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1.综合与实践
【问题学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等。所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题。
例1:把代数式$x^2+8x+25$进行配方。
解:原式$=x^2+8x+16+9=(x+4)^2+9$。
例2:求代数式$-x^2+4x-7$的最大值。
解:原式$=-(x^2-4x+4)-3=-(x-2)^2-3$。因为$(x-2)^2≥0$，所以$-(x-2)^2≤0$，所以$-(x-2)^2-3≤-3$，所以$-x^2+4x-7$的最大值为$-3$。
【问题解决】
(1)若$m,k,h$满足$2m^2-12m+11=2(m-k)^2+h$，求$k+h$的值；
(2)若等腰三角形$ABC$的三边长$a,b,c$均为整数，且满足$a^2+2b^2-8a-20b=-66$，求$△ ABC$的周长；
(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中$a,b,c$是$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$的三边长，根据勾股定理可得$AE=\sqrt{c^2+c^2}=\sqrt{2}c$，我们把关于$x$的一元二次方程$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$称为“勾系一元二次方程”。已知实数$p,q$满足等式$q-p^2+15p-48=0$，且$p+q$的最小值是“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根。四边形$ACDE$的周长为$6\sqrt{2}$，试求$△ ABC$的面积。
【问题学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等。所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题。
例1:把代数式$x^2+8x+25$进行配方。
解:原式$=x^2+8x+16+9=(x+4)^2+9$。
例2:求代数式$-x^2+4x-7$的最大值。
解:原式$=-(x^2-4x+4)-3=-(x-2)^2-3$。因为$(x-2)^2≥0$，所以$-(x-2)^2≤0$，所以$-(x-2)^2-3≤-3$，所以$-x^2+4x-7$的最大值为$-3$。
【问题解决】
(1)若$m,k,h$满足$2m^2-12m+11=2(m-k)^2+h$，求$k+h$的值；
(2)若等腰三角形$ABC$的三边长$a,b,c$均为整数，且满足$a^2+2b^2-8a-20b=-66$，求$△ ABC$的周长；
(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中$a,b,c$是$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$的三边长，根据勾股定理可得$AE=\sqrt{c^2+c^2}=\sqrt{2}c$，我们把关于$x$的一元二次方程$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$称为“勾系一元二次方程”。已知实数$p,q$满足等式$q-p^2+15p-48=0$，且$p+q$的最小值是“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根。四边形$ACDE$的周长为$6\sqrt{2}$，试求$△ ABC$的面积。
答案
(1)-4；
(2)由题意，因为$a^2+2b^2-8a-20b=-66$，所以$a^2-8a+16+2(b^2-10b+25)=0$，所以$(a-4)^2+2(b-5)^2=0$，所以$a=4,b=5$。当$c=a=4$时，$△ ABC$的周长$=4+5+4=13$；当$c=b=5$时，$△ ABC$的周长$=4+5+5=14$；
(3)因为$q-p^2+15p-48=0$，所以$q=p^2-15p+48$，所以$p+q=p+p^2-15p+48=p^2-14p+49-1=(p-7)^2-1$，所以$(p+q)$最小值为$-1$，即$x=-1$是$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根，所以当$x=-1$时，有$a-\sqrt{2}c+b=0$，即$a+b=\sqrt{2}c$。因为$2a+2b+\sqrt{2}c=6\sqrt{2}$，所以$3\sqrt{2}c=6\sqrt{2}$，所以$c=2$，所以$a^2+b^2=4$，$a+b=2\sqrt{2}$。因为$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，所以$ab=2$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=1$。
(2)由题意，因为$a^2+2b^2-8a-20b=-66$，所以$a^2-8a+16+2(b^2-10b+25)=0$，所以$(a-4)^2+2(b-5)^2=0$，所以$a=4,b=5$。当$c=a=4$时，$△ ABC$的周长$=4+5+4=13$；当$c=b=5$时，$△ ABC$的周长$=4+5+5=14$；
(3)因为$q-p^2+15p-48=0$，所以$q=p^2-15p+48$，所以$p+q=p+p^2-15p+48=p^2-14p+49-1=(p-7)^2-1$，所以$(p+q)$最小值为$-1$，即$x=-1$是$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根，所以当$x=-1$时，有$a-\sqrt{2}c+b=0$，即$a+b=\sqrt{2}c$。因为$2a+2b+\sqrt{2}c=6\sqrt{2}$，所以$3\sqrt{2}c=6\sqrt{2}$，所以$c=2$，所以$a^2+b^2=4$，$a+b=2\sqrt{2}$。因为$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，所以$ab=2$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=1$。
解析
【分析】
本题围绕配方法的应用展开，需通过配方法将代数式转化为完全平方式，结合非负数性质、等腰三角形三边关系、勾股定理、一元二次方程根的定义等知识解决三个问题。(1)对等式左边的二次式配方，与右边对比求出k、h，进而得k+h；(2)对等式配方，利用平方和为0求出a、b的值，再根据等腰三角形三边关系确定第三边，计算周长；(3)先通过配方法求出p+q的最小值，代入勾系方程得到a与b、c的关系，结合四边形周长求出c，再利用勾股定理和完全平方公式求出ab，进而得到三角形面积。
【解析】
(1) 对等式左边配方：
$2m^2 -12m +11 = 2(m^2 -6m) +11 = 2[(m-3)^2 -9] +11 = 2(m-3)^2 -7$
已知$2m^2 -12m +11 = 2(m-k)^2 +h$，对比得$k=3$，$h=-7$，故$k+h=3 + (-7) = -4$。
(2) 对等式$a^2 +2b^2 -8a -20b = -66$配方：
整理得$a^2 -8a +16 + 2(b^2 -10b +25) = 0$，即$(a-4)^2 + 2(b-5)^2 =0$。
因为平方数非负，所以$a-4=0$，$b-5=0$，即$a=4$，$b=5$。
等腰三角形三边为整数，分两种情况：
① 若$c=a=4$，则周长为$4+5+4=13$；
② 若$c=b=5$，则周长为$4+5+5=14$。
(3) 由$q - p^2 +15p -48=0$得$q=p^2 -15p +48$，则$p+q = p + p^2 -15p +48 = p^2 -14p +49 -1 = (p-7)^2 -1$。
因为$(p-7)^2 ≥0$，所以$p+q$的最小值为$-1$，即勾系方程$ax^2 +\sqrt{2}cx +b=0$的一个根为$x=-1$。
将$x=-1$代入方程得：$a(-1)^2 +\sqrt{2}c(-1) +b=0$，即$a + b = \sqrt{2}c$。
四边形ACDE的周长为$2a + 2b + \sqrt{2}c =6\sqrt{2}$，把$a+b=\sqrt{2}c$代入得：$2×\sqrt{2}c + \sqrt{2}c =3\sqrt{2}c=6\sqrt{2}$，解得$c=2$。
因为△ABC是直角三角形，所以$a^2 +b^2 =c^2=4$，又$a+b=\sqrt{2}c=2\sqrt{2}$。
由完全平方公式：$(a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2$，代入得$(2\sqrt{2})^2 =4 +2ab$，即$8=4+2ab$，解得$ab=2$。
所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
(1)-4；(2)13或14；(3)1
【知识点】
配方法应用、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是配方法的综合应用题，融合代数变形、几何性质，需熟练运用配方法、非负数性质、等腰三角形三边关系等知识，逻辑连贯性要求较高，能有效考查学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.5
本题围绕配方法的应用展开，需通过配方法将代数式转化为完全平方式，结合非负数性质、等腰三角形三边关系、勾股定理、一元二次方程根的定义等知识解决三个问题。(1)对等式左边的二次式配方，与右边对比求出k、h，进而得k+h；(2)对等式配方，利用平方和为0求出a、b的值，再根据等腰三角形三边关系确定第三边，计算周长；(3)先通过配方法求出p+q的最小值，代入勾系方程得到a与b、c的关系，结合四边形周长求出c，再利用勾股定理和完全平方公式求出ab，进而得到三角形面积。
【解析】
(1) 对等式左边配方：
$2m^2 -12m +11 = 2(m^2 -6m) +11 = 2[(m-3)^2 -9] +11 = 2(m-3)^2 -7$
已知$2m^2 -12m +11 = 2(m-k)^2 +h$，对比得$k=3$，$h=-7$，故$k+h=3 + (-7) = -4$。
(2) 对等式$a^2 +2b^2 -8a -20b = -66$配方：
整理得$a^2 -8a +16 + 2(b^2 -10b +25) = 0$，即$(a-4)^2 + 2(b-5)^2 =0$。
因为平方数非负，所以$a-4=0$，$b-5=0$，即$a=4$，$b=5$。
等腰三角形三边为整数，分两种情况：
① 若$c=a=4$，则周长为$4+5+4=13$；
② 若$c=b=5$，则周长为$4+5+5=14$。
(3) 由$q - p^2 +15p -48=0$得$q=p^2 -15p +48$，则$p+q = p + p^2 -15p +48 = p^2 -14p +49 -1 = (p-7)^2 -1$。
因为$(p-7)^2 ≥0$，所以$p+q$的最小值为$-1$，即勾系方程$ax^2 +\sqrt{2}cx +b=0$的一个根为$x=-1$。
将$x=-1$代入方程得：$a(-1)^2 +\sqrt{2}c(-1) +b=0$，即$a + b = \sqrt{2}c$。
四边形ACDE的周长为$2a + 2b + \sqrt{2}c =6\sqrt{2}$，把$a+b=\sqrt{2}c$代入得：$2×\sqrt{2}c + \sqrt{2}c =3\sqrt{2}c=6\sqrt{2}$，解得$c=2$。
因为△ABC是直角三角形，所以$a^2 +b^2 =c^2=4$，又$a+b=\sqrt{2}c=2\sqrt{2}$。
由完全平方公式：$(a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2$，代入得$(2\sqrt{2})^2 =4 +2ab$，即$8=4+2ab$，解得$ab=2$。
所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
(1)-4；(2)13或14；(3)1
【知识点】
配方法应用、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是配方法的综合应用题，融合代数变形、几何性质，需熟练运用配方法、非负数性质、等腰三角形三边关系等知识，逻辑连贯性要求较高，能有效考查学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.5
