6. 如图，$D$，$E$分别是$△ ABC$的边$AB$，$AC$的中点，连接$BE$，$DE$。若$∠ AED = ∠ BEC$，$DE = 2$，则$BE$的长为。

6.4

7. 如图，$△ ABC$中，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$的中点，点$D$在$EF$上，延长$AD$交$BC$于点$N$，$BD ⊥ AN$，$AB = 6$，$BC = 8$，则$DF =$。

7.1

8. 如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是边$AD$的中点，点$F$在对角线$AC$上，且$AC = 4AF$，连接$EF$。若$AC = 12$，则$EF =$。

8.3

9. 如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是$AD$的中点，点$F$，$G$在$AB$上，$EF ⊥ AB$，$OG // EF$，连接$OE$。
（1）求证：四边形$OEFG$是矩形；
（2）若$AD = 10$，$EF = 4$，求菱形$ABCD$的面积。

9.(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD = OB.
　又
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线,
∴OE // AB.
　又
∵OG // EF,
∴四边形OEFG是平行四边形.
　又
∵EF ⊥ AB,
∴平行四边形OEFG是矩形.
(2)解:如答图,过点D作DH ⊥ AB于点H,则EF是△AHD的中位线，
∴DH = 2EF = 8.
∴$S_{菱形ABCD}$ = AB·DH = 10×8 = 80.
　　　　　　　　

10. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$，$G$，$H$分别是各边的中点，且$AB // CD$，$AD // BC$，四边形$EFGH$是矩形。
（1）求证：四边形$ABCD$是菱形；
（2）若矩形$EFGH$的周长为$22$，四边形$ABCD$的面积为$10$，求$AB$的长。

10.(1)证明:如答图，连接AC,BD交于点O,AC交FG于点N,BD交HG于点M.
　
∵AB // CD,AD // BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
　
∵四边形EFGH是矩形,
∴∠HGF = 90°.
　
∵H,G分别是AD,DC的中点，
　
∴HG // AC，HG = $\frac{1}{2}$AC,
　
∴∠HGF = ∠GNC,
∴∠GNC = 90°.
　
∵G,F分别是DC,BC的中点，
　
∴GF // BD,GF = $\frac{1}{2}$BD,
　
∴∠GNC = ∠MOC = 90°,
∴BD ⊥ AC,
　
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)解:
∵矩形EFGH的周长为22,
∴HG + FG = 11,
∴AC + BD = 22.
∵$\frac{1}{2}$AC·BD = 10,
∴AC·BD = 20.
∵(AC + BD)² = AC² + 2AC·BD + BD²,
∴AC² + BD² = 444,
∴$\frac{1}{4}$AC² + $\frac{1}{4}$BD² = 111,
∴AO² + BO² = 111,
∴AB² = AO² + BO² = 111,
∴AB = $\sqrt{111}$.