1. 已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为$35°$,则该等腰三角形顶角的度数为（ ）
A. $70°$
B. $75°$
C. $20°$
D. $70°$或$20°$

A

2. 已知$△ ABC$是等腰三角形，且$∠ A = 40°$，则$△ ABC$的顶角度数是______．

$40^{\circ}$或$100^{\circ}$

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 40°,∠ BAC = 80°$,以点$A$为圆心,$AC$的长为半径作弧,交射线$BA$于点$D$,连接$CD$,则$∠ BCD$的度数是______．

$10^{\circ}$或$100^{\circ}$

4. 亮点原创·已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为7，则该等腰三角形的腰长是（ ）
A. 6
B. 7
C. 6或7
D. 5或6.5

C

5. 新素养 运算能力 若一个等腰三角形的三边长分别为$3x-2,4x-3,6-2x$，则该等腰三角形的周长为$\underline{\hspace{5cm}}$．

$8.5$或$9$

6. (2025·江苏无锡模拟)如图,在△ABC中,AC = BC,∠ACB = 120°,点D在线段AB上运动(点D不与A,B两点重合),连接CD,作∠CDE = 30°,DE交BC于点E.若△CDE是等腰三角形,则∠ADC的度数是________.

$60^{\circ}$或$105^{\circ}$

7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$O$在高$AE$上，连接$BO$并延长，交$AC$于点$D$，且$OA=OB$。
(1) 求证：$∠ BAC=2∠ ABD$；
(2) 若$△ BCD$是等腰三角形，求$∠ BAC$的度数。

​$(1)$​证明：∵​$AB = AC，$​​$AE$​是​$\triangle ABC$​的高∴​$AE\perp BC，$​即​$∠BAC = 2∠BAE=2∠CAE$​∵​$OA = OB，$​∴​$∠ABD = ∠BAE$​∴​$∠BAC = 2∠ABD$​​$(2)$​解：∵​$AB = AC，$​∴​$∠C = ∠ABC$​∵​$\triangle BCD$​是等腰三角形，且​$∠CBD<∠ABC = ∠C$​∴有​$BD = BC$​和​$BC = CD$​两种情况：​$①$​当​$BD = BC$​时，​$∠C = ∠BDC$​由​$(1)，$​得​$∠ABD = ∠BAE = ∠CAE$​又​$∠BAC=∠BAE + ∠CAE$​∴​$∠BDC = ∠ABD+∠BAC = 3∠ABD$​设​$∠ABD=α，$​则​$∠BAC = 2α，$​​$∠C = ∠BDC = 3α$​又​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C = 3α$​又​$∠BAC+∠ABC+∠C = 180°$​∴​$2α+3α+ 3α= 180°$​∴​$2α= 45°，$​即​$∠BAC = 45°$​​$②$​当​$BC = CD$​时，​$∠CBD = ∠BDC$​∴​$∠CBD = ∠BDC = 3∠ABD$​设​$∠ABD=β，$​则​$∠BAC = 2β，$​​$∠CBD=∠BDC = 3β$​又​$∠ABC = ∠ABD+∠CBD = 4β$​∴​$∠C = ∠ABC = 4β$​∵​$∠ABC+∠C+∠BAC = 180°$​∴​$4β+4β+ 2β= 180°$​∴​$2β= 36°，$​即​$∠BAC = 36°$​综上，​$∠BAC$​的度数为​$45°$​或​$36°$​

8. 已知等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成两部分，其中一部分比另一部分少3，则该等腰三角形的底边长为________．

$6$或$10$

9. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与边$AC$所在的直线相交所得锐角的度数为$50°$，求$∠ C$的度数。

解：如图①，若​$\triangle ABC$​是锐角三角形则​$∠ADE = 90°，$​​$∠AED = 50°$​∴​$∠A+∠AED = 90°，$​即​$∠A = 90°-∠AED = 40°$​又​$AB = AC，$​∴​$∠B = ∠C$​又​$∠A+∠B+∠C = 180°$​∴​$∠C=\frac 12(180°-∠A)=70°$​
如图②，若​$\triangle ABC$​是钝角三角形则​$∠AED = 90°，$​​$∠ADE = 50°$​又​$∠BAC=∠AED+∠ADE$​∴​$∠BAC = 140°$​又​$AB = AC，$​∴​$∠B = ∠C$​又​$∠B+∠C+∠BAC = 180°$​∴​$∠C=\frac 12(180°-∠BAC)=20°$​ 综上，​$∠C$​的度数为​$20°$​或​$70°$​

10. 若等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为$25°$,求这个等腰三角形的各个内角的度数.

解：设​$AB = AC，$​​$BD\perp AC$​于点​$D，$​分类讨论如下：​$①$​当高与底边的夹角为​$25°$​时，高一定在​$\triangle ABC$​的内部，如图①∵​$∠DBC = 25°，$​​$BD\perp AC，$​∴​$∠ADB = 90°$​又​$∠ADB=∠DBC+∠C$​∴​$∠C=∠ADB - ∠DBC = 65°$​又​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C = 65°$​又​$∠A+∠ABC+∠C = 180°$​∴​$∠A = 180°-∠ABC-∠C = 50°$​​$②$​当高与另一腰的夹角为​$25°，$​且高在​$\triangle ABC$​的内部时，如图②∵​$∠ABD = 25°，$​​$BD\perp AC，$​∴​$∠BDC = 90°$​又​$∠BDC=∠A+∠ABD$​∴​$∠A=∠BDC - ∠ABD = 65°$​∵​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C$​又​$∠A+∠ABC+∠C = 180°$​∴​$∠C=∠ABC=\frac 12(180°-∠A)=57.5°$​
​$③$​当高与另一腰的夹角为​$25°，$​且高在​$\triangle ABC$​的外部时，如图③∵​$∠ABD = 25°，$​​$BD\perp AC，$​∴​$∠BDC = 90°$​又​$∠BAC=∠BDC+∠ABD，$​∴​$∠BAC = 115°$​∵​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C$​又​$∠BAC+∠ABC+∠C = 180°$​∴​$∠ABC=∠C=\frac 12(180°-∠BAC)=32.5°。$​综上，这个等腰三角形的各个内角的度数分别为​$65°，$​​$65°，$​​$50°$​或​$65°，$​​$57.5°，$​​$57.5°$​或​$115°，$​​$32.5°，$​​$32.5°$​