9. 中考新考法 新定义运算 (2025·淮安期末)定义:对于“☆”运算,若$a☆b = (-b)☆(-a)$,则称“☆”运算满足“反换律”.例如:$a × b = (-b) × (-a)$,故乘法运算满足“反换律”.
(1)下列运算满足“反换律”的是.(填序号)
①加法;②减法;③除法.
(2)规定“$\oplus$”运算:$a \oplus b = a^{2} + b^{2} - 3ab$.
①若$a = 1$,$b = -2$,则$a \oplus b = $;
②请你判断“$\oplus$”运算是否满足“反换律”,并说明理由.

9. (1)②
解析：$\because a+b≠ -b+(-a)$，$\therefore$加法不满足“反换律”；$\because a-b=-b-(-a)$，$\therefore$减法满足“反换律”；$\because a÷ b≠ -b÷(-a)$，$\therefore$除法不满足“反换律”.故选②.
(2)①11
解析：$a\oplus b=a^2+b^2-3ab=1^2+(-2)^2-3×1×(-2)=11.$
②满足.理由如下：$\because a\oplus b=a^2+b^2-3ab$，
$\therefore (-b)\oplus(-a)=(-b)^2+(-a)^2-3×(-b)×(-a)=a^2+b^2-3ab$，
$\therefore a\oplus b=(-b)\oplus(-a)$，$\therefore$“$\oplus$”运算满足“反换律”.

【分析】首先明确“反换律”的定义：对于运算“☆”，若满足$a☆b = (-b)☆(-a)$，则该运算满足“反换律”。第(1)问需分别验证加法、减法、除法是否符合该等式；第(2)问①直接代入数值计算新运算，②需计算$(-b)\oplus(-a)$并与$a\oplus b$比较，判断是否满足反换律。
【解析】
(1) 分别验证三种运算：
加法：$a+b$，$(-b)+(-a)= -a -b$，显然$a+b≠ -a -b$，故加法不满足“反换律”；
减法：$a - b$，$(-b)-(-a)= -b +a = a - b$，故$a - b = (-b)-(-a)$，减法满足“反换律”；
除法：$a÷b$，$(-b)÷(-a)= \frac{b}{a}$，显然$a÷b≠ \frac{b}{a}$，故除法不满足“反换律”。因此选②。
(2) ① 代入$a=1$，$b=-2$：
$a\oplus b = a^2 + b^2 -3ab = 1^2 + (-2)^2 -3×1×(-2) =1 +4 +6=11$。
② 判断“$\oplus$”运算是否满足反换律：
已知$a\oplus b = a^2 + b^2 -3ab$，则：
$(-b)\oplus(-a)= (-b)^2 + (-a)^2 -3×(-b)×(-a)= b^2 +a^2 -3ab$，
显然$a^2 + b^2 -3ab = b^2 +a^2 -3ab$，即$a\oplus b = (-b)\oplus(-a)$，故“$\oplus$”运算满足“反换律”。
【答案】(1)②；(2)①11；②满足，理由见解析
【知识点】新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减运算
【点评】本题为中考新考法的新定义运算题，核心是准确理解“反换律”的定义，通过代入验证完成解题，计算时需注意符号的处理，整体难度适中，考察学生的理解能力与运算能力。
【难度系数】0.6

10. 分类讨论思想 (2024·四川成都外国语学校期中)探究规律,完成相关题目.
定义“$*$”运算:
例:①$(+2)*(+4)=+(2^{2}+4^{2})$;
②$(-4)*(-7)=[(-4)^{2}+(-7)^{2}]$;
③$(-2)*(+4)=-[(-2)^{2}+(+4)^{2}]$;
④$(+5)*(-7)=-[(+5)^{2}+(-7)^{2}]$;
⑤$0*(-5)=(-5)*0=(-5)^{2}$;
⑥$0*0=0^{2}+0^{2}=0$;
⑦$(+3)*0=0*(+3)=(+3)^{2}$.
(1)计算:①$(-1)*(-1)$;
②$(-1)*[0*(-2)]$.
(2)归纳$*$运算的法则:两数进行$*$运算时,同号得,异号得,并把两数的.
特别地,$0$和任何数进行$*$运算,或任何数和$0$进行$*$运算,结果等于这个数的.
(3)是否存在整数$m,n$,使得$(m-1)*(n+2)=-2$? 若存在,求出$m-n$的值;若不存在,说明理由.
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精题详解

10. (1)由题意,得
①$(-1)*(-1)=[(-1)^2+(-1)^2]=2.$
②$(-1)*[0*(-2)]=(-1)*(-2)^2=(-1)*(+4)=-[(-1)^2+(+4)^2]=-17.$
(2)正 负 平方相加 平方
(3)存在,理由如下:
$\because (m-1)*(n+2)=-2$，
$\therefore m-1＜0$或$n+2＜0$，
即$-[(m-1)^2+(n+2)^2]=-2$，
$\therefore (m-1)^2+(n+2)^2=2.$
$\because m,n$是整数，$\therefore m=0,n=-1$或$m=2,n=-1$或$m=2,n=-3$或$m=0,n=-3.$
①当$m=0,n=-1$时,$m-1＜0,n+2＞0$,符合题意，$\therefore m-n=0-(-1)=1$；
②当$m=2,n=-1$时,$m-1＞0,n+2＞0$,不符合题意；
③当$m=2,n=-3$时,$m-1＞0,n+2＜0$,符合题意，$\therefore m-n=2-(-3)=5$；
④当$m=0,n=-3$时,$m-1＜0,n+2＜0$,不符合题意.
综上所述,当$m=0,n=-1$时,$m-n=1$;当$m=2,n=-3$时,$m-n=5.$

【分析】
首先需明确题目定义的“*”运算规则，通过给出的7个例子归纳运算规律，再分步骤解决三个问题：(1)根据运算规则直接计算；(2)对比同号、异号、与0运算的例子归纳法则；(3)根据运算结果的条件列方程，结合整数性质分类讨论求解。
【解析】
(1) 计算
① 根据“*”运算规则，同号两数进行“*”运算时，结果为两数平方和：
$(-1)*(-1)=(-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$；
② 先算括号内的“0*(-2)”，根据规则，0和任何数进行“*”运算，结果等于该数的平方：
$0*(-2)=(-2)^2 = 4$，
再计算$(-1)*(+4)$，异号两数进行“*”运算时，结果为负的两数平方和：
$(-1)*(+4)=-[(-1)^2 + 4^2] = -(1 + 16) = -17$。
(2) 归纳“*”运算的法则
对比例子：同号运算（①②）结果为正，异号运算（③④）结果为负，运算内容是两数平方相加；0与任何数运算结果为该数的平方。因此：
两数进行“*”运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加。特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，结果等于这个数的平方。
(3) 探究整数$m,n$的存在性
已知$(m-1)*(n+2)=-2$，结果为负，说明是异号运算，根据法则：
$-[(m-1)^2 + (n+2)^2] = -2$，
化简得：$(m-1)^2 + (n+2)^2 = 2$。
因为$m,n$是整数，整数的平方为非负数，且$2=1+1$，因此：
$(m-1)^2=1$，$(n+2)^2=1$，
即$m-1=±1$，$n+2=±1$，分情况讨论：
当$m-1=1$（$m=2$），$n+2=-1$（$n=-3$）时，$m-1＞0$，$n+2＜0$，符合异号条件，$m-n=2 - (-3)=5$；
当$m-1=-1$（$m=0$），$n+2=1$（$n=-1$）时，$m-1＜0$，$n+2＞0$，符合异号条件，$m-n=0 - (-1)=1$；
其余情况（如$m=2,n=-1$时同号，$m=0,n=-3$时同号）均不符合，舍去。
综上，存在整数$m,n$，$m-n$的值为1或5。
【答案】
(1) ①$2$；②$-17$；
(2) 正、负、平方相加、平方；
(3) 存在，$m-n$的值为1或5。
【知识点】
分类讨论思想、有理数的运算、规律探究
【点评】
本题通过定义新运算考查学生的规律归纳能力与分类讨论思想，需先准确理解新运算规则，再逐步解决计算、法则归纳与整数解探究问题，逻辑要求较高，能有效锻炼学生的思维严谨性。
【难度系数】
0.5