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1. [2025安徽一模]如图,已知$∠ AOB$,用直尺、圆规作$∠ AOB$的平分线,作法如下:①以点$O$为圆心,适当长为半径画弧,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$;②分别以点$M,N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧在$∠ AOB$内部交于点$C$;③画射线$OC$,$OC$即为所求.
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是 (
A.两点确定一条直线
B.SAS
C.SSS
D.全等三角形对应角相等
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是 (
B
)A.两点确定一条直线
B.SAS
C.SSS
D.全等三角形对应角相等
答案
由作图过程可知,OM = ON,MC = NC. 又
∵ OC = OC,
∴ △MOC≌△NOC(SSS),
∴ ∠MOC = ∠NOC,
∴ OC 是∠AOB的平分线. 故作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是 SAS.
∵ OC = OC,
∴ △MOC≌△NOC(SSS),
∴ ∠MOC = ∠NOC,
∴ OC 是∠AOB的平分线. 故作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是 SAS.
解析
【分析】
要解决这道题，需先梳理角平分线尺规作图每一步对应的数学依据，再逐一对照选项判断：首先从作图步骤中提取相等的线段，推导证明角相等的逻辑，再判断各数学定理是否被用到，最终找出没有体现的道理。首先步骤①得到OM=ON，步骤②得到MC=NC，加上公共边OC=OC可证三角形全等；证明全等的依据是SSS，再由全等对应角相等得到两个角相等，说明OC是角平分线；另外画射线OC的依据是两点确定一条直线，逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
由作图过程可得：
1. 以O为圆心画弧得：$OM = ON$；
2. 分别以M、N为圆心画弧得：$MC = NC$；
3. 又$\because OC$是$△ MOC$和$△ NOC$的公共边，即$OC=OC$，
$\therefore △ MOC≌△ NOC(\mathrm{SSS})$，
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ MOC = ∠ NOC$，因此$OC$是$∠ AOB$的平分线；
另外，画射线$OC$的依据是“两点确定一条直线”。
综上，整个作图及证明过程用到了两点确定一条直线、SSS、全等三角形对应角相等，没有体现的数学道理是SAS。
【答案】
B
【知识点】
角平分线尺规作图；全等三角形判定；全等三角形性质
【点评】
本题结合角平分线的尺规作图考查其背后的几何原理，要求学生不仅要掌握作图步骤，还要理解每一步操作对应的理论依据，加深对尺规作图本质的理解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先梳理角平分线尺规作图每一步对应的数学依据，再逐一对照选项判断：首先从作图步骤中提取相等的线段，推导证明角相等的逻辑，再判断各数学定理是否被用到，最终找出没有体现的道理。首先步骤①得到OM=ON，步骤②得到MC=NC，加上公共边OC=OC可证三角形全等；证明全等的依据是SSS，再由全等对应角相等得到两个角相等，说明OC是角平分线；另外画射线OC的依据是两点确定一条直线，逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
由作图过程可得：
1. 以O为圆心画弧得：$OM = ON$；
2. 分别以M、N为圆心画弧得：$MC = NC$；
3. 又$\because OC$是$△ MOC$和$△ NOC$的公共边，即$OC=OC$，
$\therefore △ MOC≌△ NOC(\mathrm{SSS})$，
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ MOC = ∠ NOC$，因此$OC$是$∠ AOB$的平分线；
另外，画射线$OC$的依据是“两点确定一条直线”。
综上，整个作图及证明过程用到了两点确定一条直线、SSS、全等三角形对应角相等，没有体现的数学道理是SAS。
【答案】
B
【知识点】
角平分线尺规作图；全等三角形判定；全等三角形性质
【点评】
本题结合角平分线的尺规作图考查其背后的几何原理，要求学生不仅要掌握作图步骤，还要理解每一步操作对应的理论依据，加深对尺规作图本质的理解。
【难度系数】
0.7
2. [2025南阳期末]如图,点O是直线AB上的一点,∠AOC=55°.画出∠BOC的平分线OD,并计算∠AOD的度数.
答案
解:如图,OD即为所求.
∵ ∠AOC = 55°,
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOC = 125°.
∵ OD 为∠BOC 的平分线,
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = 62.5°,
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 55° + 62.5° = 117.5°.
解析
【分析】
解题分为作图和计算两部分：1. 作图部分：使用尺规作∠BOC的角平分线，步骤为：以O为圆心，适当长度为半径画弧，分别与OC、OB相交，再以两个交点为圆心，大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BOC内部的交点即为D，连接OD即可。2. 计算部分：首先根据AB是直线得到∠AOB为平角，大小是180°，结合已知的∠AOC的度数先求出∠BOC的度数；再根据角平分线的定义得到∠COD的度数；最后通过角的和差关系，用∠AOC加∠COD即可算出∠AOD的度数。
【解析】
首先按照尺规作图方法画出∠BOC的平分线OD，如图所示。
已知点O在直线AB上，根据平角的定义可得∠AOB=180°。
∵ ∠AOC=55°，
∴ ∠BOC=∠AOB - ∠AOC=180° - 55°=125°。
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×125°=62.5°。
∴ ∠AOD=∠AOC + ∠COD=55° + 62.5°=117.5°。
【答案】
如图，OD即为所求。
$\boxed{117.5°}$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，既考查了角平分线的尺规作图方法，又考查了利用平角性质和角平分线定义进行角度计算，掌握相关概念和作图方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题分为作图和计算两部分：1. 作图部分：使用尺规作∠BOC的角平分线，步骤为：以O为圆心，适当长度为半径画弧，分别与OC、OB相交，再以两个交点为圆心，大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BOC内部的交点即为D，连接OD即可。2. 计算部分：首先根据AB是直线得到∠AOB为平角，大小是180°，结合已知的∠AOC的度数先求出∠BOC的度数；再根据角平分线的定义得到∠COD的度数；最后通过角的和差关系，用∠AOC加∠COD即可算出∠AOD的度数。
【解析】
首先按照尺规作图方法画出∠BOC的平分线OD，如图所示。
已知点O在直线AB上，根据平角的定义可得∠AOB=180°。
∵ ∠AOC=55°，
∴ ∠BOC=∠AOB - ∠AOC=180° - 55°=125°。
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×125°=62.5°。
∴ ∠AOD=∠AOC + ∠COD=55° + 62.5°=117.5°。
【答案】
如图，OD即为所求。
$\boxed{117.5°}$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，既考查了角平分线的尺规作图方法，又考查了利用平角性质和角平分线定义进行角度计算，掌握相关概念和作图方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
3. [2026唐山期中]尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图,正确的顺序是（
A.②④③①
B.②③④①
C.④③②①
D.③②④①
B
）A.②④③①
B.②③④①
C.④③②①
D.③②④①
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆四个尺规作图的典型特征，再逐个匹配图形与作图要求，最后按题目给出的Ⅰ~Ⅳ的要求顺序排列对应图的序号即可：首先明确不同作图的痕迹特点，过直线外一点作垂线的弧线在直线两侧各有交点；作线段垂直平分线会以线段两端点为圆心画弧，线段两侧各有交点；过直线上一点作垂线的已知点在直线上，弧线仅在直线一侧有交点；作角平分线的图形含有角，弧线交点在角内部，据此匹配即可。
【解析】
我们逐个匹配作图要求和对应图形：
1. 要求Ⅰ：过直线外一点作这条直线的垂线。图②符合特征：直线外有点P，作图痕迹符合过直线外一点作垂线的步骤，故Ⅰ对应②；
2. 要求Ⅱ：作线段的垂直平分线。图③符合特征：以线段AB的两个端点为圆心画弧，上下各有一个交点，连线就是垂直平分线，故Ⅱ对应③；
3. 要求Ⅲ：过直线上一点作这条直线的垂线。图④符合特征：已知点P在直线l上，作图痕迹符合过直线上一点作垂线的步骤，故Ⅲ对应④；
4. 要求Ⅳ：作角的平分线。图①符合特征：存在∠AOB，作图痕迹符合角平分线的作法，故Ⅳ对应①。
因此按Ⅰ~Ⅳ的顺序，对应的图序号是②③④①，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图识别、角平分线作法、垂线与垂直平分线作法
【点评】
本题属于基础题，主要考查常见尺规作图的痕迹识别，只要熟练掌握各类尺规作图的操作步骤和典型痕迹特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆四个尺规作图的典型特征，再逐个匹配图形与作图要求，最后按题目给出的Ⅰ~Ⅳ的要求顺序排列对应图的序号即可：首先明确不同作图的痕迹特点，过直线外一点作垂线的弧线在直线两侧各有交点；作线段垂直平分线会以线段两端点为圆心画弧，线段两侧各有交点；过直线上一点作垂线的已知点在直线上，弧线仅在直线一侧有交点；作角平分线的图形含有角，弧线交点在角内部，据此匹配即可。
【解析】
我们逐个匹配作图要求和对应图形：
1. 要求Ⅰ：过直线外一点作这条直线的垂线。图②符合特征：直线外有点P，作图痕迹符合过直线外一点作垂线的步骤，故Ⅰ对应②；
2. 要求Ⅱ：作线段的垂直平分线。图③符合特征：以线段AB的两个端点为圆心画弧，上下各有一个交点，连线就是垂直平分线，故Ⅱ对应③；
3. 要求Ⅲ：过直线上一点作这条直线的垂线。图④符合特征：已知点P在直线l上，作图痕迹符合过直线上一点作垂线的步骤，故Ⅲ对应④；
4. 要求Ⅳ：作角的平分线。图①符合特征：存在∠AOB，作图痕迹符合角平分线的作法，故Ⅳ对应①。
因此按Ⅰ~Ⅳ的顺序，对应的图序号是②③④①，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图识别、角平分线作法、垂线与垂直平分线作法
【点评】
本题属于基础题，主要考查常见尺规作图的痕迹识别，只要熟练掌握各类尺规作图的操作步骤和典型痕迹特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
4. [2024陕西中考]如图，已知直线$ l $和$ l $外一点$ A $，请用尺规作图法，求作一个等腰直角三角形$ ABC $，使得顶点$ B $和顶点$ C $都在直线$ l $上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
答案
解:如图,△ABC即为所求.(答案不唯一)
解析
【分析】
要作满足条件的等腰直角三角形ABC，且B、C在直线l上，可先确定直角的位置：首先过点A作直线l的垂线，得到垂足B，此时∠ABC可作为直角；接下来只需在直线l上截取与AB长度相等的线段BC，即可满足等腰直角三角形“直角边相等且夹角为90°”的要求，最后连接AC就能得到所求三角形。也可选择将直角顶点设在点A或点C的位置，作图逻辑类似。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用尺规过点A作直线l的垂线，垂线与l的交点记为B，此时AB⊥l，可得∠ABC=90°；
2. 以点B为圆心，AB的长度为半径画弧，交直线l于点C，此时BC=AB；
3. 连接AC，得到△ABC。
因为AB⊥BC，且AB=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且B、C都在直线l上，符合题目要求，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,△ABC即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
尺规作垂线；等腰直角三角形判定；尺规作等长线段
【点评】
本题是开放型尺规作图题，解题核心是先确定等腰直角三角形的直角顶点位置，再结合等腰直角三角形的性质完成作图，解法多样，只要满足顶点B、C在直线l上且△ABC为等腰直角三角形即可。
【难度系数】
0.7
要作满足条件的等腰直角三角形ABC，且B、C在直线l上，可先确定直角的位置：首先过点A作直线l的垂线，得到垂足B，此时∠ABC可作为直角；接下来只需在直线l上截取与AB长度相等的线段BC，即可满足等腰直角三角形“直角边相等且夹角为90°”的要求，最后连接AC就能得到所求三角形。也可选择将直角顶点设在点A或点C的位置，作图逻辑类似。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用尺规过点A作直线l的垂线，垂线与l的交点记为B，此时AB⊥l，可得∠ABC=90°；
2. 以点B为圆心，AB的长度为半径画弧，交直线l于点C，此时BC=AB；
3. 连接AC，得到△ABC。
因为AB⊥BC，且AB=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且B、C都在直线l上，符合题目要求，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,△ABC即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
尺规作垂线；等腰直角三角形判定；尺规作等长线段
【点评】
本题是开放型尺规作图题，解题核心是先确定等腰直角三角形的直角顶点位置，再结合等腰直角三角形的性质完成作图，解法多样，只要满足顶点B、C在直线l上且△ABC为等腰直角三角形即可。
【难度系数】
0.7
5. [2026马鞍山雨山区期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 40°,∠ C = 70°$.
(1)用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$;
②过点$A$作$△ ABC$中$BC$边上的高$AE$,垂足为$E$;
(2)在(1)的基础上,求$∠ DAE$的度数.
(1)用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$;
②过点$A$作$△ ABC$中$BC$边上的高$AE$,垂足为$E$;
(2)在(1)的基础上,求$∠ DAE$的度数.
答案
解:(1)①如图,射线AD即为所求;
②如图,线段AE即为所求.
(2)
∵ ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°,∠B = 40°,∠C = 70°,
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 35°.
∵ AE ⊥ BC,
∴ ∠CAE = 90° - ∠C = 20°,
∴ ∠DAE = ∠CAD - ∠CAE = 35° - 20° = 15°.
解析
【分析】
（1）尺规作图部分：①作角平分线时，先以A为圆心适当长度为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内的交点与A连线延长交BC即得AD；②作BC边上的高时，过A作BC的垂线，垂足为E即得AE。
（2）角度计算部分：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数算出∠BAC的度数；再根据角平分线定义算出∠CAD的度数；接着利用高线的性质，在直角△AEC中根据两锐角互余算出∠CAE的度数；最后用∠CAD减去∠CAE即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1) 按照尺规作图的规范步骤作图结果如下：
①射线AD即为∠BAC的平分线；②线段AE即为BC边上的高。
(2) 计算∠DAE的度数：
∵ 三角形内角和为180°，在△ABC中∠B = 40°，∠C = 70°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
∵ AE是BC边上的高，即AE⊥BC，△AEC为直角三角形，
∴ ∠CAE = 90° - ∠C = 90° - 70° = 20°，
∴ ∠DAE = ∠CAD - ∠CAE = 35° - 20° = 15°。
【答案】
(1)①如图，射线AD即为所求；②如图，线段AE即为所求。
(2)∠DAE的度数为$\boldsymbol{15°}$。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，尺规作图
【点评】
本题结合了尺规作图和三角形角度计算，既考查了角平分线、高线的基本作图能力，又考查了三角形相关性质的应用，属于基础几何综合题，要求熟练掌握基本作图步骤和角度推导的逻辑。
【难度系数】
0.7
（1）尺规作图部分：①作角平分线时，先以A为圆心适当长度为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内的交点与A连线延长交BC即得AD；②作BC边上的高时，过A作BC的垂线，垂足为E即得AE。
（2）角度计算部分：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数算出∠BAC的度数；再根据角平分线定义算出∠CAD的度数；接着利用高线的性质，在直角△AEC中根据两锐角互余算出∠CAE的度数；最后用∠CAD减去∠CAE即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1) 按照尺规作图的规范步骤作图结果如下：
①射线AD即为∠BAC的平分线；②线段AE即为BC边上的高。
(2) 计算∠DAE的度数：
∵ 三角形内角和为180°，在△ABC中∠B = 40°，∠C = 70°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
∵ AE是BC边上的高，即AE⊥BC，△AEC为直角三角形，
∴ ∠CAE = 90° - ∠C = 90° - 70° = 20°，
∴ ∠DAE = ∠CAD - ∠CAE = 35° - 20° = 15°。
【答案】
(1)①如图，射线AD即为所求；②如图，线段AE即为所求。
(2)∠DAE的度数为$\boldsymbol{15°}$。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，尺规作图
【点评】
本题结合了尺规作图和三角形角度计算，既考查了角平分线、高线的基本作图能力，又考查了三角形相关性质的应用，属于基础几何综合题，要求熟练掌握基本作图步骤和角度推导的逻辑。
【难度系数】
0.7
