13 如图,在$\odot O$中,半径$OA$,$OB$互相垂直,点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上.若$∠ ABC=19°$,则$∠ BAC$的度数为 （）

A.$23°$
B.$24°$
C.$25°$
D.$26°$

D

14 如图，$\odot O$是等边三角形$ABC$的外接圆，$D$是$\overset{\frown}{AC}$上一动点（不与点$A$，$C$重合），连接$AD$，$CD$，$BD$。有下列结论：① $∠ ADB = ∠ BDC$；② $AD = CD$；③ 当$BD$最长时，$BD=2CD$；④ $AD + CD = BD$。其中，一定正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C
【解析】$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB=AC, ∠ BAC=∠ ACB=60°. \because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ ADB=∠ ACB=60°, ∠ BDC=∠ BAC=60°. \therefore ∠ ADB=∠ BDC.$ 故①正确. $\because D$ 是 $\overset{\frown}{AC}$ 上一动点, $\therefore \overset{\frown}{AD}$ 与 $\overset{\frown}{CD}$ 不一定相等. $\therefore AD$ 与 $CD$ 不一定相等. 故②错误. 当 $BD$ 最长时, $BD$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ BCD=90°. \because ∠ BDC=60°, \therefore ∠ CBD=30°. \therefore BD=2CD.$ 故③正确. 如图, 在 $BD$ 上取一点 $E$, 使 $DE=AD. \because ∠ ADB=60°, \therefore △ ADE$ 是等边三角形. $\therefore AE=AD, ∠ DAE=60°. \because ∠ BAC=60°, \therefore$ 易得 $∠ BAE=∠ CAD.$ 又 $\because AB=AC, \therefore △ ABE≌△ ACD. \therefore BE=CD. \therefore BD=BE+DE=CD+AD.$ 故④正确. 综上所述, 一定正确的有①③④, 共3个.

15 如图，量角器的$0°$刻度线的两端$A$，$B$分别在$y$轴正半轴与$x$轴负半轴上滑动，点$C$位于该量角器上$13°$刻度处（靠近点$A$）。
（1）连接$OC$，求$∠ AOC$的度数；
（2）当点$C$到原点$O$的距离最大时，求$∠ ABO$的度数。

（1）如图, 取 $AB$ 的中点 $D$, 连接 $CD.$ 根据题意, 得 $∠ ADC=13°. \because ∠ AOB=90°, \therefore$ 点 $O$ 在以 $AB$ 为直径的圆上, 即点 $O$ 和量角器在同一个圆上. $\therefore ∠ AOC=\dfrac{1}{2}∠ ADC=6.5°$
（2）如图, 连接 $OD$, 当点 $C,D,O$ 共线时, 点 $C$ 到原点 $O$ 的距离最大. $\because ∠ ADC=13°, \therefore ∠ ADO=180°-13°=167°. \therefore ∠ ABO=\dfrac{1}{2}∠ ADO=83.5°$

16 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ D=60°$，$AB=6$，过点O作$OE⊥ AC$，垂足为E。
(1) $∠ CAB=$；
(2) 求OE的长；
(3) 若OE的延长线交$\odot O$于点F，求弦AF，AC和$\overset{\frown}{CF}$围成的图形(涂色部分)的面积。

(1) $30°$
(2) $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $AB=6, \therefore OA=\dfrac{1}{2}AB=3. \because OE⊥ AC, ∠ CAB=30°, \therefore OE=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{3}{2}$
(3) 如图, 连接 $OC. \because OE⊥ AC, \therefore AE=CE, ∠ AEO=90°. \because ∠ CAB=30°, \therefore OE=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}OF=EF, ∠ COB=∠ AOF=60°. \therefore ∠ COF=180°-60°-60°=60°. \because CE=AE, ∠ OEC=∠ FEA, OE=FE, \therefore △ COE≌△ AFE. \therefore S_{△ COE}=S_{△ AFE}. \therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}OCF}=\dfrac{60π×3^2}{360}=\dfrac{3π}{2},$ 即弦 $AF, AC$ 和 $\overset{\frown}{CF}$ 围成的图形(涂色部分)的面积为 $\dfrac{3π}{2}$

17 如图,在扇形 OAB 中,∠AOB=90°,C,D是$\overset{\frown}{AB}$上两点,过点 D 作 DE//OC,交 OB于点 E,在 OD 上取一点 F,使 OF=DE,连接 CF 并延长,交 OB 于点 G.
(1) 求证:△OCF≌△DOE.
(2) 若 C,D 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,OA=2$\sqrt{3}$.
① 求∠OGC 的度数;
② 请比较 GE 和 BE 的大小.

(1) $\because DE// OC, \therefore ∠ COD=∠ ODE.$ 在 $△ OCF$ 和 $△ DOE$ 中, $\begin{cases} OC=DO, \\ ∠ COF=∠ ODE, \\ OF=DE, \end{cases} \therefore △ OCF≌△ DOE$
(2) ① $\because C,D$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点, $∠ AOB=90°, \therefore ∠ AOC=∠ COD=∠ BOD=30°. \because △ OCF≌△ DOE, \therefore ∠ OCF=∠ DOE=30°, CF=OE. \because ∠ COG=∠ COD+∠ BOD=60°, \therefore ∠ OGC=90°$
② 在 $\mathrm{Rt}△ OGC$ 中, $∠ OCG=30°, OA=OC=OB=2\sqrt{3}, \therefore OG=\sqrt{3}.$ 又 $\because ∠ DOE=30°, \therefore$ 易得 $OF=2. \because ∠ OCF=∠ COF=30°, \therefore CF=OE=OF=2. \therefore GE=OE-OG=2-\sqrt{3}, BE=OB-OE=2\sqrt{3}-2. \because BE-GE=3\sqrt{3}-4＞0, \therefore BE＞GE$