10. 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 的两根之和是 $ m $，两根之积是 $ n $，则关于 $ t $ 的方程 $ a(t+1)^2 + b(t+1) + c = 0 $ 的两根之积是 （ ）
A. $ n + m - 1 $
B. $ n + m + 1 $
C. $ n - m + 1 $
D. $ n - m - 1 $

C

11. (2024·巴中)已知方程$x^2 - 2x + k = 0$的一个根为$-2$，则方程的另一个根为______．

4

12. 设$ x_1 $、$ x_2 $是关于$ x $的方程$ x^2 + 6x + m = 0 $的两个根，且$ x_1 = 2x_2 $，则$ m = \_\_\_\_\_\_ $。

8

13. 已知$a、b$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的两个实数根，则$a^2 - b + 2026 =$______．

2030

14. 已知$α、β(α＞β)$是一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根，$s_1 = α + β$，$s_2 = α^2 + β^2$，…，$s_n = α^n + β^n$。
(1)直接写出$s_1、s_2$的值：$s_1 = \_\_\_\_\_\_$，$s_2 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)经计算可得：$s_3 = 4$，$s_4 = 7$，$s_5 = 11$。当$n≥3$时，试猜想$s_n、s_{n-1}、s_{n-2}$之间满足的数量关系，并证明。

1
; 3
; (2)猜想：$s_{n}=s_{n - 1}+s_{n - 2}。$ 证明：因为$\alpha，$$\beta$是一元二次方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两个实数根， 所以$\alpha^{2}-\alpha - 1 = 0，$两边都乘$\alpha^{n - 2}，$得$\alpha^{n}-\alpha^{n - 1}-\alpha^{n - 2}=0$ ①， 同理，$\beta^{2}-\beta - 1 = 0，$两边都乘$\beta^{n - 2}，$得$\beta^{n}-\beta^{n - 1}-\beta^{n - 2}=0$ ②， ① + ②，得$(\alpha^{n}+\beta^{n})-(\alpha^{n - 1}+\beta^{n - 1})-(\alpha^{n - 2}+\beta^{n - 2})=0。$ 因为$s_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}，$$s_{n - 1}=\alpha^{n - 1}+\beta^{n - 1}，$$s_{n - 2}=\alpha^{n - 2}+\beta^{n - 2}，$ 所以$s_{n}-s_{n - 1}-s_{n - 2}=0，$即$s_{n}=s_{n - 1}+s_{n - 2}。$

15. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - (m+3)x + 2(m+1) = 0 $。
(1)求证:不论$ m $为何值,方程总有实数根.
(2)若该方程有两根为$ x_1 $、$ x_2 $,且$ x_1^2 + x_2^2 = 5 $,求$ m $的值.

(1)证明：在方程$x^{2}-(m + 3)x + 2(m + 1)=0$中，$a = 1，$$b = -(m + 3)，$$c = 2(m + 1)，$ $\Delta=b^{2}-4ac=[-(m + 3)]^{2}-4\times1\times2(m + 1)$ $=m^{2}+6m + 9-8m - 8$ $=m^{2}-2m + 1$ $=(m - 1)^{2}\geq0，$ 所以不论$m$为何值，方程总有实数根。 (2)解：由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=m + 3，$$x_{1}x_{2}=2(m + 1)。$ 因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5，$所以$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=5，$ 即$(m + 3)^{2}-2\times2(m + 1)=5，$ $m^{2}+6m + 9-4m - 4 = 5，$ $m^{2}+2m + 5 = 5，$ $m^{2}+2m = 0，$ $m(m + 2)=0，$ 解得$m_{1}=0，$$m_{2}=-2。$ 所以$m$的值为$0$或$-2。$

16. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2a+1)x + a^2 = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ a + 3b = 2 $。
(1)求 $ b $ 的最大值。
(2)若 $ x_1^2 = x_2^2 $，求 $ a $ 的值。

(1)解：因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2a + 1)x + a^{2}=0$有两个实数根， 所以$\Delta=[-(2a + 1)]^{2}-4\times1\times a^{2}=4a + 1\geq0，$ 解得$a\geq-\frac{1}{4}。$ 又因为$a + 3b = 2，$所以$b=\frac{1}{3}(2 - a)，$ 因为$a\geq-\frac{1}{4}，$所以$b=\frac{1}{3}(2 - a)\leq\frac{1}{3}(2+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}，$ 所以$b$的最大值是$\frac{3}{4}。$ (2)解：因为$x_{1}^{2}=x_{2}^{2}，$所以$x_{1}+x_{2}=0$或$x_{1}-x_{2}=0。$ 若$x_{1}+x_{2}=0，$由根与系数的关系得$2a + 1 = 0，$解得$a=-\frac{1}{2}，$ 因为$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{4}，$不满足 (1)中$a$的取值范围，舍去； 若$x_{1}-x_{2}=0，$则$\Delta = 4a + 1 = 0，$解得$a=-\frac{1}{4}，$满足 (1)中$a$的取值范围。 综上所述，$a$的值为$-\frac{1}{4}。$