13 如图,在$\odot O$中,半径$OA$,$OB$互相垂直,点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上.若$∠ ABC=19°$,则$∠ BAC$的度数为 （）

A.$23°$
B.$24°$
C.$25°$
D.$26°$

D

【分析】
解题时先从已知条件OA⊥OB入手，可得圆心角∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，由∠ABC的度数求出它所对的弧AC的度数，进而算出弧BC的度数；最后∠BAC是对应弧BC的圆周角，再次用圆周角定理即可求出其度数。
【解析】
解：
∵半径OA与OB互相垂直，
∴$∠ AOB=90°$，即$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，
$∠ ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数$=2∠ ABC=2×19°=38°$，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数$=\overset{\frown}{AB}$的度数$-\overset{\frown}{AC}$的度数$=90°-38°=52°$。
又
∵$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，垂直的定义
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的核心是熟练掌握圆周角和其所对弧的度数的对应关系，结合已知条件逐步推导即可，解题时要注意找准圆周角对应的弧，避免出错。
【难度系数】
0.8

14 如图，$\odot O$是等边三角形$ABC$的外接圆，$D$是$\overset{\frown}{AC}$上一动点（不与点$A$，$C$重合），连接$AD$，$CD$，$BD$。有下列结论：① $∠ ADB = ∠ BDC$；② $AD = CD$；③ 当$BD$最长时，$BD=2CD$；④ $AD + CD = BD$。其中，一定正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C
【解析】$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB=AC, ∠ BAC=∠ ACB=60°. \because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ ADB=∠ ACB=60°, ∠ BDC=∠ BAC=60°. \therefore ∠ ADB=∠ BDC.$ 故①正确. $\because D$ 是 $\overset{\frown}{AC}$ 上一动点, $\therefore \overset{\frown}{AD}$ 与 $\overset{\frown}{CD}$ 不一定相等. $\therefore AD$ 与 $CD$ 不一定相等. 故②错误. 当 $BD$ 最长时, $BD$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ BCD=90°. \because ∠ BDC=60°, \therefore ∠ CBD=30°. \therefore BD=2CD.$ 故③正确. 如图, 在 $BD$ 上取一点 $E$, 使 $DE=AD. \because ∠ ADB=60°, \therefore △ ADE$ 是等边三角形. $\therefore AE=AD, ∠ DAE=60°. \because ∠ BAC=60°, \therefore$ 易得 $∠ BAE=∠ CAD.$ 又 $\because AB=AC, \therefore △ ABE≌△ ACD. \therefore BE=CD. \therefore BD=BE+DE=CD+AD.$ 故④正确. 综上所述, 一定正确的有①③④, 共3个.

【分析】
本题是圆与等边三角形结合的综合题，需结合相关性质逐个判断4个结论：
1. 分析结论①：利用同弧所对圆周角相等，结合等边三角形内角均为60°，可判断两个角是否相等；
2. 分析结论②：D是$\overset{\frown}{AC}$上的动点，仅当D为$\overset{\frown}{AC}$中点时AD=CD，动点位置不定，因此二者不一定相等；
3. 分析结论③：圆中最长的弦是直径，因此BD最长时为$\odot O$的直径，结合直径所对圆周角为直角，利用含30°角的直角三角形的性质即可判断；
4. 分析结论④：对于线段和的证明，采用截长补短法，在BD上截取DE=AD构造等边三角形，再通过全等三角形转化线段即可判断。
【解析】
$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB=AC, ∠ BAC=∠ ACB=60°. $
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ ADB=∠ ACB=60°, ∠ BDC=∠ BAC=60°. $
$\therefore ∠ ADB=∠ BDC.$ 故①正确.
$\because D$ 是 $\overset{\frown}{AC}$ 上一动点, $\therefore \overset{\frown}{AD}$ 与 $\overset{\frown}{CD}$ 不一定相等. $\therefore AD$ 与 $CD$ 不一定相等. 故②错误.
当 $BD$ 最长时, $BD$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ BCD=90°. $
$\because ∠ BDC=60°, \therefore ∠ CBD=30°. \therefore BD=2CD.$ 故③正确.
如图, 在 $BD$ 上取一点 $E$, 使 $DE=AD. $
$\because ∠ ADB=60°, \therefore △ ADE$ 是等边三角形. $\therefore AE=AD, ∠ DAE=60°. $
$\because ∠ BAC=60°, \therefore$ 易得 $∠ BAE=∠ CAD.$ 又 $\because AB=AC, \therefore △ ABE≌△ ACD. $
$\therefore BE=CD. \therefore BD=BE+DE=CD+AD.$ 故④正确.
综上所述, 一定正确的有①③④, 共3个.
【答案】
C

【知识点】
圆周角定理，等边三角形性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的性质以及全等三角形的应用，需要逐一验证每个结论，其中圆中弦的最值判断和截长补短法的使用是本题的易错点，熟练掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6

15 如图，量角器的$0°$刻度线的两端$A$，$B$分别在$y$轴正半轴与$x$轴负半轴上滑动，点$C$位于该量角器上$13°$刻度处（靠近点$A$）。
（1）连接$OC$，求$∠ AOC$的度数；
（2）当点$C$到原点$O$的距离最大时，求$∠ ABO$的度数。

（1）如图, 取 $AB$ 的中点 $D$, 连接 $CD.$ 根据题意, 得 $∠ ADC=13°. \because ∠ AOB=90°, \therefore$ 点 $O$ 在以 $AB$ 为直径的圆上, 即点 $O$ 和量角器在同一个圆上. $\therefore ∠ AOC=\dfrac{1}{2}∠ ADC=6.5°$
（2）如图, 连接 $OD$, 当点 $C,D,O$ 共线时, 点 $C$ 到原点 $O$ 的距离最大. $\because ∠ ADC=13°, \therefore ∠ ADO=180°-13°=167°. \therefore ∠ ABO=\dfrac{1}{2}∠ ADO=83.5°$

【分析】
（1）求解$∠ AOC$的度数时，先观察到$∠ AOB$为直角，联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，取AB中点D，则$DA=DB=DO$；又因为量角器的直径是AB，因此D是量角器所在圆的圆心，$DC=DA$，可得O、A、B、C四点共圆。此时$∠ AOC$是弧AC所对的圆周角，$∠ ADC$是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理即可求出$∠ AOC$的度数。
（2）求点C到原点O的最大距离时，因为CD、OD都是长度为定值的线段，根据三角形三边关系，$OC≤ OD+CD$，因此当O、D、C三点共线时，OC取最大值。求出$∠ ADO$的度数后，再利用圆周角定理即可求出$∠ ABO$的度数。
【解析】
（1）如图，取$AB$的中点$D$，连接$CD$。
根据题意，点C在量角器13°刻度处，因此$∠ ADC=13°$。
$\because ∠ AOB=90°$，D是AB的中点，
$\therefore OD=\frac{1}{2}AB=AD=BD$，即点O在以AB为直径的圆上，
$\therefore$ 点O、A、B、C都在以D为圆心，AB为直径的同一个圆上。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×13°=6.5°$。
（2）连接$OD$，$\because CD$和$OD$的长度都等于AB长度的一半，为定值，
$\therefore$ 根据三角形三边关系，$OC≤ OD+CD$，当且仅当点C、D、O共线时，等号成立，此时点C到原点O的距离最大。
$\because ∠ ADC=13°$，$\therefore ∠ ADO=180°-∠ ADC=180°-13°=167°$，
又$\because ∠ ABO$是弧AO所对的圆周角，$∠ ADO$是弧AO所对的圆心角，
$\therefore ∠ ABO=\frac{1}{2}∠ ADO=\frac{1}{2}×167°=83.5°$。
【答案】
（1）$∠ AOC=6.5°$；
（2）$∠ ABO=83.5°$

【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，线段最值
【点评】
本题结合量角器的实际场景考查几何综合应用，需要学生主动构造辅助线判断四点共圆，同时能结合三边关系判断距离最大的情况，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

16 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ D=60°$，$AB=6$，过点O作$OE⊥ AC$，垂足为E。
(1) $∠ CAB=$；
(2) 求OE的长；
(3) 若OE的延长线交$\odot O$于点F，求弦AF，AC和$\overset{\frown}{CF}$围成的图形(涂色部分)的面积。

(1) $30°$
(2) $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $AB=6, \therefore OA=\dfrac{1}{2}AB=3. \because OE⊥ AC, ∠ CAB=30°, \therefore OE=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{3}{2}$
(3) 如图, 连接 $OC. \because OE⊥ AC, \therefore AE=CE, ∠ AEO=90°. \because ∠ CAB=30°, \therefore OE=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}OF=EF, ∠ COB=∠ AOF=60°. \therefore ∠ COF=180°-60°-60°=60°. \because CE=AE, ∠ OEC=∠ FEA, OE=FE, \therefore △ COE≌△ AFE. \therefore S_{△ COE}=S_{△ AFE}. \therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}OCF}=\dfrac{60π×3^2}{360}=\dfrac{3π}{2},$ 即弦 $AF, AC$ 和 $\overset{\frown}{CF}$ 围成的图形(涂色部分)的面积为 $\dfrac{3π}{2}$

【分析】
(1) 求$∠ CAB$：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ D=60°$；又AB是直径，直径所对的圆周角为直角，故$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ACB$中利用三角形内角和即可求出$∠ CAB$的度数。
(2) 求OE的长：先由AB的长度算出半径$OA=3$，$OE⊥ AC$可知$△ AEO$是直角三角形，结合(1)得到的$∠ CAB=30°$，利用含$30°$角的直角三角形的性质，$30°$角对的直角边等于斜边的一半，即可求出OE的长度。
(3) 求涂色部分面积：涂色部分是不规则图形，考虑用割补法转化为规则图形的面积。连接OC，先由垂径定理得$AE=CE$，再结合已知条件证明$△ COE≌△ AFE$，即可将涂色部分面积转化为扇形OCF的面积，求出扇形的圆心角和半径后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because ∠ D$和$∠ B$都是弧AC所对的圆周角，$\therefore ∠ B=∠ D=60°$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-90°-60°=30°$。
(2) $\because AB$是$\odot O$的直径，$AB=6$，$\therefore OA=\dfrac{1}{2}AB=3$。
$\because OE⊥ AC$，$∠ CAB=30°$，在$Rt△ AEO$中，$30°$角对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{3}{2}$。
(3) 如图，连接$OC$。
$\because OE⊥ AC$，$\therefore AE=CE$，$∠ AEO=90°$。
$\because ∠ CAB=30°$，$\therefore ∠ AOE=60°$，$OE=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}OF=EF$，$∠ COB=∠ AOF=60°$，
$\therefore ∠ COF=180°-∠ AOF-∠ COB=60°$。
在$△ COE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}CE=AE \\∠ OEC=∠ FEA \\OE=FE\end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$，$\therefore S_{△ COE}=S_{△ AFE}$，
$\therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}OCF}=\dfrac{60π×3^2}{360}=\dfrac{3π}{2}$。
【答案】
(1) $30°$
(2) $OE=\dfrac{3}{2}$
(3) 弦$AF$，$AC$和$\overset{\frown}{CF}$围成的图形(涂色部分)的面积为$\dfrac{3π}{2}$

【知识点】
圆周角定理，垂径定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，考查了圆周角的性质、特殊直角三角形的性质、全等三角形的判定及不规则图形面积的求法，解题核心是通过全等转化将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，能较好地考查学生对圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

17 如图,在扇形 OAB 中,∠AOB=90°,C,D是$\overset{\frown}{AB}$上两点,过点 D 作 DE//OC,交 OB于点 E,在 OD 上取一点 F,使 OF=DE,连接 CF 并延长,交 OB 于点 G.
(1) 求证:△OCF≌△DOE.
(2) 若 C,D 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,OA=2$\sqrt{3}$.
① 求∠OGC 的度数;
② 请比较 GE 和 BE 的大小.

(1) $\because DE// OC, \therefore ∠ COD=∠ ODE.$ 在 $△ OCF$ 和 $△ DOE$ 中, $\begin{cases} OC=DO, \\ ∠ COF=∠ ODE, \\ OF=DE, \end{cases} \therefore △ OCF≌△ DOE$
(2) ① $\because C,D$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点, $∠ AOB=90°, \therefore ∠ AOC=∠ COD=∠ BOD=30°. \because △ OCF≌△ DOE, \therefore ∠ OCF=∠ DOE=30°, CF=OE. \because ∠ COG=∠ COD+∠ BOD=60°, \therefore ∠ OGC=90°$
② 在 $\mathrm{Rt}△ OGC$ 中, $∠ OCG=30°, OA=OC=OB=2\sqrt{3}, \therefore OG=\sqrt{3}.$ 又 $\because ∠ DOE=30°, \therefore$ 易得 $OF=2. \because ∠ OCF=∠ COF=30°, \therefore CF=OE=OF=2. \therefore GE=OE-OG=2-\sqrt{3}, BE=OB-OE=2\sqrt{3}-2. \because BE-GE=3\sqrt{3}-4＞0, \therefore BE＞GE$

【分析】
(1) 要证明△OCF≌△DOE，先梳理已知条件：扇形半径相等可得OC=OD，题目直接给出OF=DE，只需再证两边的夹角相等即可；由DE//OC可得内错角∠COF=∠ODE，刚好满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) ① 先利用三等分点的性质，将90°的圆心角平均分成3份，得到每个小圆心角为30°；再结合(1)的全等结论，得到对应角∠OCF=∠DOE=30°，最后在△OCG中利用三角形内角和即可求出∠OGC的度数。
② 要比较GE和BE的大小，可先利用含30°角的直角三角形的性质，分别算出OG、OE的长度，再表示出GE和BE的长度，通过作差法比较二者大小即可。
【解析】
(1) 证明：$\because DE// OC$，$\therefore ∠ COF=∠ ODE$。
在$△ OCF$和$△ DOE$中：
$\begin{cases} OC=DO(\mathrm{扇形半径相等}), \\ ∠ COF=∠ ODE, \\ OF=DE(\mathrm{已知}), \end{cases}$
$\therefore △ OCF≌△ DOE(\mathrm{SAS})$。
(2) ① 解：$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ AOC=∠ COD=∠ BOD=\frac{1}{3}×90°=30°$。
由$△ OCF≌△ DOE$，得$∠ OCF=∠ DOE=30°$。
又$\because ∠ COG=∠ COD+∠ BOD=30°+30°=60°$，
$\therefore ∠ OGC=180°-∠ OCF-∠ COG=180°-30°-60°=90°$。
② 解：在$\mathrm{Rt}△ OGC$中，$∠ OCG=30°$，$OC=OA=OB=2\sqrt{3}$，
$\therefore OG=\frac{1}{2}OC=\sqrt{3}$。
由$△ OCF≌△ DOE$得$CF=OE$，
$\because ∠ OCF=∠ COF=30°$，$\therefore CF=OF$，即$OE=OF=2$。
$\therefore GE=OE-OG=2-\sqrt{3}$，$BE=OB-OE=2\sqrt{3}-2$。
$\because BE-GE=(2\sqrt{3}-2)-(2-\sqrt{3})=3\sqrt{3}-4＞0$，
$\therefore BE＞GE$。
【答案】
(1) $△ OCF≌△ DOE$，证明成立；
(2) ① $∠ OGC=90°$；② $BE＞GE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，扇形的性质，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何基础定理的应用，解题核心是先通过平行线性质得到全等所需的角相等条件，再结合全等的性质推导角度、边长关系，能有效考查学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.65