2.(真题·温州龙湾)阅读材料:善于思考的乐乐在解方程组$\begin{cases}3(m+5)-2(n+3)=-1,\\3(m+5)+2(n+3)=7\end{cases}$时,采用了一种“整体换元”的解法。把$m+5,n+3$看成一个整体,设$m+5=x,n+3=y$,则原方程组可化为$\begin{cases}3x-2y=-1,\\3x+2y=7,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}$即$\begin{cases}m+5=1,\\n+3=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-4,\\n=-1。\end{cases}$
(1)学以致用,请你模仿乐乐“整体换元”的方法,解方程组$\begin{cases}\dfrac{x+y}{3}+\dfrac{x-y}{5}=4,\\\dfrac{x+y}{3}-\dfrac{x-y}{5}=-2\end{cases}$
(2)拓展提升,已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x-b_1y=c_1,\\a_2x-b_2y=c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=3,\\y=4,\end{cases}$请直接写出关于$m,n$的方程组$\begin{cases}a_1(m+2)-b_1n=c_1,\\a_2(m+2)-b_2n=c_2\end{cases}$的解是________。
(3)请你用上述方法解方程组$\begin{cases}\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{x-y}{3},\\2(x+y)-3x+3y=25\end{cases}$。

2.(1)对于$\begin{cases}\dfrac{x+y}{3}+\dfrac{x-y}{5}=4,\\\dfrac{x+y}{3}-\dfrac{x-y}{5}=-2,\end{cases}$令$m=\dfrac{x+y}{3}$,$n=\dfrac{x-y}{5}$,则原方程组可化为$\begin{cases}m+n=4,\\m-n=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=3,\end{cases}$所以$\begin{cases}\dfrac{x+y}{3}=1,\\\dfrac{x-y}{5}=3,\end{cases}$即$\begin{cases}x+y=3,\\x-y=15,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=9,\\y=-6。\end{cases}$
(2)因为方程组$\begin{cases}a_1x-b_1y=c_1,\\a_2x-b_2y=c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3,\\y=4,\end{cases}$所以$\begin{cases}m+2=3,\\n=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=4,\end{cases}$故答案为$\begin{cases}m=1,\\n=4。\end{cases}$
(3)依题意,令$m=x+y$,$n=x-y$则原方程组为$\begin{cases}\dfrac{m}{2}=\dfrac{n}{3},\\2m-3n=25,\end{cases}$即$\begin{cases}3m-2n=0,①\\2m-3n=25,②\end{cases}$①×2−②×3得,−4n+9n=−75,解得n=−15,①×3−②×2得,9m−4m=−50,解得m=−10,所以$\begin{cases}x+y=-10,③\\x-y=-15,④\end{cases}$③+④得,2x=−25,解得$x=-\dfrac{25}{2}$,③−④得,2y=5,解得$y=\dfrac{5}{2}$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\dfrac{25}{2},\\y=\dfrac{5}{2}。\end{cases}$

【分析】
本题核心是运用“整体换元”的思想解二元一次方程组，将方程组中重复出现的复杂代数式设为新变量，把原方程组转化为简单的二元一次方程组求解，再通过回代得到原未知数的解。需准确识别可整体替换的部分，灵活应用换元法简化计算。
【解析】
(1) 令 $ m = \dfrac{x+y}{3} $，$ n = \dfrac{x-y}{5} $，原方程组化为：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ m - n = -2 \end{cases}$
两式相加得 $ 2m = 2 $，解得 $ m = 1 $；代入 $ m + n = 4 $ 得 $ n = 3 $。
因此 $\begin{cases} \dfrac{x+y}{3} = 1 \\ \dfrac{x-y}{5} = 3 \end{cases}$，整理得 $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 15 \end{cases}$，两式相加得 $ 2x = 18 $，解得 $ x = 9 $；两式相减得 $ 2y = -12 $，解得 $ y = -6 $。
(2) 已知方程组 $\begin{cases} a_1x - b_1y = c_1 \\ a_2x - b_2y = c_2 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$，对比待求方程组，得 $ m + 2 = 3 $，$ n = 4 $，解得 $ m = 1 $，$ n = 4 $。
(3) 令 $ m = x + y $，$ n = x - y $，原方程组化为：
$\begin{cases} \dfrac{m}{2} = \dfrac{n}{3} \\ 2m - 3n = 25 \end{cases}$，整理为 $\begin{cases} 3m - 2n = 0 ① \\ 2m - 3n = 25 ② \end{cases}$
①×2 - ②×3得 $ -4n + 9n = -75 $，解得 $ n = -15 $；代入①得 $ 3m - 2×(-15) = 0 $，解得 $ m = -10 $。
因此 $\begin{cases} x + y = -10 \\ x - y = -15 \end{cases}$，两式相加得 $ 2x = -25 $，解得 $ x = -\dfrac{25}{2} $；两式相减得 $ 2y = 5 $，解得 $ y = \dfrac{5}{2} $。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 9 \\ y = -6 \end{cases}$；
(2) $\begin{cases} m = 1 \\ n = 4 \end{cases}$；
(3) $\begin{cases} x = -\dfrac{25}{2} \\ y = \dfrac{5}{2} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法、整体换元思想
【点评】
本题通过三个小题考查整体换元解二元一次方程组的方法，核心是将复杂代数式整体替换简化计算，体现转化思想，是二元一次方程组的典型应用题型，需掌握换元技巧提升解题效率。
【难度系数】
0.6