练习
1.(真题·绍兴诸暨)综合与探究
数学活动课上,老师以“一个含$45°$角的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动,如图1,已知直线$m// n$,直角三角板$ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ BAC=∠ ABC=45°$。
(1)如图1,若$∠ 2=65°$,则$∠ 1=\_\_\_\_\_\_$。(直接写出答案)

(2)“启航”小组在图1的基础上继续展开探究:如图2,调整三角板的位置,当三角板$ABC$的直角顶点$C$在直线$n$上,直线$m$与$AB,AC$相交时,他们得出的结论是$∠ 1-∠ 2=135°$,你认为“启航”小组的结论是否正确,请说明理由。
(3)如图3,受到“启航”小组的启发,“睿智”小组提出的问题是:在图2的基础上,继续调整三角板的位置,当点$C$不在直线$n$上,直线$m$与$AC,BC$相交时,$∠ 1$与$∠ 2$有怎样的数量关系?请你用平行线的知识说明理由。

1.(1)因为直线m//n,所以∠1+∠ABC=∠2=65°,因为∠ABC=45°,所以∠1=20°,故答案为20°。
(2)正确,理由如下:如图1,过点B作BD//m,所以∠1+∠ABD=180°,所以∠ABD=180°−∠1,因为m//n,所以BD//n,所以∠CBD=∠2,因为∠ABC=45°,所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=45°,所以180°−∠1+∠2=45°,所以∠1−∠2=135°。
(3)∠1+∠2=90°,理由如下:如图2,过点C作EF//m,所以∠1=∠ACE,∠2=∠BCF,因为∠ACB=90°,所以∠ACE+∠BCF=180°−∠ACB=180°−90°=90°,所以∠1+∠2=90°。

【分析】
本题以平行线和含45°角的直角三角板为背景，核心是利用平行线的性质，当角度关系不直接时，通过作辅助线（过拐点作平行线）转化分散的角度，结合三角板的固定角度（∠ACB=90°，∠ABC=∠BAC=45°）推导∠1与∠2的数量关系，分三步解决三个小问。
【解析】
(1) 已知直线$m// n$，根据平行线内错角相等的性质，可得$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ ABC$。因为三角板中$∠ ABC=45°$，$∠ 2=65°$，所以$∠ 1 = ∠ 2 - ∠ ABC = 65° - 45° = 20°$。
(2) 结论正确，理由如下：过点$B$作$BD// m$，因为$m// n$，所以$BD// n$。根据平行线同旁内角互补，得$∠ 1 + ∠ ABD = 180°$，即$∠ ABD = 180° - ∠ 1$；又因为$BD// n$，所以$∠ CBD = ∠ 2$。结合三角板中$∠ ABC=45°$，得$∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD = 45°$，代入得$180° - ∠ 1 + ∠ 2 = 45°$，整理得$∠ 1 - ∠ 2 = 135°$，故结论正确。
(3) $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，理由如下：过点$C$作$EF// m$，因为$m// n$，所以$EF// n$。根据平行线内错角相等，得$∠ 1 = ∠ ACE$，$∠ 2 = ∠ BCF$。结合三角板中$∠ ACB=90°$，得$∠ ACE + ∠ BCF = 180° - ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$，因此$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$。
【答案】
(1)20°；(2)正确；(3)$∠ 1+∠ 2=90°$
【知识点】
平行线的性质、三角板角度计算、辅助线作法
【点评】
本题是平行线性质的综合应用，通过作辅助线转化角度是解题关键，考查学生的逻辑推理能力和对平行线性质的掌握，属于中档题。
【难度系数】
0.6