7.【概念呈现】一个凸四边形的任一条对角线把原四边形分成两个三角形,若其中有一个三角形是等腰直角三角形,则把这条对角线叫作这个四边形的“等腰直角线”,把这个四边形叫作“等腰直角四边形”.当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形,若其中一个三角形是等腰直角三角形,另一个三角形是等腰三角形,则把这条对角线叫作这个四边形的“真等腰直角线”,把这个四边形叫作“真等腰直角四边形”.
(1)【概念理解】如图1,若$AD=DB=DC=1$,$BC=\sqrt{2}$,则四边形$ABCD$（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形.
(2)【性质应用】若四边形$ABCD$是真等腰直角四边形,且$∠ BDC=90°$,对角线$BD$是这个四边形的真等腰直角线,则当$AD=\sqrt{2}$,$AB=1$时,$BC^2=$.
(3)【深度理解】如图2,四边形$ABCD$与四边形$ABDE$都是等腰直角四边形,$∠ BDC=90°$,$∠ ADE=90°$,$BD＞AD＞AB$,对角线$BD$,$AD$分别是这两个四边形的等腰直角线,试猜想并证明$AC$与$BE$的数量关系.
(4)【拓展提高】已知四边形$ABCD$是等腰直角四边形,对角线$BD$是这个四边形的等腰直角线,且$∠ DBC=90°$.若$AD=2$,$AB=3$,$∠ BAD=45°$,则$AC=$.

7. 解:(1) 是
(2) 4 或 2 提示:因为对角线 $BD$ 是这个四边形的真等腰直角线,当 $AD=\sqrt{2}$,$AB=1$ 时,因为 $△ ABD$ 是等腰三角形,所以当 $BD=AD=\sqrt{2}$ 时,由勾股定理,得 $BC^2=2BD^2=4$. 当 $BD=AB=1$ 时,由勾股定理,得 $BC^2=2BD^2=2$. 综上所述,$BC^2=4$ 或 $BC^2=2$.
(3) $AC=BE$. 证明如下:
由题意知,$△ BDC$ 和 $△ ADE$ 都是等腰直角三角形,所以 $CD=BD$,$AD=ED$,$∠ BDC=∠ ADE=90°$,所以 $∠ ADC=90°+∠ ADB=∠ EDB$,所以 $△ ADC≌△ EDB$ (SAS),所以 $AC=BE$.
(4) $\sqrt{22}$ 提示:如图,将 $AB$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90°$,得到 $EB$,连接 $AE$,$ED$. 同(3)可得 $△ ACB≌△ EDB$(SAS),所以 $AC=ED$. 因为 $AB=3$,$△ ABE$ 是等腰直角三角形,所以 $AE=3\sqrt{2}$,$∠ EAB=45°$. 因为 $∠ DAB=45°$,所以 $∠ EAD=90°$. 由勾股定理,得 $ED=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{22}$,所以 $AC=\sqrt{22}$.

8. 如图,C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B，D 作 $AB ⊥ BD$,$ED ⊥ BD$,连接 AC,EC,已知 $AB=5,DE=1,BD=8$,设 $CD=x$.
(1) 则 AC 的长为(用含 x 的代数式表示),CE 的长为(用含 x 的代数式表示).
(2) 当点 C 在 BD 上运动时,求 $AC+CE$的最小值.
(3) 根据(2)中的规律和结论,则代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$ 的最小值为.
(4) 仿照上面的方法,则代数式$\sqrt{(4-x)^2+9}-\sqrt{x^2+4}$(x 是任意实数)的最大值为.

8. (1) $\sqrt{(8-x)^2+25}\quad\sqrt{x^2+1}$ 提示:设 $CD=x$,则 $BC=BD-CD=8-x$. 因为 $AB⊥ BD$,所以由勾股定理,得 $AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{(8-x)^2+5^2}=\sqrt{(8-x)^2+25}$,$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{x^2+1}$.
(2) 解:当 $A,C,E$ 三点共线时,$AC+CE$ 的值最小,即为 $AE$ 的长. 如图1,过点 $E$ 作 $EH⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $H$. 因为 $AB⊥ BD$,所以 $BD// EH$. 因为 $ED⊥ BD$,所以 $DE// AH$,所以易得 $BH=DE=1$,同理可得 $EH=BD=8$,所以 $AE=\sqrt{AH^2+HE^2}=\sqrt{(5+1)^2+8^2}=10$,所以 $AC+CE$ 的最小值为 10.


(3) 13 提示:如图2,作线段 $BD=12$,$C$ 为线段 $BD$ 上一动点,过点 $B$ 作 $AB⊥ BD$,过点 $D$ 作 $ED⊥ BD$,使得 $AB=2$,$ED=3$. 设 $BC=x$,则 $CD=BD-BC=12-x$. 由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4+x^2}$,$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{(12-x)^2+9}$,所以 $AC+CE=\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$,所以当点 $A,C,E$ 共线时,$AC+CE$ 取得最小值,即为 $AE$ 的长,如图3所示. 过点 $A$ 作 $AF⊥ ED$ 交 $ED$ 的延长线于点 $F$,则同(2)可得 $DF=AB=2$,$AF=BD=12$,$EF=ED+DF=3+2=5$,所以 $AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$,即 $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$ 的最小值为 13.

(4) $\sqrt{17}$ 提示:如图4,构造数轴. 设点 $A$ 表示的数为4,点 $O$ 表示的数为0,点 $D$ 表示的数为 $x$,过点 $A$ 作 $AB⊥ OA$,且 $AB=3$,过点 $O$ 作 $OC⊥ OA$,且 $OC=2$. 易得 $AO=4$,$AD=|4-x|$,$DO=|x|$,过点 $C$ 作 $CE⊥ AB$ 于点 $E$,则同(2)可得 $AE=OC=2$,$CE=AO=4$,所以 $BE=AB-AE=1$. 由勾股定理,得 $BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{(4-x)^2+9}$,$BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$,$CD=\sqrt{DO^2+CO^2}=\sqrt{x^2+4}$. 因为三角形任意两边之差小于第三边,所以 $BC\ge BD-CD$,所以 $\sqrt{(4-x)^2+9}-\sqrt{x^2+4}\le\sqrt{17}$,所以当点 $B,C,D$ 共线时,$BC$ 的长即为代数式 $\sqrt{(4-x)^2+9}-\sqrt{x^2+4}$ 的最大值,所以 $\sqrt{(4-x)^2+9}-\sqrt{x^2+4}$ 的最大值为 $\sqrt{17}$.