1. (2025·南京期中)如图,在$5×5$的正方形网格中,已知线段$a,b$和点$P$,且线段的端点和点$P$都在格点上,在网格中找一格点$Q$,使线段$a,b,PQ$恰好能作为直角三角形三边,则满足条件的格点$Q$有 ()

A.0个
B.2个
C.3个
D.4个

1. B

2. ★★★(2025·南京期中)如图，$AB=AC=\sqrt{5}$，$AM=1$，$BM=2$，$CM=\sqrt{2}$.
(1)求证：$△ ABM$是直角三角形；
(2)求证：$∠ B+∠ C=45°$.

(1)$\because AB=AC=\sqrt{5}$,$AM=1$,$BM=2$,$\therefore AM^2+BM^2=1+4=5=(\sqrt{5})^2=AB^2$,$\therefore ∠ AMB=90°$,$△ ABM$是直角三角形.
(2)如图,设$BM$的中点为$N$,连接$AN$,$\therefore MN=BN=\frac{1}{2}BM=1$.
$\because ∠ AMB=90°$,$△ ABM$是直角三角形,$AM=1$,$\therefore △ AMN$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ ANM=45°$,$AN=\sqrt{2}$,$\therefore ∠ ANM=∠ B+∠ BAN=45°$.
在$△ ABN$和$△ CAM$中,$\begin{cases} AB=CA, \\ AN=CM, \\ BN=AM, \end{cases}$$\therefore △ ABN ≌ △ CAM (\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ C=∠ BAN$,$\therefore ∠ B+∠ C=45°$.

3. （2025·南京期末）已知直角三角形的三边长分别是$a,b,c$，其中$c$为斜边.
（1）长分别为$3a,3b,3c$的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由；
（2）长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由.
＞＞ 对点专练 P91

$\because a,b,c$分别是直角三角形的三边长(其中$c$是斜边),$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(1)$\because a^2+b^2=c^2$,$\therefore 9a^2+9b^2=9c^2$,即$(3a)^2+(3b)^2=(3c)^2$,$\therefore$ 长为$3a,3b,3c$的三条线段能组成直角三角形.
(2)由已知条件得$a^2+b^2=c^2$,$\therefore$ 长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成一个三角形,$\therefore$ 长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成一个直角三角形.

4. ★★★ 有下列说法：
①因为0.6,0.8,1不是勾股数,所以三边长分别为0.6,0.8,1的三角形不是直角三角形；
②因为三边长分别为1,2,$\sqrt{5}$的三角形是直角三角形,所以1,2,$\sqrt{5}$是勾股数；
③若整数$a$,整数$b$,整数$c$分别是直角三角形的三边长,则$0.1a,0.1b,0.1c$必定不是勾股数.
其中错误的有 ()

A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
＞＞ 对点专练 P91

4. A 解析:①0.6,0.8,1不是勾股数,但三边长分别为0.6,0.8,1的三角形能构成直角三角形,故①错误;②三边长分别为1,2,$\sqrt{5}$的三角形是直角三角形,但$\sqrt{5}$不是正整数,$\therefore 1,2,\sqrt{5}$不是勾股数,故②错误;③若整数$a$,整数$b$,整数$c$分别是直角三角形的三边长,则$0.1a,0.1b,0.1c$可能是勾股数,故③错误;故选A.