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7. 下列说法正确的是 （
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.有一个角是$60°$的三角形是等边三角形
C.有一组对边相等的四边形是平行四边形
D.平行四边形的对角线互相平分
D
）A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.有一个角是$60°$的三角形是等边三角形
C.有一组对边相等的四边形是平行四边形
D.平行四边形的对角线互相平分
答案
7.D
解析
【分析】
本题属于几何概念辨析题，解题核心是准确掌握各类几何图形的判定定理和性质定理，牢记定理成立的前提条件，逐一判断各选项的正误即可。思考路径：先分别回忆菱形、等边三角形的判定规则，平行四边形的判定规则和性质，再将每个选项的描述和对应的定理对比，不符合定理前提的就是错误选项，最终选出正确项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：菱形的判定定理为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，仅说对角线互相垂直的四边形，缺少“平行四边形”这一前提，比如对角线垂直但不互相平分的四边形就不是菱形，故A错误；
B选项：等边三角形的判定定理为“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，仅存在一个60°角的三角形不一定是等边三角形，如内角为30°、60°、90°的直角三角形就不符合，故B错误；
C选项：平行四边形的判定定理为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，仅一组对边相等无法判定是平行四边形，如等腰梯形有一组对边相等，但不属于平行四边形，故C错误；
D选项：平行四边形的性质明确规定“平行四边形的对角线互相平分”，描述符合定理，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；等边三角形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的掌握情况，需要学生准确记忆定理的完整内容，避免遗漏前提条件导致判断失误，是几何基础部分的常见题型。
【难度系数】
0.85
本题属于几何概念辨析题，解题核心是准确掌握各类几何图形的判定定理和性质定理，牢记定理成立的前提条件，逐一判断各选项的正误即可。思考路径：先分别回忆菱形、等边三角形的判定规则，平行四边形的判定规则和性质，再将每个选项的描述和对应的定理对比，不符合定理前提的就是错误选项，最终选出正确项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：菱形的判定定理为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，仅说对角线互相垂直的四边形，缺少“平行四边形”这一前提，比如对角线垂直但不互相平分的四边形就不是菱形，故A错误；
B选项：等边三角形的判定定理为“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，仅存在一个60°角的三角形不一定是等边三角形，如内角为30°、60°、90°的直角三角形就不符合，故B错误；
C选项：平行四边形的判定定理为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，仅一组对边相等无法判定是平行四边形，如等腰梯形有一组对边相等，但不属于平行四边形，故C错误；
D选项：平行四边形的性质明确规定“平行四边形的对角线互相平分”，描述符合定理，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；等边三角形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的掌握情况，需要学生准确记忆定理的完整内容，避免遗漏前提条件导致判断失误，是几何基础部分的常见题型。
【难度系数】
0.85
8. 如图4,反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$和正比例函数$y_2=k_2x$的图象交于$A(-1,-3)$,$B(1,3)$两点,若$y_1＞y_2$,则$x$的取值范围是
(
A.$-1＜x＜0$
B.$-1＜x＜1$
C.$x＜-1$或$0＜x＜1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞1$
(
C
)A.$-1＜x＜0$
B.$-1＜x＜1$
C.$x＜-1$或$0＜x＜1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞1$
答案
8.C
解析
【分析】
要判断$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，本质是找反比例函数图像位于正比例函数图像上方对应的$x$的取值范围。我们可以先结合两个函数的交点坐标，将$x$的取值范围划分为几个独立区间，再通过数形结合或者代入特殊值的方法，逐个验证每个区间是否满足$y_1＞y_2$的条件，最后整合符合要求的区间即可得到结果。
【解析】
首先由交点$A(-1,-3)$可计算得：$k_1=(-1)×(-3)=3$，$k_2=\frac{-3}{-1}=3$，即$y_1=\frac{3}{x}$，$y_2=3x$。
$y_1＞y_2$对应反比例函数图像在正比例函数图像上方，结合图像分区间讨论：
1. 当$x＜-1$时，反比例函数图像在正比例函数上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$-1＜x＜0$时，正比例函数图像在反比例函数上方，不满足条件；
3. 当$0＜x＜1$时，反比例函数图像在正比例函数上方，满足$y_1＞y_2$；
4. 当$x＞1$时，正比例函数图像在反比例函数上方，不满足条件。
其中$x=-1$、$x=1$时$y_1=y_2$，$x=0$时反比例函数无意义，均不纳入取值范围。
综上，$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，正比例函数的图象，函数值大小比较
【点评】
本题考查利用函数图象比较函数值大小，解题时既可以采用数形结合的方法直接观察图象位置判断，也可以通过代入特殊值验证快速排除错误选项，熟练掌握两类函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，本质是找反比例函数图像位于正比例函数图像上方对应的$x$的取值范围。我们可以先结合两个函数的交点坐标，将$x$的取值范围划分为几个独立区间，再通过数形结合或者代入特殊值的方法，逐个验证每个区间是否满足$y_1＞y_2$的条件，最后整合符合要求的区间即可得到结果。
【解析】
首先由交点$A(-1,-3)$可计算得：$k_1=(-1)×(-3)=3$，$k_2=\frac{-3}{-1}=3$，即$y_1=\frac{3}{x}$，$y_2=3x$。
$y_1＞y_2$对应反比例函数图像在正比例函数图像上方，结合图像分区间讨论：
1. 当$x＜-1$时，反比例函数图像在正比例函数上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$-1＜x＜0$时，正比例函数图像在反比例函数上方，不满足条件；
3. 当$0＜x＜1$时，反比例函数图像在正比例函数上方，满足$y_1＞y_2$；
4. 当$x＞1$时，正比例函数图像在反比例函数上方，不满足条件。
其中$x=-1$、$x=1$时$y_1=y_2$，$x=0$时反比例函数无意义，均不纳入取值范围。
综上，$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，正比例函数的图象，函数值大小比较
【点评】
本题考查利用函数图象比较函数值大小，解题时既可以采用数形结合的方法直接观察图象位置判断，也可以通过代入特殊值验证快速排除错误选项，熟练掌握两类函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图5,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9.B
解析
【分析】
本题为正方形背景下的折叠计算问题，核心解题思路是利用折叠的性质得到相等线段，结合勾股定理列方程求解。首先根据正方形边长和BE与EC的比例关系求出EC的长度；再设CH的长为未知数，结合折叠性质用含未知数的式子表示Rt△ECH的斜边EH；最后利用勾股定理建立方程求解即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为9，
∴BC=CD=9，∠C=90°，
∵BE:EC=2:1，
∴EC = 9×$\frac{1}{2+1}$=3，
设CH的长为$x$，则DH=CD-CH=$9-x$，
由折叠的性质可得：EH=DH=$9-x$，
在Rt△ECH中，根据勾股定理得：$EH^2=EC^2+CH^2$，
代入得：$(9-x)^2=3^2+x^2$，
展开整理得：$81-18x+x^2=9+x^2$，
消去$x^2$后移项计算得：$18x=72$，
解得：$x=4$，
即线段CH的长为4。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠计算的常规题型，重点考查方程思想在几何计算中的运用，熟练掌握折叠前后对应边相等的性质，以及用勾股定理建立直角三角形三边关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题为正方形背景下的折叠计算问题，核心解题思路是利用折叠的性质得到相等线段，结合勾股定理列方程求解。首先根据正方形边长和BE与EC的比例关系求出EC的长度；再设CH的长为未知数，结合折叠性质用含未知数的式子表示Rt△ECH的斜边EH；最后利用勾股定理建立方程求解即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为9，
∴BC=CD=9，∠C=90°，
∵BE:EC=2:1，
∴EC = 9×$\frac{1}{2+1}$=3，
设CH的长为$x$，则DH=CD-CH=$9-x$，
由折叠的性质可得：EH=DH=$9-x$，
在Rt△ECH中，根据勾股定理得：$EH^2=EC^2+CH^2$，
代入得：$(9-x)^2=3^2+x^2$，
展开整理得：$81-18x+x^2=9+x^2$，
消去$x^2$后移项计算得：$18x=72$，
解得：$x=4$，
即线段CH的长为4。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠计算的常规题型，重点考查方程思想在几何计算中的运用，熟练掌握折叠前后对应边相等的性质，以及用勾股定理建立直角三角形三边关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 如图6,正方形ABCD的边长为4, E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C移动至终点C,设点P经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则图7中所示图象能大致反映y与x的函数关系的是 (
C
)答案
10.C 提示：
①当点P在AE上时，
∵ 正方形的边长为4，E为AB的中点，
∴ AE=2.
∵ 点P经过的路径长为x，
∴ PE=x.
∴ $y=S_{△ CPE}=\frac{1}{2} · PE · BC=\frac{1}{2}×x×4=2x$.
②当点P在AD上时，
∵ 正方形的边长为4，E为AB的中点，
∴ AE=2.
∵ 点P经过的路径长为x，
∴ AP=x-2，DP=6-x.
∴ $y=S_{△ CPE}=S_{正方形ABCD}-S_{△ BEC}-S_{△ APE}-S_{△ PDC} =4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×(x-2)-\frac{1}{2}×4×(6-x) =16-4-x+2-12+2x=x+2$.
③当点P在DC上时，
∵ 正方形的边长为4，E为AB的中点，
∴ AE=2.
∵ 点P经过的路径长为x，
∴ PD=x-6，PC=10-x.
∴ $y=S_{△ CPE}=\frac{1}{2} · PC · BC=\frac{1}{2}×(10-x)×4=-2x+20$.
综上所述，y与x的函数表达式为 $y=\begin{cases}2x(0 ≤ x ≤ 2), \\x+2(2＜x ≤ 6), \\-2x+20(6＜x ≤ 10).\end{cases}$ 大致图象为C.
①当点P在AE上时，
∵ 正方形的边长为4，E为AB的中点，
∴ AE=2.
∵ 点P经过的路径长为x，
∴ PE=x.
∴ $y=S_{△ CPE}=\frac{1}{2} · PE · BC=\frac{1}{2}×x×4=2x$.
②当点P在AD上时，
∵ 正方形的边长为4，E为AB的中点，
∴ AE=2.
∵ 点P经过的路径长为x，
∴ AP=x-2，DP=6-x.
∴ $y=S_{△ CPE}=S_{正方形ABCD}-S_{△ BEC}-S_{△ APE}-S_{△ PDC} =4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×(x-2)-\frac{1}{2}×4×(6-x) =16-4-x+2-12+2x=x+2$.
③当点P在DC上时，
∵ 正方形的边长为4，E为AB的中点，
∴ AE=2.
∵ 点P经过的路径长为x，
∴ PD=x-6，PC=10-x.
∴ $y=S_{△ CPE}=\frac{1}{2} · PC · BC=\frac{1}{2}×(10-x)×4=-2x+20$.
综上所述，y与x的函数表达式为 $y=\begin{cases}2x(0 ≤ x ≤ 2), \\x+2(2＜x ≤ 6), \\-2x+20(6＜x ≤ 10).\end{cases}$ 大致图象为C.
解析
【分析】
这是动点与函数图象结合的问题，解题思路如下：第一步先确定点P运动的分段节点：已知E是AB中点，AE=2，AD=DC=4，所以当P到A时x=2，到D时x=2+4=6，到C时x=6+4=10，因此分0≤x≤2、2＜x≤6、6＜x≤10三段讨论；第二步逐段推导面积y与x的函数关系式，点P在AE上时直接用三角形面积公式计算，在AD上时用正方形面积减去周围三个小三角形的面积计算，在DC上时再直接用三角形面积公式计算；第三步根据三段一次函数的增减性、斜率匹配对应图象即可得到答案。
【解析】
分三段讨论函数关系：
①当点P在AE上（0≤x≤2）时：
∵正方形边长为4，E是AB中点，
∴AE=2，点P路径长为x，则PE=x，
△CPE以PE为底，BC为高，
∴$y=\frac{1}{2} × PE × BC=\frac{1}{2} × x ×4=2x$，是斜率为2的增函数；
②当点P在AD上（2＜x≤6）时：
AP=x-2，DP=4-(x-2)=6-x，
用割补法：$y=S_{正方形ABCD}-S_{△BEC}-S_{△APE}-S_{△PDC}$
代入数值：$y=4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×(x-2)-\frac{1}{2}×4×(6-x)$
计算得：$y=16-4-x+2-12+2x=x+2$，是斜率为1的增函数；
③当点P在DC上（6＜x≤10）时：
PC=4-(x-6)=10-x，
△CPE以PC为底，BC为高，
∴$y=\frac{1}{2}× PC× BC=\frac{1}{2}×(10-x)×4=-2x+20$，是斜率为-2的减函数。
结合三段函数的斜率、增减性特征，对应图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
动点问题的函数图象，一次函数的应用，三角形面积计算
【点评】
本题考查分类讨论思想在动点几何问题中的应用，解题的核心是根据动点的运动路径合理分段，结合几何图形的面积公式推导各段的函数解析式，再根据一次函数的图象特征判断对应图象，能够有效考查学生的逻辑推理能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
这是动点与函数图象结合的问题，解题思路如下：第一步先确定点P运动的分段节点：已知E是AB中点，AE=2，AD=DC=4，所以当P到A时x=2，到D时x=2+4=6，到C时x=6+4=10，因此分0≤x≤2、2＜x≤6、6＜x≤10三段讨论；第二步逐段推导面积y与x的函数关系式，点P在AE上时直接用三角形面积公式计算，在AD上时用正方形面积减去周围三个小三角形的面积计算，在DC上时再直接用三角形面积公式计算；第三步根据三段一次函数的增减性、斜率匹配对应图象即可得到答案。
【解析】
分三段讨论函数关系：
①当点P在AE上（0≤x≤2）时：
∵正方形边长为4，E是AB中点，
∴AE=2，点P路径长为x，则PE=x，
△CPE以PE为底，BC为高，
∴$y=\frac{1}{2} × PE × BC=\frac{1}{2} × x ×4=2x$，是斜率为2的增函数；
②当点P在AD上（2＜x≤6）时：
AP=x-2，DP=4-(x-2)=6-x，
用割补法：$y=S_{正方形ABCD}-S_{△BEC}-S_{△APE}-S_{△PDC}$
代入数值：$y=4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×(x-2)-\frac{1}{2}×4×(6-x)$
计算得：$y=16-4-x+2-12+2x=x+2$，是斜率为1的增函数；
③当点P在DC上（6＜x≤10）时：
PC=4-(x-6)=10-x，
△CPE以PC为底，BC为高，
∴$y=\frac{1}{2}× PC× BC=\frac{1}{2}×(10-x)×4=-2x+20$，是斜率为-2的减函数。
结合三段函数的斜率、增减性特征，对应图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
动点问题的函数图象，一次函数的应用，三角形面积计算
【点评】
本题考查分类讨论思想在动点几何问题中的应用，解题的核心是根据动点的运动路径合理分段，结合几何图形的面积公式推导各段的函数解析式，再根据一次函数的图象特征判断对应图象，能够有效考查学生的逻辑推理能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
11.某单位全体员工在植树节义务植树240棵.原计划每小时植树m棵,实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵,那么实际比原计划提前了
$\frac{2400}{m(m+10)}$
(用含m的代数式表示)小时完成任务.答案
11. $\frac{2400}{m(m+10)}$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题思路分为三步：第一步分别求出原计划完成植树任务的时间、实际完成任务的时间；第二步用原计划时间减去实际时间，得到提前的时长；第三步对列出的分式进行通分化简，得到最终结果。
【解析】
解：已知植树总工作量为240棵，原计划每小时植树m棵，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
原计划完成任务的时间为 $\frac{240}{m}$ 小时；
实际每小时植树$(m+10)$棵，因此实际完成任务的时间为 $\frac{240}{m+10}$ 小时；
则实际比原计划提前的时间为：
$\begin{aligned}\frac{240}{m}-\frac{240}{m+10}&=\frac{240(m+10)-240m}{m(m+10)}\\&=\frac{240m+2400-240m}{m(m+10)}\\&=\frac{2400}{m(m+10)}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2400}{m(m+10)}$
【知识点】
列代数式；分式加减运算；工程问题公式
【点评】
本题属于代数式实际应用类基础题，核心是熟练掌握工程问题的数量关系，进行分式运算时要注意通分规则，计算分子时不要漏乘，合并同类项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题思路分为三步：第一步分别求出原计划完成植树任务的时间、实际完成任务的时间；第二步用原计划时间减去实际时间，得到提前的时长；第三步对列出的分式进行通分化简，得到最终结果。
【解析】
解：已知植树总工作量为240棵，原计划每小时植树m棵，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
原计划完成任务的时间为 $\frac{240}{m}$ 小时；
实际每小时植树$(m+10)$棵，因此实际完成任务的时间为 $\frac{240}{m+10}$ 小时；
则实际比原计划提前的时间为：
$\begin{aligned}\frac{240}{m}-\frac{240}{m+10}&=\frac{240(m+10)-240m}{m(m+10)}\\&=\frac{240m+2400-240m}{m(m+10)}\\&=\frac{2400}{m(m+10)}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2400}{m(m+10)}$
【知识点】
列代数式；分式加减运算；工程问题公式
【点评】
本题属于代数式实际应用类基础题，核心是熟练掌握工程问题的数量关系，进行分式运算时要注意通分规则，计算分子时不要漏乘，合并同类项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
12. 某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师的笔试、面试成绩(单位:分)如下表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为
78.8
分. 答案
12. 78.8
解析
【分析】
要确定被录取教师的综合成绩，首先需明确综合成绩的计算规则：笔试成绩占60%、面试成绩占40%，本质是求加权平均数。解题思路为：先根据加权平均公式分别计算甲、乙、丙三人的综合成绩，再比较三人成绩的大小，得分最高者的成绩即为所求。
【解析】
根据综合成绩=笔试成绩×60% + 面试成绩×40%，分别计算三人成绩：
1. 甲的综合成绩：$80×60\% + 76×40\% = 80×0.6 + 76×0.4 = 48 + 30.4 = 78.4$（分）
2. 乙的综合成绩：$82×60\% + 74×40\% = 82×0.6 + 74×0.4 = 49.2 + 29.6 = 78.8$（分）
3. 丙的综合成绩：$78×60\% + 78×40\% = 78×(0.6+0.4) = 78$（分）
比较三人成绩：$78.8＞78.4＞78$，因此被录取的是乙，综合成绩为78.8分。
【答案】
78.8
【知识点】
加权平均数计算、百分数应用
【点评】
本题属于加权平均数的实际应用类题目，解题核心是准确理解权重的含义，按照规则正确计算即可，易错点为混淆笔试和面试的权重占比。
【难度系数】
0.8
要确定被录取教师的综合成绩，首先需明确综合成绩的计算规则：笔试成绩占60%、面试成绩占40%，本质是求加权平均数。解题思路为：先根据加权平均公式分别计算甲、乙、丙三人的综合成绩，再比较三人成绩的大小，得分最高者的成绩即为所求。
【解析】
根据综合成绩=笔试成绩×60% + 面试成绩×40%，分别计算三人成绩：
1. 甲的综合成绩：$80×60\% + 76×40\% = 80×0.6 + 76×0.4 = 48 + 30.4 = 78.4$（分）
2. 乙的综合成绩：$82×60\% + 74×40\% = 82×0.6 + 74×0.4 = 49.2 + 29.6 = 78.8$（分）
3. 丙的综合成绩：$78×60\% + 78×40\% = 78×(0.6+0.4) = 78$（分）
比较三人成绩：$78.8＞78.4＞78$，因此被录取的是乙，综合成绩为78.8分。
【答案】
78.8
【知识点】
加权平均数计算、百分数应用
【点评】
本题属于加权平均数的实际应用类题目，解题核心是准确理解权重的含义，按照规则正确计算即可，易错点为混淆笔试和面试的权重占比。
【难度系数】
0.8
