1. 关于$x$的一元二次方程$x^2 - (k + 2)x + 2k = 0$的根的情况是 （ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 总有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根

B

2. (2024·兰州)关于$x$的一元二次方程$9x^2 - 6x + c = 0$有两个相等的实数根，则$c=$（ ）
A. $-9$
B. $4$
C. $-1$
D. $1$

D

3. (2024·济南)若关于$x$的方程$x^2 - x - m = 0$有两个不相等的实数根,则实数$m$的取值范围是 ( )
A. $m＜-\dfrac{1}{4}$
B. $m＞-\dfrac{1}{4}$
C. $m＜-4$
D. $m＞-4$

B

4. (2023·徐州)如果关于$ x $的方程$ x^2 - 4x + m = 0 $有两个相等的实数根，那么实数$ m $的值为______．

4

5. 请填写一个常数,使得一元二次方程$x^2 - 5x + \_\_\_\_\_\_ = 0$没有实数根.

7（答案不唯一）

6. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $(k + 2)x^2 - 2x - 1 = 0$ 有实数根，那么实数 $ k $ 的取值范围是______．

$k\geq -3$且$k\neq -2$

7. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0 $。
(1)若该方程有一个根是2，求$ m $的值。
(2)求证：无论$ m $取什么值，该方程总有两个实数根。

(1)解：因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx + 2m - 1 = 0$的一个根为$x = 2，$将$x = 2$代入方程得： $2^{2}-4m + 2m - 1 = 0，$ $4-4m + 2m - 1 = 0，$ $3 - 2m = 0，$ 解得$m=\frac{3}{2}。$ (2)证明：在方程$x^{2}-2mx + 2m - 1 = 0$中，$a = 1，$$b = -2m，$$c = 2m - 1，$ $\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4\times1\times(2m - 1)$ $=4m^{2}-8m + 4$ $=4(m^{2}-2m + 1)$ $=4(m - 1)^{2}\geq0，$ 所以无论$m$取什么值，该方程总有两个实数根。

8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，其中 $ a、b、c $ 分别为 $△ ABC$ 三边的长.
(1)如果 $ x = -1 $ 是方程的根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由.
(3)如果 $△ ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

(1)解：把$x = -1$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$得： $a + c-2b + a - c = 0，$ $2a-2b = 0，$ 即$a = b，$ 所以$\triangle ABC$是等腰三角形。 (2)解：因为方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$有两个相等的实数根， 所以$\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=0，$ $4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0，$ $b^{2}-a^{2}+c^{2}=0，$ 即$b^{2}+c^{2}=a^{2}，$ 所以$\triangle ABC$是直角三角形。 (3)解：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c，$ 则方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$可化为$2ax^{2}+2ax = 0，$ 因为$a\neq0，$方程两边同时除以$2a$得$x^{2}+x = 0，$ $x(x + 1)=0，$ 解得$x_{1}=0，$$x_{2}=-1。$

9. 关于$x$的方程$(x-1)(x-2)-m^2=0$的根的情况是 （ ）
A. 有一正一负两个不相等的实数根
B. 有两个不相等的正实数根
C. 至多有一个正实数根
D. 至少有一个正实数根

D