明五次数学考试成绩(单位:分)如下:84，88，89，91，x(x为整数).已知这组数据的平均数等于众数,则这组数据的众数是
88
.答案
11. 88
【解析】因为 84,88,89,91,x(x 为整数)这组数据的平均数等于众数,所以 x=88 或 89. 当 x=88 时,这组数据的平均数是 $\frac{1}{5}×(84+88+89+91+88)=88$,符合题意;当 x=89时,这组数据的平均数是 $\frac{1}{5}×(84+88+89+91+89)=88.2$,不符合题意. 所以这个数是 88,则这组数据的众数是 88.
【解析】因为 84,88,89,91,x(x 为整数)这组数据的平均数等于众数,所以 x=88 或 89. 当 x=88 时,这组数据的平均数是 $\frac{1}{5}×(84+88+89+91+88)=88$,符合题意;当 x=89时,这组数据的平均数是 $\frac{1}{5}×(84+88+89+91+89)=88.2$,不符合题意. 所以这个数是 88,则这组数据的众数是 88.
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确众数和算术平均数的定义。已知给出的4个成绩84、88、89、91都只出现1次，因此这组数据的众数必然是和x相等的数（若x不等于这四个数，则所有数据都只出现1次，不存在唯一众数，不符合题意），即x只能为84、88、89、91中的一个。接下来只需分别计算当x取这几个值时的算术平均数，判断平均数是否等于对应的众数，符合条件的结果就是所求的众数。
【解析】
解：已知数据84，88，89，91，x的平均数等于众数。
因为现有4个数据各出现1次，因此众数只能是与x相同的数，分情况讨论：
① 若x=84，则众数为84，此时平均数为$\frac{84+88+89+91+84}{5}=87.2$，$87.2≠84$，不符合题意，舍去；
② 若x=88，则众数为88，此时平均数为$\frac{84+88+89+91+88}{5}=88$，$88=88$，符合题意；
③ 若x=89，则众数为89，此时平均数为$\frac{84+88+89+91+89}{5}=88.2$，$88.2≠89$，不符合题意，舍去；
④ 若x=91，则众数为91，此时平均数为$\frac{84+88+89+91+91}{5}=88.6$，$88.6≠91$，不符合题意，舍去。
综上，这组数据的众数是88。
【答案】
88
【知识点】
众数的定义，算术平均数的计算，分类讨论思想
【点评】
这道题是统计量的综合应用题，解题关键是先根据众数的特征确定x的可能取值范围，再通过计算逐一验证排除不符合条件的情况，解题时要注意不要漏算x的可能取值，计算平均数时要保证准确率。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先要明确众数和算术平均数的定义。已知给出的4个成绩84、88、89、91都只出现1次，因此这组数据的众数必然是和x相等的数（若x不等于这四个数，则所有数据都只出现1次，不存在唯一众数，不符合题意），即x只能为84、88、89、91中的一个。接下来只需分别计算当x取这几个值时的算术平均数，判断平均数是否等于对应的众数，符合条件的结果就是所求的众数。
【解析】
解：已知数据84，88，89，91，x的平均数等于众数。
因为现有4个数据各出现1次，因此众数只能是与x相同的数，分情况讨论：
① 若x=84，则众数为84，此时平均数为$\frac{84+88+89+91+84}{5}=87.2$，$87.2≠84$，不符合题意，舍去；
② 若x=88，则众数为88，此时平均数为$\frac{84+88+89+91+88}{5}=88$，$88=88$，符合题意；
③ 若x=89，则众数为89，此时平均数为$\frac{84+88+89+91+89}{5}=88.2$，$88.2≠89$，不符合题意，舍去；
④ 若x=91，则众数为91，此时平均数为$\frac{84+88+89+91+91}{5}=88.6$，$88.6≠91$，不符合题意，舍去。
综上，这组数据的众数是88。
【答案】
88
【知识点】
众数的定义，算术平均数的计算，分类讨论思想
【点评】
这道题是统计量的综合应用题，解题关键是先根据众数的特征确定x的可能取值范围，再通过计算逐一验证排除不符合条件的情况，解题时要注意不要漏算x的可能取值，计算平均数时要保证准确率。
【难度系数】
0.7
12 某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量情况和使用节水龙头20天的日用水量情况，得到的频数分布表如下：
未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表
使用节水龙头20天的日用水量频数分布表
为了方便计算，把数据在$0≤ x＜0.1$范围的近似看成0.05，…，把数据在$0.4≤ x＜0.5$范围的近似看成0.45.
（1）估算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用节水龙头20天的日平均用水量；
（2）估计该家庭使用节水龙头后一年能节省多少水（一年按365天计算）.
未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表
使用节水龙头20天的日用水量频数分布表
为了方便计算，把数据在$0≤ x＜0.1$范围的近似看成0.05，…，把数据在$0.4≤ x＜0.5$范围的近似看成0.45.
（1）估算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用节水龙头20天的日平均用水量；
（2）估计该家庭使用节水龙头后一年能节省多少水（一年按365天计算）.
答案
12.（1）未使用节水龙头 20 天的日平均用水量为 $\frac{1}{20}×(0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45)=0.35(\mathrm{m}^3)$,
使用节水龙头 20 天的日平均用水量为 $\frac{1}{20}×(2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35)=0.22(\mathrm{m}^3)$
（2）$365×(0.35-0.22)=47.45(\mathrm{m}^3)$. 所以估计该家庭使用节水龙头后一年能节省 $47.45\ \mathrm{m}^3$ 水
使用节水龙头 20 天的日平均用水量为 $\frac{1}{20}×(2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35)=0.22(\mathrm{m}^3)$
（2）$365×(0.35-0.22)=47.45(\mathrm{m}^3)$. 所以估计该家庭使用节水龙头后一年能节省 $47.45\ \mathrm{m}^3$ 水
解析
【分析】
解题时先明确两个问题的考查方向：（1）计算日平均用水量属于加权平均数的计算问题，题目已给出每组数据的近似值（组中值），只需用每组组中值乘对应频数得到每组总用水量，求和后除以总天数20，即可得到对应日平均用水量；（2）计算一年节水量时，先算日均节水量，再乘一年365天即可，这里用到了用样本平均数估计总体平均数的统计思想。
【解析】
（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量，根据加权平均数公式：
$\bar{x}_1=\frac{1}{20}×(0×0.05 + 4×0.15 + 2×0.25 + 4×0.35 + 10×0.45)$
$=\frac{1}{20}×7=0.35(\mathrm{m}^3)$
计算使用节水龙头20天的日平均用水量：
$\bar{x}_2=\frac{1}{20}×(2×0.05 + 6×0.15 + 8×0.25 + 4×0.35)$
$=\frac{1}{20}×4.4=0.22(\mathrm{m}^3)$
（2）先计算日均节水量：$0.35-0.22=0.13(\mathrm{m}^3)$
一年总节水量：$365×0.13=47.45(\mathrm{m}^3)$
【答案】
（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为$0.35\ \mathrm{m}^3$，使用节水龙头20天的日平均用水量为$0.22\ \mathrm{m}^3$；
（2）估计该家庭使用节水龙头后一年能节省$47.45\ \mathrm{m}^3$水。
【知识点】
加权平均数计算，样本估计总体
【点评】
本题结合生活节水场景命题，贴近实际，主要考查加权平均数的计算方法，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，解题时准确对应每组频数和组中值即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
解题时先明确两个问题的考查方向：（1）计算日平均用水量属于加权平均数的计算问题，题目已给出每组数据的近似值（组中值），只需用每组组中值乘对应频数得到每组总用水量，求和后除以总天数20，即可得到对应日平均用水量；（2）计算一年节水量时，先算日均节水量，再乘一年365天即可，这里用到了用样本平均数估计总体平均数的统计思想。
【解析】
（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量，根据加权平均数公式：
$\bar{x}_1=\frac{1}{20}×(0×0.05 + 4×0.15 + 2×0.25 + 4×0.35 + 10×0.45)$
$=\frac{1}{20}×7=0.35(\mathrm{m}^3)$
计算使用节水龙头20天的日平均用水量：
$\bar{x}_2=\frac{1}{20}×(2×0.05 + 6×0.15 + 8×0.25 + 4×0.35)$
$=\frac{1}{20}×4.4=0.22(\mathrm{m}^3)$
（2）先计算日均节水量：$0.35-0.22=0.13(\mathrm{m}^3)$
一年总节水量：$365×0.13=47.45(\mathrm{m}^3)$
【答案】
（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为$0.35\ \mathrm{m}^3$，使用节水龙头20天的日平均用水量为$0.22\ \mathrm{m}^3$；
（2）估计该家庭使用节水龙头后一年能节省$47.45\ \mathrm{m}^3$水。
【知识点】
加权平均数计算，样本估计总体
【点评】
本题结合生活节水场景命题，贴近实际，主要考查加权平均数的计算方法，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，解题时准确对应每组频数和组中值即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
13 某校进行消防安全知识测试，将测试成绩分为A,B,C,D四个等级，各等级对应的成绩依次为10分、9分、8分、7分.该校随机抽取了20名学生的成绩，并进行整理，得到了如图所示的统计图.
（1）求此次测试中被抽取学生成绩的众数和平均数；
（2）为了使平均数更准确一些，又抽取了10名学生的成绩，其中9分的有6名，8分的有2名，还有2名学生M和N的成绩被墨水污染（不是8分和9分，M的成绩比N好），已知组成的新的平均数为8.3分，求学生M和N的成绩，并与（1）相比，判断众数是否发生变化.
（1）求此次测试中被抽取学生成绩的众数和平均数；
（2）为了使平均数更准确一些，又抽取了10名学生的成绩，其中9分的有6名，8分的有2名，还有2名学生M和N的成绩被墨水污染（不是8分和9分，M的成绩比N好），已知组成的新的平均数为8.3分，求学生M和N的成绩，并与（1）相比，判断众数是否发生变化.
答案
13.（1）由条形图可知,被抽取学生的成绩为7分的有8人,人数最多,所以众数为7分,平均数为 $\frac{1}{20}×(4×10+2×9+6×8+8×7)=8.1$(分)
（2）后来抽取的10名学生中M和N的成绩和为 $8.3×30-8.1×20-9×6-8×2=17$(分). 因为学生M和N的成绩被墨水污染(不是8分和9分,M的成绩比N好),所以学生M和N的成绩分别为10分和7分. 因为(1)中的众数为7分,现在的众数为7分,所以众数没有发生变化
（2）后来抽取的10名学生中M和N的成绩和为 $8.3×30-8.1×20-9×6-8×2=17$(分). 因为学生M和N的成绩被墨水污染(不是8分和9分,M的成绩比N好),所以学生M和N的成绩分别为10分和7分. 因为(1)中的众数为7分,现在的众数为7分,所以众数没有发生变化
解析
【分析】
（1）求众数时，先统计各成绩的出现次数，出现次数最多的成绩即为众数；求平均数时，先计算20名学生的总得分，再除以总人数20即可。
（2）先根据新的平均数算出30名学生的总得分，减去原有20名学生的总得分，再减去新增已知成绩的8名学生的总得分，即可得到M、N两人的成绩和；再根据“成绩不是8分、9分，且M成绩比N好”的限制条件，确定两人的成绩；最后统计新样本中各成绩的出现次数，对比原众数判断是否变化。
【解析】
（1）由条形统计图可知，成绩为7分的有8人，人数最多，因此被抽取学生成绩的众数为7分。
20名学生的总得分：$4×10 + 2×9 + 6×8 + 8×7 = 40 + 18 + 48 + 56 = 162$（分）
平均数为：$\frac{162}{20}=8.1$（分）
（2）加入10名学生后总人数为30名，30名学生的总得分：$8.3×30=249$（分）
新增的6名9分、2名8分学生的总得分：$6×9 + 2×8 = 54 + 16 = 70$（分）
则M、N两人的成绩和为：$249 - 162 - 70 = 17$（分）
已知两人成绩不是8分、9分，可选成绩为10分、7分，且M成绩高于N，$10+7=17$，符合条件，因此M成绩为10分，N成绩为7分。
统计新样本各成绩人数：10分共$4+1=5$人，9分共$2+6=8$人，8分共$6+2=8$人，7分共$8+1=9$人，出现次数最多的仍为7分，因此众数没有发生变化。
【答案】
（1）众数为7分，平均数为8.1分；
（2）学生M的成绩为10分，学生N的成绩为7分，众数没有发生变化。
【知识点】
众数；算术平均数；条形统计图
【点评】
本题结合统计图表考查基础统计量的计算与应用，解题核心是熟练掌握众数的定义和平均数的计算方法，第二问需结合给定的限制条件推理未知成绩，能较好地考查数据分析能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）求众数时，先统计各成绩的出现次数，出现次数最多的成绩即为众数；求平均数时，先计算20名学生的总得分，再除以总人数20即可。
（2）先根据新的平均数算出30名学生的总得分，减去原有20名学生的总得分，再减去新增已知成绩的8名学生的总得分，即可得到M、N两人的成绩和；再根据“成绩不是8分、9分，且M成绩比N好”的限制条件，确定两人的成绩；最后统计新样本中各成绩的出现次数，对比原众数判断是否变化。
【解析】
（1）由条形统计图可知，成绩为7分的有8人，人数最多，因此被抽取学生成绩的众数为7分。
20名学生的总得分：$4×10 + 2×9 + 6×8 + 8×7 = 40 + 18 + 48 + 56 = 162$（分）
平均数为：$\frac{162}{20}=8.1$（分）
（2）加入10名学生后总人数为30名，30名学生的总得分：$8.3×30=249$（分）
新增的6名9分、2名8分学生的总得分：$6×9 + 2×8 = 54 + 16 = 70$（分）
则M、N两人的成绩和为：$249 - 162 - 70 = 17$（分）
已知两人成绩不是8分、9分，可选成绩为10分、7分，且M成绩高于N，$10+7=17$，符合条件，因此M成绩为10分，N成绩为7分。
统计新样本各成绩人数：10分共$4+1=5$人，9分共$2+6=8$人，8分共$6+2=8$人，7分共$8+1=9$人，出现次数最多的仍为7分，因此众数没有发生变化。
【答案】
（1）众数为7分，平均数为8.1分；
（2）学生M的成绩为10分，学生N的成绩为7分，众数没有发生变化。
【知识点】
众数；算术平均数；条形统计图
【点评】
本题结合统计图表考查基础统计量的计算与应用，解题核心是熟练掌握众数的定义和平均数的计算方法，第二问需结合给定的限制条件推理未知成绩，能较好地考查数据分析能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.7
