登录
21. (12 分) 新趋势 项目式学习 （2026 · 宿迁期中)在一节数学综合实践课上,老师和同学们对长为8 cm,宽为4 cm 的长方形纸片进行折纸探究活动.
【操作说明】
如图①,在长方形纸片 DEFG 上任意画一条线段 AB,将纸片沿线段 AB 折叠(如图②).
(1)试探究重叠部分$△ ABC$的形状,并说明理由.
(2)求$△ ABC$面积的最小值.
【感悟作图】
把长方形纸片 DEFG 对折,折痕为 MN,请你用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法).
(3)如图③,试在折痕 MN 上找一点 P,使得$△ DEP$为等边三角形.
(4)如图④,在线段 DG 上找一点 Q,在线段EF 上找一点 H,使得$△ EQH$为等边三角形.
【操作说明】
如图①,在长方形纸片 DEFG 上任意画一条线段 AB,将纸片沿线段 AB 折叠(如图②).
(1)试探究重叠部分$△ ABC$的形状,并说明理由.
(2)求$△ ABC$面积的最小值.
【感悟作图】
把长方形纸片 DEFG 对折,折痕为 MN,请你用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法).
(3)如图③,试在折痕 MN 上找一点 P,使得$△ DEP$为等边三角形.
(4)如图④,在线段 DG 上找一点 Q,在线段EF 上找一点 H,使得$△ EQH$为等边三角形.
答案
21. (1)$△ ABC$为等腰三角形,理由:$\because$长方形纸片$DEFG$沿线段$AB$折叠,$\therefore ∠ BAC=∠ BAF$.$\because$四边形$DEFG$是长方形,$\therefore DG// EF$,$\therefore ∠ BAF=∠ ABC$,$\therefore ∠ BAC=∠ ABC$,$\therefore △ ABC$为等腰三角形.
(2)由(1)得$BC=AC$,$\because △ ABC$的面积$=\frac{1}{2}× BC×4$,$\therefore$当$BC$最小,即$AC$最小时,$△ ABC$的面积取得最小值,$\therefore$当$AC=BC=4\ \mathrm{cm}$时,$△ ABC$的面积最小,为$\frac{1}{2}×4×4=8(\mathrm{cm}^2)$.
(3)如图①,点P即为所求.
理由如下:由折叠可得$PD=PE$,根据作图可得$PE=ED$,$\therefore PE=PD=DE$,$\therefore △ DEP$是等边三角形.
(4)如图②,点Q与点H即为所求.
理由如下:如图②,由(3)得$△ DEP$是等边三角形,$\therefore DE=PE=DP$,$∠ DEP=∠ DPE=60°$.$\because QH⊥ EP$,四边形$DEFG$是长方形,$\therefore ∠ EPQ=∠ EDQ=90°$.$\because EQ=EQ$,$\therefore \mathrm{Rt}△ DEQ≌ \mathrm{Rt}△ PEQ(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ DEQ=∠ QEP=30°$,$∠ EQD=∠ EQP=90°-30°=60°$,$\therefore ∠ GQH=180°-60°-60°=60°$.$\because DG// EF$,$\therefore ∠ QHE=∠ GQH=60°=∠ EQH$,$\therefore △ EQH$是等边三角形.
(2)由(1)得$BC=AC$,$\because △ ABC$的面积$=\frac{1}{2}× BC×4$,$\therefore$当$BC$最小,即$AC$最小时,$△ ABC$的面积取得最小值,$\therefore$当$AC=BC=4\ \mathrm{cm}$时,$△ ABC$的面积最小,为$\frac{1}{2}×4×4=8(\mathrm{cm}^2)$.
(3)如图①,点P即为所求.
理由如下:由折叠可得$PD=PE$,根据作图可得$PE=ED$,$\therefore PE=PD=DE$,$\therefore △ DEP$是等边三角形.
(4)如图②,点Q与点H即为所求.
理由如下:如图②,由(3)得$△ DEP$是等边三角形,$\therefore DE=PE=DP$,$∠ DEP=∠ DPE=60°$.$\because QH⊥ EP$,四边形$DEFG$是长方形,$\therefore ∠ EPQ=∠ EDQ=90°$.$\because EQ=EQ$,$\therefore \mathrm{Rt}△ DEQ≌ \mathrm{Rt}△ PEQ(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ DEQ=∠ QEP=30°$,$∠ EQD=∠ EQP=90°-30°=60°$,$\therefore ∠ GQH=180°-60°-60°=60°$.$\because DG// EF$,$\therefore ∠ QHE=∠ GQH=60°=∠ EQH$,$\therefore △ EQH$是等边三角形.
22. (14 分) 已知$△ ABC$是等边三角形,点$D$是射线$CF$上一点,连接$BD$交线段$AC$于点$G$.
(1) 如图 ①,当$∠ ADB = 60°$时,求证:$DA$平分$∠ BDF$;
(2) 如图 ②,延长$BA$交射线$CF$于点$F$,当$∠ ACD = 2∠ ABD$时,在$AB$上取一点$H$,且$FH=FC$,连接$CH$,求证:$BH=AG$;
(3) 如图 ③,在(2)的条件下,将$△ BCH$沿$CH$翻折,得到$△ NHC$,$CH$与$BD$交于点$M$,$CN$与$BD$交于点$K$,若$BM=8$,$MK=6$,求$HM$的长.
(1) 如图 ①,当$∠ ADB = 60°$时,求证:$DA$平分$∠ BDF$;
(2) 如图 ②,延长$BA$交射线$CF$于点$F$,当$∠ ACD = 2∠ ABD$时,在$AB$上取一点$H$,且$FH=FC$,连接$CH$,求证:$BH=AG$;
(3) 如图 ③,在(2)的条件下,将$△ BCH$沿$CH$翻折,得到$△ NHC$,$CH$与$BD$交于点$M$,$CN$与$BD$交于点$K$,若$BM=8$,$MK=6$,求$HM$的长.
答案
22. (1)如图①,作$CM⊥ BD$于点M,$CN⊥ AD$,交$AD$的延长线于点N.$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore AC=BC$,$∠ BCA=∠ ADB=60°$.$\because ∠ BGC=∠ AGD$,$\therefore ∠ CBM=∠ CAD$.在$△ BCM$和$△ ACN$中,$\begin{cases} ∠ BMC=∠ ANC,\\ ∠ CBM=∠ CAN,\\ BC=AC, \end{cases}$$\therefore △ BCM≌ △ ACN(\mathrm{AAS})$,$\therefore CM=CN$.又$\because CM⊥ BD$,$CN⊥ AD$,$\therefore ∠ MDC=∠ NDC=60°$,$\therefore ∠ ADB=∠ ADF=60°$,$\therefore DA$平分$∠ BDF$.
(2)设$∠ ABD=α$,则$∠ ACD=2α$,$\therefore ∠ BCD=60°+2α$,$\therefore ∠ BDC=60°-α=∠ DBC$,$\therefore BC=DC$,$∠ F=60°-α-α=60°-2α$.$\because FH=FC$,$\therefore ∠ FHC=∠ FCH=60°+α$,$\therefore ∠ HCB=∠ BCD-∠ FCH=α$,$\therefore ∠ HCB=∠ ABD$.在$△ ABG$和$△ BCH$中,$\begin{cases} ∠ BAG=∠ CBH,\\ AB=BC,\\ ∠ ABG=∠ BCH, \end{cases}$$\therefore △ ABG≌ △ BCH(\mathrm{ASA})$,$\therefore BH=AG$.
(3)由(2)知$∠ ACK=60°-2α$,$∠ KGC=∠ BDC+∠ ACD=60°+α$,$\therefore$在$△ GCK$中,$∠ GKC=180°-∠ ACK-∠ KGC=60°+α=∠ KGC$,$\therefore CG=CK$.$\because △ BCH$翻折得到$△ NCH$,$\therefore CN=BC=AC=AB$,$HN=HB$,$∠ N=∠ ABC=60°$.$\because CN-CK=CA-CG$,即$NK=AG$.如图②,连接$HK$,$\therefore BH=HN=NK=AG$,$\therefore △ NHK$是等边三角形,$\therefore HK=KN=BH$,$\therefore ∠ HBK=∠ HKB$.在BK上截取$BP=KM$,在$△ BHP$和$△ KHM$中,$\begin{cases} BH=KH,\\ ∠ HBP=∠ HKM,\\ BP=KM, \end{cases}$$\therefore △ BHP≌ △ KHM(\mathrm{SAS})$,$\therefore HP=HM$,$BP=KM=6$,$\therefore PM=8-6=2$.$\because ∠ DMH=∠ BDC+∠ DCH$,$\therefore ∠ DMH=60°-α+2α+60°-α=120°$,$\therefore ∠ HMB=60°$,$\therefore △ HMP$是等边三角形,$\therefore HM=PM=2$.
(2)设$∠ ABD=α$,则$∠ ACD=2α$,$\therefore ∠ BCD=60°+2α$,$\therefore ∠ BDC=60°-α=∠ DBC$,$\therefore BC=DC$,$∠ F=60°-α-α=60°-2α$.$\because FH=FC$,$\therefore ∠ FHC=∠ FCH=60°+α$,$\therefore ∠ HCB=∠ BCD-∠ FCH=α$,$\therefore ∠ HCB=∠ ABD$.在$△ ABG$和$△ BCH$中,$\begin{cases} ∠ BAG=∠ CBH,\\ AB=BC,\\ ∠ ABG=∠ BCH, \end{cases}$$\therefore △ ABG≌ △ BCH(\mathrm{ASA})$,$\therefore BH=AG$.
(3)由(2)知$∠ ACK=60°-2α$,$∠ KGC=∠ BDC+∠ ACD=60°+α$,$\therefore$在$△ GCK$中,$∠ GKC=180°-∠ ACK-∠ KGC=60°+α=∠ KGC$,$\therefore CG=CK$.$\because △ BCH$翻折得到$△ NCH$,$\therefore CN=BC=AC=AB$,$HN=HB$,$∠ N=∠ ABC=60°$.$\because CN-CK=CA-CG$,即$NK=AG$.如图②,连接$HK$,$\therefore BH=HN=NK=AG$,$\therefore △ NHK$是等边三角形,$\therefore HK=KN=BH$,$\therefore ∠ HBK=∠ HKB$.在BK上截取$BP=KM$,在$△ BHP$和$△ KHM$中,$\begin{cases} BH=KH,\\ ∠ HBP=∠ HKM,\\ BP=KM, \end{cases}$$\therefore △ BHP≌ △ KHM(\mathrm{SAS})$,$\therefore HP=HM$,$BP=KM=6$,$\therefore PM=8-6=2$.$\because ∠ DMH=∠ BDC+∠ DCH$,$\therefore ∠ DMH=60°-α+2α+60°-α=120°$,$\therefore ∠ HMB=60°$,$\therefore △ HMP$是等边三角形,$\therefore HM=PM=2$.
