1 下列方程中：① $ x + y + z = 3 $；② $ xyz = 3 $；③ $ \frac{x + y + z}{3} = 1 $；④ $ \frac{3}{x + y + z} = 1 $。三元一次方程共有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

1. B 【解析】①$x + y + z = 3$是三元一次方程；②$xyz = 3$不是三元一次方程；③$\frac{x + y + z}{3} = 1$是三元一次方程；④$\frac{3}{x + y + z} = 1$不是三元一次方程，则三元一次方程共有 2 个. 故选 B.

2 [2025 江苏苏州期中]已知 $ \begin{cases}x = 1, \\ y = 2, \\ z = 3\end{cases}$ 是方程组 $ \begin{cases}ax + by = 2, \\ by + cz = 3, \\ cx + az = 7\end{cases}$ 的解，则 $ a + b + c $ 的值为( )

A.3
B.2
C.1
D.0

2. A 【解析】根据题意，把$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\\z = 3\end{cases}$代入方程组，得$\begin{cases}a + 2b = 2,①\\2b + 3c = 3,②\\c + 3a = 7,③\end{cases}$由①+②+③，得$4a + 4b + 4c = 12$，所以$a + b + c = 3$. 故选 A.

3 [2024 福建泉州质检]方程组 $ \begin{cases}x + y = 1, \\ x + z = 0, \\ y + z = -1\end{cases}$ 的解是( )

A.$ \begin{cases} x = -1, \\ y = 1, \\ z = 0 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 0, \\ z = -1 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 0, \\ y = 1, \\ z = -1 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = -1, \\ y = 0, \\ z = 1 \end{cases} $

3. B 【解析】$\begin{cases}x + y = 1,①\\x + z = 0,②\\y + z = -1,③\end{cases}$①+②+③，得$2x + 2y + 2z = 0$，即$x + y + z = 0$，④将①代入④，得$z = -1$，将②代入④，得$y = 0$，将③代入④，得$x = 1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 0,\\z = -1.\end{cases}$故选 B.

4 小铃观察三元一次方程组 $ \begin{cases}x + y + z = 1, ① \\ 4x + 2y + z = 3, ② \\ 9x + 3y + z = 7 ③\end{cases}$ 各个未知数的系数特点，先用② - ①，得 $ 3x + y = 2 $，记为④，消掉未知数 $ z $，那么下一步应完成的是 ______ ，得到 ______ ，记为⑤，由④⑤可解得 $ x $，$ y $ 的值，通过代入 $ x $，$ y $ 的值求出未知数 $ z $ 的值，完成这个三元一次方程组的求解。

4. ③-① $8x + 2y = 6$（本题答案不唯一）
【解析】$\begin{cases}x + y + z = 1,①\\4x + 2y + z = 3,②\\9x + 3y + z = 7,③\end{cases}$②-①，得$3x + y = 2$，④③-①，得$8x + 2y = 6$，⑤由④⑤得到二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 2,\\8x + 2y = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y = -1.\end{cases}$把$\begin{cases}x = 1,\\y = -1\end{cases}$代入①得$z = 1$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = -1,\\z = 1.\end{cases}$故答案为③-①，$8x + 2y = 6$.（本题答案不唯一）

5 [2024 上海静安区期末]解方程组：
(1) $ \begin{cases} -6x + 5y - 3z = -4, \\ 6x - 3y + z = 8, \\ 6x + y + 4z = 9; \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} x - y - z = 2, \\ 3x + 5y + 7z = 24, \\ 4x - y + 2z = 26. \end{cases} $

5. 【解】(1)$\begin{cases}-6x + 5y - 3z = -4,①\\6x - 3y + z = 8,②\\6x + y + 4z = 9,③\end{cases}$
①+②，得$2y - 2z = 4$，整理得$y - z = 2$，④
①+③，得$6y + z = 5$，⑤
联立④⑤解得$\begin{cases}y = 1,\\z = -1,\end{cases}$
把$\begin{cases}y = 1,\\z = -1\end{cases}$代入②，得$x = 2$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\\z = -1.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x - y - z = 2,①\\3x + 5y + 7z = 24,②\\4x - y + 2z = 26,③\end{cases}$
③-①，得$3x + 3z = 24$，整理得$x + z = 8$，④
①×5+②，得$8x + 2z = 34$，整理得$4x + z = 17$，⑤
联立④⑤解得$\begin{cases}x = 3,\\z = 5,\end{cases}$把$\begin{cases}x = 3,\\z = 5\end{cases}$代入①，得$y = -4$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = -4,\\z = 5.\end{cases}$

6 已知方程组 $ \begin{cases}x + 2y = k, \\ 2x + y = 1\end{cases}$ 的解满足 $ x + y = 3 $，则 $ k $ 的值为( )

A.10
B.8
C.2
D.-8

6. B 【解析】由题意可得$\begin{cases}x + 2y = k,①\\2x + y = 1,②\\x + y = 3.③\end{cases}$2×①-②得$y = \frac{2}{3}k - \frac{1}{3}$，②-③得$x = -2$. 将$x = -2$代入③得$y = 5$，则$\frac{2}{3}k - \frac{1}{3} = 5$，解得$k = 8$. 故选 B.

7 [2025 广东广州质检]小明从家到学校的路程为 3.3 千米，其路段分别有上坡路、平路和下坡路。如果保持上坡路每小时行 3 千米，平路每小时行 4 千米，下坡路每小时行 5 千米，那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要 44 分钟，那么从小明家到学校经过的平路是千米。

7. 0.8 【解析】设从小明家到学校经过的上坡路是$x$千米，平路是$y$千米，下坡路是$z$千米.依题意得$\begin{cases}x + y + z = 3.3,\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1,\frac{z}{3} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5} = \frac{44}{60},\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2.25,\\y = 0.8,\\z = 0.25,\end{cases}$所以从小明家到学校经过的平路是 0.8 千米，故答案为 0.8.

8 已知 $ y = ax^2 + bx + c $，当 $ x = 1 $ 时，$ y = 8 $；当 $ x = 0 $ 时，$ y = 2 $；当 $ x = -2 $ 时，$ y = 4 $。
(1) 求 $ a $，$ b $，$ c $ 的值；
(2) 当 $ x = -3 $ 时，求 $ y $ 的值。

8. 【解】(1)根据题意得$\begin{cases}a + b + c = 8,①\\c = 2,②\\4a - 2b + c = 4.③\end{cases}$
把②代入①，得$a + b + 2 = 8$. ④
把②代入③，得$4a - 2b + 2 = 4$. ⑤
由④和⑤组成方程组$\begin{cases}a + b + 2 = 8,\\4a - 2b + 2 = 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{7}{3},\\b = \frac{11}{3},\end{cases}$
所以$a = \frac{7}{3}$，$b = \frac{11}{3}$，$c = 2$.
(2)由(1)得$y = \frac{7}{3}x^{2} + \frac{11}{3}x + 2$.
当$x = -3$时，$y = \frac{7}{3}×(-3)^{2} + \frac{11}{3}×(-3) + 2 = 12$.

9 [2024 湖北武汉质检]在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ B = 2∠ C $，$ ∠ A $ 比 $ ∠ C $ 多 $ 20^{\circ} $，求 $ △ ABC $ 各内角度数。

9. 【解】由题意，得$\begin{cases}∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ},①\\∠ B = 2∠ C,②\\∠ A = ∠ C + 20^{\circ},③\end{cases}$
将②③代入①，解得$∠ C = 40^{\circ}$，
将$∠ C = 40^{\circ}$代入②，得$∠ B = 80^{\circ}$，
将$∠ C = 40^{\circ}$代入③，得$∠ A = 60^{\circ}$，
所以$△ ABC$各内角度数为$∠ A = 60^{\circ}$，$∠ B = 80^{\circ}$，$∠ C = 40^{\circ}$.