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1. 若将点 $ A(3,-2) $ 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度得到点 $ B $，则点 $ B $ 的坐标为()
A.$(4,-6)$
B.$(4,2)$
C.$(2,-6)$
D.$(2,2)$
A.$(4,-6)$
B.$(4,2)$
C.$(2,-6)$
D.$(2,2)$
答案
A
解析
点 $ A(3, -2) $ 向右平移 1 个单位长度，横坐标增加 1，得到 $ (3+1, -2) = (4, -2) $。
再向下平移 4 个单位长度，纵坐标减少 4，得到 $ (4, -2-4) = (4, -6) $。
因此，点 $ B $ 的坐标为 $ (4, -6) $。
2. 如图所示，点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为$(0,-3)$，$(3,1)$. 若将线段 $ AB $ 平移至 $ A'B' $，点 $ A' $，$ B' $ 的坐标分别为$(m,1)$，$(1,n)$，则 $ m + n $ 的值为()
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
由点A(0,-3)平移到A'(m,1)，纵坐标变化为1 - (-3) = 4，即向上平移4个单位；由点B(3,1)平移到B'(1,n)，横坐标变化为1 - 3 = -2，即向左平移2个单位。所以线段AB先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到A'B'。则m = 0 - 2 = -2，n = 1 + 4 = 5，m + n = -2 + 5 = 3。
3. 如图所示，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移 1 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到点 $ A_1(1,1) $；把点 $ A_1 $ 向上平移 2 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 $ A_2(-1,3) $；把点 $ A_2 $ 向下平移 3 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度，得到点 $ A_3(-4,0) $；把点 $ A_3 $ 向下平移 4 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，得到点 $ A_4(0,-4) ··· ··· $ 按此做法进行下去，则点 $ A_{10} $ 的坐标为.
答案
步骤1：分析平移规律
每次平移距离为序号n，方向每4次一循环：
上下方向：上、上、下、下（循环）
左右方向：右、左、左、右（循环）
步骤2：推导各点坐标
$ A_1 $: 原点向上1、右1，坐标$(1,1)$
$ A_2 $: $ A_1 $向上2、左2，坐标$(-1,3)$
$ A_3 $: $ A_2 $向下3、左3，坐标$(-4,0)$
$ A_4 $: $ A_3 $向下4、右4，坐标$(0,-4)$
$ A_5 $: $ A_4 $向上5、右5，坐标$(5,1)$
$ A_6 $: $ A_5 $向上6、左6，坐标$(-1,7)$
$ A_7 $: $ A_6 $向下7、左7，坐标$(-8,0)$
$ A_8 $: $ A_7 $向下8、右8，坐标$(0,-8)$
$ A_9 $: $ A_8 $向上9、右9，坐标$(9,1)$
$ A_{10} $: $ A_9 $向上10、左10，坐标$(-1,11)$
结论
点$ A_{10} $的坐标为$(-1,11)$
$(-1,11)$
每次平移距离为序号n，方向每4次一循环：
上下方向：上、上、下、下（循环）
左右方向：右、左、左、右（循环）
步骤2：推导各点坐标
$ A_1 $: 原点向上1、右1，坐标$(1,1)$
$ A_2 $: $ A_1 $向上2、左2，坐标$(-1,3)$
$ A_3 $: $ A_2 $向下3、左3，坐标$(-4,0)$
$ A_4 $: $ A_3 $向下4、右4，坐标$(0,-4)$
$ A_5 $: $ A_4 $向上5、右5，坐标$(5,1)$
$ A_6 $: $ A_5 $向上6、左6，坐标$(-1,7)$
$ A_7 $: $ A_6 $向下7、左7，坐标$(-8,0)$
$ A_8 $: $ A_7 $向下8、右8，坐标$(0,-8)$
$ A_9 $: $ A_8 $向上9、右9，坐标$(9,1)$
$ A_{10} $: $ A_9 $向上10、左10，坐标$(-1,11)$
结论
点$ A_{10} $的坐标为$(-1,11)$
$(-1,11)$
4. 若点 $ P(m + 2,2m + 1) $ 向右平移 1 个单位长度后，正好落在 $ y $ 轴上，则 $ m = $.
答案
点$P(m + 2,2m + 1)$向右平移$1$个单位长度后，其横坐标增加$1$，纵坐标不变。
因此，平移后的点坐标为$(m + 3, 2m + 1)$。
由于平移后的点正好落在$y$轴上，根据$y$轴的性质，其横坐标必须为$0$。
因此，有：
$m + 3 = 0$，
解这个方程，得到：
$m = -3$，
故答案为：$-3$。
因此，平移后的点坐标为$(m + 3, 2m + 1)$。
由于平移后的点正好落在$y$轴上，根据$y$轴的性质，其横坐标必须为$0$。
因此，有：
$m + 3 = 0$，
解这个方程，得到：
$m = -3$，
故答案为：$-3$。
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形 $ ABC $ 的顶点都在网格点上.
(1)将三角形 $ ABC $ 向右平移 6 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到三角形 $ A_1B_1C_1 $. 请画出三角形 $ A_1B_1C_1 $，并写出点 $ C_1 $ 的坐标.
(2)求三角形 $ ABC $ 的面积.
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(1)将三角形 $ ABC $ 向右平移 6 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到三角形 $ A_1B_1C_1 $. 请画出三角形 $ A_1B_1C_1 $，并写出点 $ C_1 $ 的坐标.
(2)求三角形 $ ABC $ 的面积.
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答案
（1）如图所示，三角形$ A_1B_1C_1$即为所求；
点$ C_1$的坐标为（6,0）
（2）三角形ABC的面积=4×4-1/2×4×1-1/2×4×2-1/2×2×3=7
6. 提升题 如图①所示，在平面直角坐标系中，$ A(a,0) $，$ B(0,b) $，$ C(1,-3) $，其中 $ a $，$ b $ 满足关系式 $ \sqrt{a - 3} + (a + b - 7)^2 = 0 $. 平移 $ AC $ 使点 $ A $ 与点 $ B $ 重合，点 $ C $ 的对应点为点 $ D $.
(1)写出 $ A $，$ D $ 两点的坐标：$ A( )$$，$) $，$ D( )，$) $.
(2)如图①所示，过点 $ D $ 作 $ DE ⊥ y $ 轴于点 $ E $，猜想 $ ∠ CAG $ 与 $ ∠ BDE $ 的数量关系，并说明理由.
(3)如图②所示，过点 $ C $ 作 $ CF // x $ 轴交 $ y $ 轴于点 $ F $，$ Q $ 为 $ x $ 轴上点 $ A $ 左侧的一动点，连接 $ QC $，$ CM $ 平分 $ ∠ QCA $，$ CN $ 平分 $ ∠ FCA $. 当点 $ Q $ 运动时，$ \frac{∠ MCN}{∠ AQC} $ 的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值.
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(1)写出 $ A $，$ D $ 两点的坐标：$ A( )$$，$) $，$ D( )，$) $.
(2)如图①所示，过点 $ D $ 作 $ DE ⊥ y $ 轴于点 $ E $，猜想 $ ∠ CAG $ 与 $ ∠ BDE $ 的数量关系，并说明理由.
(3)如图②所示，过点 $ C $ 作 $ CF // x $ 轴交 $ y $ 轴于点 $ F $，$ Q $ 为 $ x $ 轴上点 $ A $ 左侧的一动点，连接 $ QC $，$ CM $ 平分 $ ∠ QCA $，$ CN $ 平分 $ ∠ FCA $. 当点 $ Q $ 运动时，$ \frac{∠ MCN}{∠ AQC} $ 的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值.
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答案
(1) 因为$\sqrt{a - 3} + (a + b - 7)^2 = 0$，且$\sqrt{a - 3} ≥ 0$，$(a + b - 7)^2 ≥ 0$，所以$a - 3 = 0$，$a + b - 7 = 0$，解得$a = 3$，$b = 4$，故$A(3,0)$。平移$AC$使$A$与$B(0,4)$重合，平移向量为$(0 - 3, 4 - 0) = (-3,4)$，$C(1,-3)$平移后得$D(1 - 3, -3 + 4) = (-2,1)$。答案：$A(3,0)$，$D(-2,1)$。
(2)
结论：∠ BDE+∠ CAG =180° 。
理由：如图，延长DE交CA的延长线于点T。
∵DE⊥y轴，∴DT//OG.
∴∠T+∠OAT=180°
∵BD//CT，∴∠D=∠T
∵∠CAG=∠OAT
∴∠BDE+∠CAG=180°
(3) 不变，值为$\frac{1}{2}$。理由：$CF // x$轴，$∠ FCA = ∠ CAQ$（内错角），设$∠ AQC = x$，$CF // AQ$，$∠ QCF = ∠ AQC = x$（内错角），$∠ QCA = ∠ QCF + ∠ FCA = x + ∠ FCA$。$CM$平分$∠ QCA$，$∠ MCA = \frac{1}{2}(x + ∠ FCA)$；$CN$平分$∠ FCA$，$∠ NCA = \frac{1}{2}∠ FCA$。$∠ MCN = ∠ MCA - ∠ NCA = \frac{x}{2}$，故$\frac{∠ MCN}{∠ AQC} = \frac{\frac{x}{2}}{x} = \frac{1}{2}$。
