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| 背景材料 | 1662年,法国数学家费马将光线的反射定律和折射定律统一起来,提出了著名的费马原理,从该原理中可知,光虽然在不同介质中的速度不一样,但在平面反射与折射问题中,总是会走最快的一条路,用时最短.这与数学中的线段最值问题殊途同归,轴对称相关的线段和最值问题,符合反射原理;而胡不归这类加权线段和最值问题,则符合折射原理. |
| 任务1
证明反射
路径最短 | (1)如图①,直线AB代表平面镜,点C代表一实物,点D代表眼睛,作实物C关于平面镜AB的对称点$C'$,连接$C'D$,交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为入射光线,ED为反射光线.求证:$CE+DE$最短.请在横线上填写内容.
如图①,在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点$E'$,连接$DE'$,$CE'$,$C'E'$,
在$△ C'DE'$中,$C'E'+DE'＞C'D$(三角形两边之和大于第三边),
∵ 实物C与点$C'$关于平面镜AB对称,∴ AB垂直平分$CC'$,
∴ $CE=$$C'E'$,$CE'=C'E'$(轴对称的性质).
∵ $C'D=C'E+DE$,$C'E'+DE'＞C'D$,
∴ $CE'+DE'＞CE+DE$. |
| 任务2
确定挡板
反射范围 | (2)如图②,若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上,试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.(简单说明作图) |
| 任务3
计算最短
路径 | (3)如图③,一面镜子OA斜固定在地面OB上,且$∠ AOB=60°$,点P为距离地面OB为8 cm的一个光源,光线射出经过镜面D处反射到地面E点,当光线经过的路径长最短为10 cm时,PD的长为

4

cm. |

(1)三角形的任意两边之和大于第三边 C'E 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2)如图①所示,作A关于平面镜I的对称点A',连接A'C,A'B并延长分别交EF于点P,Q.

(3)4 解析:如图②,过点P作关于OA的对称点P',过点P'作P'E⊥OB于点E,交OA于点D,则P'E = P'D+DE = PD+DE=10 cm.过点P作PF⊥P'D于点F.
∵ PC=8 cm,
∴ EF=PC=8 cm,
∴ P'F=10-8=2(cm).
∵ ∠ADP=∠ADP'=∠ODE=90°-60°=30°,
∴ ∠PDP' = 60°,
∴ △PDP'是等边三角形,
∴ P'F=DF=2 cm,
∴ PD=P'D=4 cm.