1 [中]若$a$，$b$，$k$均为整数，则满足等式$(x + a)(x + b)=x^{2}+kx + 18$的所有$k$值有()

A.$2$个
B.$3$个
C.$6$个
D.$8$个

1. C 【解析】因为$(x + a)(x + b) = x^{2} + kx + 18$, 所以$x^{2} + (a + b)x + ab = x^{2} + kx + 18$, 所以$a + b = k$,$ab = 18$. 因为$a$,$b$,$k$均为整数, 所以当$a = 1$,$b = 18$时,$k = 19$; 当$a = -1$,$b = -18$时,$k = -19$; 当$a = 2$,$b = 9$时,$k = 11$; 当$a = -2$,$b = -9$时,$k = -11$; 当$a = 3$,$b = 6$时,$k = 9$; 当$a = -3$,$b = -6$时,$k = -9$. 故满足题意的$k$的值共有 6 个. 故选 C.

2 [2025 广东深圳期中，中]已知$a_{1}$，$a_{2}$，$···$，$a_{2025}$都是正数，设$M = (a_{1}+a_{2}+··· + a_{2024})(a_{2}+a_{3}+··· + a_{2025})$，$N = (a_{1}+a_{2}+··· + a_{2025})(a_{2}+a_{3}+··· + a_{2024})$，那么$M$与$N$的大小关系是()

A.$M ＜ N$
B.$M = N$
C.$M ＞ N$
D.不确定

2. C 【解析】设$S = a_{1} + a_{2} + ··· + a_{2024}$, 则$M = (a_{1} + a_{2} + ··· + a_{2024})(a_{2} + a_{3} + ··· + a_{2025}) = S(S - a_{1} + a_{2025}) = S^{2} - a_{1}S + a_{2025}S$,$N = (a_{1} + a_{2} + ··· + a_{2025})(a_{2} + a_{3} + ··· + a_{2024}) = (S + a_{2025})(S - a_{1}) = S^{2} - a_{1}S + a_{2025}S - a_{1}a_{2025}$, 所以$M - N = a_{1}a_{2025}$. 因为$a_{1}$,$a_{2025}$都是正数, 所以$M - N = a_{1}a_{2025} ＞ 0$, 所以$M ＞ N$, 故选 C.

3 [2024 江苏苏州期中，较难]在数学中，为了书写简便，$18$世纪数学家欧拉就首先使用了求和符号“$\sum$”。如记$\sum_{k = 1}^{n}k = 1 + 2 + 3 + ··· + (n - 1)+n$；$\sum_{k = 3}^{n}(x + k)=(x + 3)+(x + 4)+··· + (x + n)$。已知$\sum_{k = 2}^{n}[(x + k)(x - k + 1)]=5x^{2}+mx - 70$，则$m$的值是()

A.$4$
B.$5$
C.$-5$
D.$-4$

3. B 【解析】因为$5x^{2} + mx - 70$中$x^{2}$项系数为 5, 所以$n = 6$, 所以$\sum_{k = 2}^{n}[(x + k)(x - k + 1)] = (x + 2)(x - 1) + (x + 3)(x - 2) + (x + 4)(x - 3) + (x + 5)(x - 4) + (x + 6)(x - 5) = x^{2} + x - 2 + (x^{2} + x - 6) + (x^{2} + x - 12) + (x^{2} + x - 20) + (x^{2} + x - 30) = 5x^{2} + 5x - 70$. 因为$\sum_{k = 2}^{n}[(x + k)(x - k + 1)] = 5x^{2} + mx - 70$, 所以$m = 5$. 故选 B.

4 [2025 江西新余调研，中]若$9n^{2}+5n + 26$为两个连续自然数之积，$n$为非零自然数，则$n$的值是。

4. 2 或 6 【解析】因为$3n(3n + 1) = 9n^{2} + 3n ＜ 9n^{2} + 5n + 26$,$(3n + 3)(3n + 4) = 9n^{2} + 21n + 12 ＞ 9n^{2} + 5n + 26$, 所以$3n(3n + 1) ＜ 9n^{2} + 5n + 26 ＜ (3n + 3)(3n + 4)$, 所以$9n^{2} + 5n + 26 = (3n + 1)·(3n + 2)$或$9n^{2} + 5n + 26 = (3n + 2)(3n + 3)$, 解得$n = 6$或$n = 2$. 当$n = 6$时,$9n^{2} + 5n + 26 = 380 = 19×20$, 当$n = 2$时,$9n^{2} + 5n + 26 = 72 = 8×9$, 故答案为 2 或 6.

5 [2024 江苏连云港期末，中]观察下列等式：
$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$；
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$；
$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$；
$(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{5}-1$；
$······$
根据以上规律，判断$2^{2013}+2^{2012}+··· + 2^{2}+2 + 1$的值的个位数是。

5. 3 【解析】因为$2^{2013} + 2^{2012} + ··· + 2^{2} + 2 + 1 = (2 - 1)(2^{2013} + 2^{2012} + ··· + 2^{2} + 2 + 1) = 2^{2014} - 1$,$2^{1} = 2$,$2^{2} = 4$,$2^{3} = 8$,$2^{4} = 16$,$2^{5} = 32$,$2^{6} = 64$,$···$, 所以$2^{n}$($n$为正整数) 的个位数按照 2, 4, 8, 6 的顺序循环. 因为$2014÷4 = 503······2$, 所以$2^{2014}$的个位数是 4. 因为$4 - 1 = 3$, 所以$2^{2013} + 2^{2012} + ··· + 2^{2} + 2 + 1$的值的个位数是 3.

6 [较难]小萱对自己设计的运算给出如下定义：$(a,b)=(ax + b)·(bx + a)$。
(1)$(1,2)$的化简结果是；
(2)若$(a,b)·(b,a)$的结果为$9x^{4}-60x^{3}+118x^{2}-60x + 9$，求$a + b$的值。

6. 【解】(1) $(1, 2) = (x + 2)(2x + 1) = 2x^{2} + x + 4x + 2 = 2x^{2} + 5x + 2$.
故答案为$2x^{2} + 5x + 2$.
(2) 因为$(a, b) = (ax + b)(bx + a)$,$(b, a) = (bx + a)(ax + b)$,
所以$(a, b)·(b, a) = a^{2}b^{2}x^{4} + (2a^{3}b + 2ab^{3})x^{3} + (a^{4} + 4a^{2}b^{2} + b^{4})x^{2} + (2a^{3}b + 2ab^{3})x + a^{2}b^{2}$,
所以$a^{2}b^{2} = 9$, 即$ab = \pm 3$;
$2a^{3}b + 2ab^{3} = -60$, 即$2ab·(a^{2} + b^{2}) = -60$,
所以$ab = -3$, 所以$-3×2·(a^{2} + b^{2}) = -60$,$a^{2} + b^{2} = 10$,$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = 10 + 2×(-3) = 4$,
所以$a + b = \pm 2$.

7 核心素养运算能力[2025 山东济南期中，较难]请仔细阅读材料，并完成相应的任务。
多项式除以多项式

我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知$(x + 2)(2x + 1)=$①，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得$(2x^{2}+5x + 2)÷(2x + 1)=$②，这就是多项式除以多项式。两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算。例如$(x^{2}+9x + 20)÷(x + 4)$，可仿照$2835÷27$用竖式计算(如图)。
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算。
(1)任务一：补全材料中的两个空①，②。
(2)任务二：仿照例子的做法计算：
$(x^{2}+2x + 1)÷(x + 1)=$；
$(2x^{2}+3x + 1)÷(x + 1)=$。
(3)任务三：若$(2x^{3}+8x^{2}+3x - m)÷(2x + 7)$的商为整式，求$m$的值和商式(请列出竖式并回答)。

7. 【解】(1) 依题意, 得$(x + 2)(2x + 1) = 2x^{2} + x + 4x + 2 = 2x^{2} + 5x + 2$, 则$(2x^{2} + 5x + 2)÷(2x + 1) = x + 2$, 故答案为$2x^{2} + 5x + 2$,$x + 2$.
(2) 如图(1) 所示:

所以$(x^{2} + 2x + 1)÷(x + 1) = x + 1$.
如图(2) 所示:

所以$(2x^{2} + 3x + 1)÷(x + 1) = 2x + 1$. 故答案为$x + 1$,$2x + 1$.
(3) 如图(3) 所示:

因为$(2x^{3} + 8x^{2} + 3x - m)÷(2x + 7)$的商为整式,
所以结合图(3) 的竖式过程可知$m = \frac{7}{4}$, 此时$(2x^{3} + 8x^{2} + 3x - \frac{7}{4})÷(2x + 7) = x^{2} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$.