1. 教材P108例9变式 小刚准备证明这样一道题:如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高分别相等,那么这两个三角形全等.他已经画出如下的图形,用符号表示了已知,请你帮他用符号表示求证,并写出证明过程.
已知:如图,在$△ ABC$和$△ EFG$中,$AC = EG$,$BC = FG$,$AD$,$EH$分别是$BC$,$FG$边上的高,且$AD = EH$.
求证:.

解:$△ ABC≌△ EFG$ 证明过程如下：
$\because AD$ 和 $EH$ 分别是$△ ABC$ 和$△ EFG$ 底边 $BC$ 和 $FG$ 上的高，
$\therefore ∠ ADC = ∠ EHG = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ EHG$ 中,$\begin{cases} AC = EG,\\ AD = EH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ EHG(\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ C = ∠ G$.
在$△ ABC$ 和$△ EFG$ 中,$\begin{cases} BC = FG,\\ ∠ C = ∠ G,\\ AC = EG, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EFG(\mathrm{SAS})$.

【分析】
要证明两个三角形全等，已知给出了两组对应边相等：$AC=EG$、$BC=FG$，还缺少一组对应角相等的条件。结合已知条件中两边上的高$AD=EH$，由高的定义可得$∠ ADC=∠ EHG=90°$，可先通过HL判定定理证明$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ EHG$全等，得到对应角$∠ C=∠ G$，此时$△ ABC$和$△ EFG$满足两边及其夹角对应相等的条件，即可通过SAS判定定理证明两个三角形全等。
【解析】
求证：$△ ABC≌△ EFG$
证明过程如下：
$\because AD$ 和 $EH$ 分别是$△ ABC$ 和$△ EFG$ 的边 $BC$ 和 $FG$ 上的高，
$\therefore ∠ ADC = ∠ EHG = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ EHG$ 中,$\begin{cases} AC = EG,\\ AD = EH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ EHG(\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ C = ∠ G$.
在$△ ABC$ 和$△ EFG$ 中,$\begin{cases} BC = FG,\\ ∠ C = ∠ G,\\ AC = EG, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EFG(\mathrm{SAS})$.
【答案】
求证：$△ ABC≌△ EFG$，证明过程见上述解析。
【知识点】
三角形高的定义，HL判定全等，SAS判定全等
【点评】
本题是全等三角形分层证明的典型题型，解题关键是先利用高的直角属性证明小直角三角形全等，得到证明目标全等所需的夹角相等的条件，需要熟练掌握不同类型三角形全等的判定定理，挖掘隐含的直角条件。
【难度系数】
0.7

2. [2025合肥庐阳区期末] 如图,在$△ ABC$和$△ EDC$中,$∠ B = ∠ D = 90°,AB = DE,EC = AC.$
(1)求证:$∠ BCE = ∠ DCA$;
(2)求证:$HA = HE$.

证明:(1)在$\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ECD$ 中,$\begin{cases} AB = ED,\\ AC = EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ECD(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ ECD$,
$\therefore ∠ ACB - ∠ ACE = ∠ ECD - ∠ ACE$,
$\therefore ∠ BCE = ∠ DCA$.
(2)由(1)知 $\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ECD$,
$\therefore BC = DC,∠ A = ∠ E$.
在$△ BCF$ 和$△ DCG$ 中,$\begin{cases} ∠ BCF = ∠ DCG,\\ BC = DC,\\ ∠ B = ∠ D, \end{cases}$
$\therefore △ BCF≌△ DCG(\mathrm{ASA}),\therefore CF = CG$.
$\because AC = EC,\therefore EC - CF = AC - CG$,即 $EF = AG$.
在$△ EFH$ 和$△ AGH$ 中,$\begin{cases} ∠ E = ∠ A,\\ ∠ EHF = ∠ AHG,\\ EF = AG, \end{cases}$
$\therefore △ EFH≌△ AGH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore HA = HE$.

【分析】
(1) 要证明∠BCE=∠DCA，可先推导两个角所属的更大角相等。已知△ABC和△EDC都是直角三角形，给出了斜边AC=EC、直角边AB=DE，符合HL全等判定的条件，先证Rt△ACB≌Rt△ECD得到∠ACB=∠ECD，再将两个相等的角同时减去公共角∠ACE，即可得到待证结论。
(2) 要证明HA=HE，可证明两条边所在的△EFH和△AGH全等。首先由(1)的全等结论可得BC=DC、∠A=∠E，结合(1)证出的∠BCE=∠DCA，通过ASA证明△BCF≌△DCG得到CF=CG，结合AC=EC推出EF=AG，再利用对顶角相等的条件，通过AAS证明△EFH≌△AGH，即可得到HA=HE。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ECD$ 中,
$\begin{cases} AB = ED,\\ AC = EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ECD(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ ECD$,
$\therefore ∠ ACB - ∠ ACE = ∠ ECD - ∠ ACE$,
$\therefore ∠ BCE = ∠ DCA$.
(2)由(1)知 $\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ECD$,
$\therefore BC = DC,∠ A = ∠ E$.
在$△ BCF$ 和$△ DCG$ 中,
$\begin{cases} ∠ BCF = ∠ DCG,\\ BC = DC,\\ ∠ B = ∠ D, \end{cases}$
$\therefore △ BCF≌△ DCG(\mathrm{ASA}),\therefore CF = CG$.
$\because AC = EC,\therefore EC - CF = AC - CG$,即 $EF = AG$.
在$△ EFH$ 和$△ AGH$ 中,
$\begin{cases} ∠ E = ∠ A,\\ ∠ EHF = ∠ AHG,\\ EF = AG, \end{cases}$
$\therefore △ EFH≌△ AGH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore HA = HE$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BCE = ∠ DCA}$得证；
(2) $\boldsymbol{HA = HE}$得证。
【知识点】
HL全等判定、全等三角形判定、全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，解题需层层递进推导，先利用直角三角形的特殊判定定理证明大三角形全等，得到边角相等的条件后，再逐步证明小三角形全等，解题过程中要注意公共角、对顶角这类隐含条件的运用。
【难度系数】
0.6

3. 如图1,在长方形ABCD中,AB=6 cm,E为AB边的中点. 动点P从点B开始,以3 cm/s的速度沿B→C→D→A路线运动,到点A停止. 图2是点P出发t s后,△BPE的面积S(单位:cm²)随时间t(单位:s)变化的图象. 根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)BC=cm.
(2)当点P在DA上运动时,求△BPE的面积为9 cm²时t的值.
(3)如图3,当点P从点B出发时,动点Q同时以x cm/s的速度从点C出发,沿CD边向点D运动,当点P运动到点C时,P,Q两点停止运动. 当x为何值时,△PBE与△PCQ全等? 请直接写出x的值.

解:(1)9 $\because AB = 6\ \mathrm{cm},E$ 为 $AB$ 边的中点,$\therefore BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3(\mathrm{cm})$. 根据题图 1 可知,当点 $P$ 从点 $B$ 开始运动,到达点 $C$ 时,$△ BPE$ 的面积达到最大值. 根据题图 2 可知,当点 $P$ 运动 $3\ \mathrm{s}$ 时,$△ BPE$ 的面积达到最大值,$\therefore BC = 3×3 = 9(\mathrm{cm})$.
(2)$\because BE = 3\ \mathrm{cm}$,点 $P$ 在 $DA$ 上运动,$△ BPE$ 的面积为 $9\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore \frac{1}{2}BE·AP = \frac{1}{2}×3·AP = 9$,
$\therefore AP = 6\ \mathrm{cm},\therefore DP = 9 - 6 = 3(\mathrm{cm})$,
$\therefore t = \frac{BC + CD + DP}{3} = \frac{9 + 6 + 3}{3} = 6$.
(3)$x = 2$ 或 $x = 3$.
$\because ∠ B = ∠ C = 90°,\therefore$ 当$△ PBE$ 与$△ PCQ$ 全等时,分两种情况:
①当$△ PBE≌△ QCP$ 时,$PB = CQ,BE = PC$,
$\therefore \begin{cases} 3t = xt,\\ 3 = 9 - 3t, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 3,\\ t = 2 \end{cases}$(符合题意).
②当$△ PBE≌△ PCQ$ 时,$BE = CQ,PB = PC$,
$\therefore \begin{cases} 3 = xt,\\ 3t = 9 - 3t, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 2,\\ t = \frac{3}{2}, \end{cases}$ 符合题意.
综上,当 $x = 2$ 或 $x = 3$ 时,$△ PBE$ 与$△ PCQ$ 全等.

【分析】
解题思路如下：(1)先由E为AB中点求出BE=3cm，观察图2可知t=3s时△BPE的面积达到最大值，说明此时动点P刚好到达C点，结合P的速度为3cm/s，用路程=速度×时间即可求出BC的长度；(2)当点P在DA上运动时，△BPE以BE为底，高为点P到AB边的水平距离即AP的长度，根据面积为9cm²先求出AP的长度，再计算点P运动的总路程，除以速度即可得到t的值；(3)△PBE和△PCQ均为直角三角形，∠B=∠C=90°，全等时需分两种对应情况讨论：①△PBE≌△QCP，②△PBE≌△PCQ，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，即可得到x的值。
【解析】
(1) 已知AB=6cm，E为AB边的中点，因此$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$。
由图2可知，当t=3s时，△BPE的面积达到最大值，此时点P恰好运动到点C处，点P的运动速度为3cm/s，因此$BC=3×3=9\mathrm{cm}$。
(2) 当点P在DA上运动时，△BPE的底BE=3cm，高为点P到AB边的距离即AP的长度。
已知$S_{△BPE}=9\mathrm{cm}^2$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×BE×AP=9$，代入BE=3得$\frac{1}{2}×3×AP=9$，解得$AP=6\mathrm{cm}$。
因此$DP=AD-AP=BC-AP=9-6=3\mathrm{cm}$。
点P运动的总路程为$BC+CD+DP=9+6+3=18\mathrm{cm}$，运动时间$t=\frac{18}{3}=6\mathrm{s}$。
(3) 由题意可知∠B=∠C=90°，△PBE与△PCQ全等时分两种情况：
① 当$△ PBE≌△ QCP$时，对应边相等：$PB=CQ$，$BE=PC$，
列方程组得$\begin{cases}3t=xt\\3=9-3t\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\t=2\end{cases}$，符合题意；
② 当$△ PBE≌△ PCQ$时，对应边相等：$BE=CQ$，$PB=PC$，
列方程组得$\begin{cases}3=xt\\3t=9-3t\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\t=\frac{3}{2}\end{cases}$，符合题意。
综上，x的值为2或3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{t=6}$；(3) $\boldsymbol{x=2}$或$\boldsymbol{x=3}$
【知识点】
动点图象分析，三角形面积计算，全等三角形判定
【点评】
本题结合函数图象考查动点问题，需要结合图象判断动点的运动阶段，同时在解决全等问题时要注意分类讨论不同的对应边关系，侧重考查数形结合思想和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6