1. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$，$CA$的中点，$AH$是边$BC$上的高，连接$DE$，$EF$，$DH$，$HF$.
(1) 求证：四边形$ADEF$是平行四边形；
(2) 求证：$∠ DHF=∠ DEF$.

证明: (1)
∵D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DE和EF是△ABC的中位线.
∴DE//AC, DE=$\frac{1}{2}$AC, EF//AB, EF=$\frac{1}{2}$AB,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)如答图,连接DF.
∵AH⊥BC,D,F分别为AB,AC的中点,
∴DH=$\frac{1}{2}$AB,FH=$\frac{1}{2}$AC.
∴DH=EF,DE=HF.
又
∵DF=FD,
∴△EDF≌△HFD(SSS),
∴∠DHF=∠DEF.

2. (2025·宿豫期中) 如图，在四边形$ABCD$中，$AB=DC$，$∠ ABC=∠ DCB$，$E$，$F$，$G$，$H$分别是$AB$，$BC$，$CD$，$DA$的中点. 请你判断四边形$EFGH$是怎样的四边形？证明你的结论.

解: 四边形EFGH是菱形,理由: 如答图,连接AC,BD.
在△ABC与△DCB中,$\{ \begin{array} { l } { A B = D C, } \\ { ∠ A B C = ∠ D C B, } \\ { B C = C B, } \end{array} $
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴AC=BD.
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴EH=FG=$\frac{1}{2}$BD,HG=EF=$\frac{1}{2}$AC.
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形.

3. 如图，已知$△ ABC$的中线$BD$，$CE$相交于点$O$，$M$，$N$分别为$OB$，$OC$的中点.
(1) 求证：$MD$和$NE$互相平分；
(2) 若$BD⊥ AC$，$OC^{2}=32$，$OD+CD=7$，求$△ OBC$的面积.

(1)证明: 如答图,连接DE,MN.
∵BD,CE分别是△ABC的中线,
∴E,D分别是AB,AC的中点.
∴DE//BC, DE=$\frac{1}{2}$BC.
∵M,N分别为OB,OC的中点,
∴MN//BC,MN=$\frac{1}{2}$BC.
∴DE=MN,DE//MN.
∴四边形DEMN是平行四边形.
∴MD和NE互相平分.

(2)解:
∵BD⊥AC,
∴∠ODC=90°.
∴OC²=OD²+CD².
∵OD+CD=7,
∴(OD+CD)²=49,
即OD²+2OD·CD+CD²=49.
又
∵OC²=32,
∴2OD·CD=49 - 32 = 17.
由(1)知OD=OM,而M是OB的中点,
∴OB=2OD,
∴S△OBC=$\frac{1}{2}$OB·CD=$\frac{1}{2}$·2OD·CD=$\frac{17}{2}$.