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10. 不论 $x , y$ 为何实数,代数式 $x^{2}+4y^{2}+6x -$ $4y+11$ 的值
（
A.总不小于 1
B.总不大于 1
C.可为任何实数
D.可能为负数
（
A
）A.总不小于 1
B.总不大于 1
C.可为任何实数
D.可能为负数
答案
A 解析: 原式$=x^2+6x+9+4y^2-4y+1+1=(x+3)^2+(2y-1)^2+1$.因为$(x+3)^2≥0$,$(2y-1)^2≥0$,所以$(x+3)^2+(2y-1)^2+1≥1$.故代数式$x^2+4y^2+6x-4y+11$的值总不小于1.
11. 已知实数 a , b , c 满足 $4a^{2}+2b - 4 = 0,b^{2}-$$4c + 1 = 0,c^{2}-12a + 17 = 0$,则代数式 $a^{2}+$$b^{2}+c^{2}$ 的值为（
A.$\dfrac{21}{4}$
B.$\dfrac{29}{4}$
C.8
D.14
B
）A.$\dfrac{21}{4}$
B.$\dfrac{29}{4}$
C.8
D.14
答案
B 解析: 由题意,得$4a^2+2b-4+b^2-4c+1+c^2-12a+17=0$.整理,得$(4a^2-12a+9)+(b^2+2b+1)+(c^2-4c+4)=0$,所以$(2a-3)^2+(b+1)^2+(c-2)^2=0$,所以$2a-3=0,b+1=0,c-2=0$,解得$a=\dfrac{3}{2},b=-1,c=2$,则$a^2+b^2+c^2=(\dfrac{3}{2})^2+(-1)^2+2^2=\dfrac{29}{4}.$
12. 小明设计了一个魔术盒，将任意实数对($a$，$b$)放入其中，会得到一个新的实数 $2a^{2}-2b+1$。若将实数对($x$，$-2x$)放入其中得到4，则$x=$
$-1+\dfrac{\sqrt{10}}{2}$或$-1-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
。答案
$-1+\dfrac{\sqrt{10}}{2}$或$-1-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ 解析: 由题意,得$2x^2+4x+1=4$,所以$x^2+2x=\dfrac{3}{2}$,则$x^2+2x+1=\dfrac{3}{2}+1$,即$(x+1)^2=\dfrac{5}{2}$,解得$x_1=-1+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_2=-1-\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$
13. 若方程$2x^{2}+8x-32=0$能配成$(x+p)^{2}+$$q=0$的形式，则直线$y=px+q$不经过第
二
象限.答案
二 解析: 由$2x^2+8x-32=0$,得$x^2+4x-16=0$,所以$x^2+4x+4-20=0$,即$(x+2)^2-20=0$.因为方程$2x^2+8x-32=0$能配成$(x+p)^2+q=0$的形式,所以$p=2,q=-20$,所以直线$y=px+q$即为直线$y=2x-20$,所以该直线不经过第二象限.
14. 已知点 $A(-3+3a^{2},-5a+1)$ 在第四象限的角平分线上,则 $a$ 的值为
2
.答案
2 解析: 因为点$A(-3+3a^2,-5a+1)$在第四象限的角平分线上,所以$-3+3a^2+(-5a+1)=0$,即$3a^2-5a-2=0$,所以$(a-\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{49}{36}$,解得$a_1=-\dfrac{1}{3}$,$a_2=2$.分类讨论如下:① 当$a=-\dfrac{1}{3}$时,点$A$即为$(-\dfrac{8}{3},\dfrac{8}{3})$,不合题意,舍去;② 当$a=2$时,点$A$即为$(9,-9)$,符合题意.综上所述,$a$的值为2.
15. 当$x$为何值时,代数式$5x^{2}+7x+1$与代数式$x^{2}-9x+15$的值相等?
答案
令$5x^2+7x+1=x^2-9x+15$,得$4x^2+16x=14$,即$x^2+4x=\dfrac{7}{2}$.配方,得$(x+2)^2=\dfrac{15}{2}$,解得$x_1=-2+\dfrac{\sqrt{30}}{2},x_2=-2-\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.故当$x$的值为$-2±\dfrac{\sqrt{30}}{2}$时,代数式$5x^2+7x+1$与代数式$x^2-9x+15$的值相等.
16. 已知实数 $m , n$ 满足 $m - n^2 = 1$, 则代数式
$2m^2 - 2n^2 + 4m - 1$ 的最小值为 （
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$5$
$2m^2 - 2n^2 + 4m - 1$ 的最小值为 （
D
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$5$
答案
D 解析: 因为$m-n^2=1$,所以$n^2=m-1$,所以$2m^2-2n^2+4m-1=2m^2-2(m-1)+4m-1=2m^2+2m+1=2(m^2+m+\dfrac{1}{4})+1-2×\dfrac{1}{4}=2(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}$.因为$n^2=m-1≥0$,所以$m≥1$,所以$m+\dfrac{1}{2}≥\dfrac{3}{2}$,所以$2(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}≥5$,所以代数式$2m^2-2n^2+4m-1$的最小值为5.
17. (2026·江苏淮安期中)在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对边的长分别为$a,b,c$。若$2b^{2}+2c^{2}=4b+8c-10$且$a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc$，则$△ ABC$的面积为
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 解析: 因为$2b^2+2c^2=4b+8c-10$,所以$b^2+c^2=2b+4c-5$,所以$(b^2-2b+1)+(c^2-4c+4)=0$,即$(b-1)^2+(c-2)^2=0$,所以$b-1=0,c-2=0$,所以$b=1,c=2$.因为$a^2=b^2+c^2-bc$,所以$a^2=3$,解得$a_1=\sqrt{3},a_2=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去),所以$a^2+b^2=4$.因为$c^2=4$,所以$a^2+b^2=c^2$,所以$△ABC$为直角三角形,所以$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.故$△ABC$的面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
18. 新趋势 推导探究 先仔细阅读材料，再尝试解决问题.
通过对实数的学习，我们知道 $x^2 ≥ 0$，由此可以得出完全平方式 $(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2$ 的值为非负数，这一性质在初中数学中有着广泛的应用，比如探求代数式 $2x^2+8x-3$ 的最小值时，我们可以这样处理：
$2x^2+8x-3 = 2(x^2+4x)-3 = 2(x^2+4x+4-4)-3 = 2(x+2)^2-11$. 因为 $(x+2)^2 ≥ 0$，所以 $2(x+2)^2 ≥ 0$，所以 $2(x+2)^2-11 ≥ -11$. 故当 $x=-2$ 时，原代数式取最小值，且最小值为 $-11$.
(1) 求代数式 $3x^2-6x+2$ 的最小值，并写出对应的 $x$ 的值；
(2) 求代数式 $8-2x^2+4x$ 的最大值，并写出对应的 $x$ 的值；
(3) 对任意实数 $x$，试比较代数式 $3x^3-2x^2-4x+1$ 与代数式 $3x^3+4x+10$ 的值的大小.
通过对实数的学习，我们知道 $x^2 ≥ 0$，由此可以得出完全平方式 $(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2$ 的值为非负数，这一性质在初中数学中有着广泛的应用，比如探求代数式 $2x^2+8x-3$ 的最小值时，我们可以这样处理：
$2x^2+8x-3 = 2(x^2+4x)-3 = 2(x^2+4x+4-4)-3 = 2(x+2)^2-11$. 因为 $(x+2)^2 ≥ 0$，所以 $2(x+2)^2 ≥ 0$，所以 $2(x+2)^2-11 ≥ -11$. 故当 $x=-2$ 时，原代数式取最小值，且最小值为 $-11$.
(1) 求代数式 $3x^2-6x+2$ 的最小值，并写出对应的 $x$ 的值；
(2) 求代数式 $8-2x^2+4x$ 的最大值，并写出对应的 $x$ 的值；
(3) 对任意实数 $x$，试比较代数式 $3x^3-2x^2-4x+1$ 与代数式 $3x^3+4x+10$ 的值的大小.
答案
(1) $3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x^2-2x+1-1)+2=3(x-1)^2-1$.因为$(x-1)^2≥0$,所以$3(x-1)^2≥0$,所以$3(x-1)^2-1≥-1$.故当$x=1$时,原代数式取最小值,且最小值为$-1$.
(2) $8-2x^2+4x=-2(x^2-2x+1-1)+8=-2(x-1)^2+10$.因为$(x-1)^2≥0$,所以$-2(x-1)^2≤0$,所以$-2(x-1)^2+10≤10$.故当$x=1$时,原代数式取最大值,且最大值为10.
(3) $(3x^3-2x^2-4x+1)-(3x^3+4x+10)=-2x^2-8x-9=-2(x^2+4x+4-4)-9=-2(x+2)^2-1$.因为$(x+2)^2≥0$,所以$-2(x+2)^2≤0$,所以$-2(x+2)^2-1≤-1＜0$.故对任意实数$x$,恒有$3x^3-2x^2-4x+1＜3x^3+4x+10.$
(2) $8-2x^2+4x=-2(x^2-2x+1-1)+8=-2(x-1)^2+10$.因为$(x-1)^2≥0$,所以$-2(x-1)^2≤0$,所以$-2(x-1)^2+10≤10$.故当$x=1$时,原代数式取最大值,且最大值为10.
(3) $(3x^3-2x^2-4x+1)-(3x^3+4x+10)=-2x^2-8x-9=-2(x^2+4x+4-4)-9=-2(x+2)^2-1$.因为$(x+2)^2≥0$,所以$-2(x+2)^2≤0$,所以$-2(x+2)^2-1≤-1＜0$.故对任意实数$x$,恒有$3x^3-2x^2-4x+1＜3x^3+4x+10.$
