登录
7.如图,将面积为$32\sqrt{2}$的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若$BE=\sqrt{2}$,则AP的长为（）
A.$\frac{16}{3}\sqrt{2}$
B.$16\sqrt{2}$
C.$\frac{32}{3}\sqrt{2}$
D.$\frac{24}{3}\sqrt{2}$
A.$\frac{16}{3}\sqrt{2}$
B.$16\sqrt{2}$
C.$\frac{32}{3}\sqrt{2}$
D.$\frac{24}{3}\sqrt{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用折叠的对称性得到BD垂直平分AP，再结合矩形的性质推导角的等量关系，证明相似三角形，借助相似三角形的边的比例关系和矩形面积求出矩形的边长，最后用面积法求出点A到BD的距离，进而得到AP的长度。第一步：由折叠性质得BD⊥AP，且AP被BD平分，因此只需求出A到BD的距离即可得到AP长；第二步：利用矩形直角、对边平行的性质推导角相等，证明△ABE∽△DAB，得到边长关系，结合矩形面积求出AB、AD的长度；第三步：用勾股定理求BD长，再通过△ABD的两种面积表达式求A到BD的距离，最终计算AP长。
【解析】
解：设$AB=a$，$AD=b$，
∵矩形$ABCD$面积为$32\sqrt{2}$，
∴$ab=32\sqrt{2}$ ①，
由折叠性质可知，点$A$与点$P$关于$BD$对称，因此$BD$垂直平分$AP$，即$BD⊥ AP$，设点$A$到$BD$的距离为$h$，则$AP=2h$。
∵矩形$ABCD$中，$∠ BAD=∠ ABE=90°$，$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ EAD$，
∵$BD⊥ AP$，$∠ BAD=90°$，
∴$∠ EAD+∠ ADB=90°$，$∠ ABD+∠ ADB=90°$，
∴$∠ EAD=∠ ABD$，即$∠ AEB=∠ ABD$，
∴$△ ABE ∽ △ DAB$（两角对应相等，三角形相似），
∴对应边成比例：$\frac{BE}{AB}=\frac{AB}{AD}$，即$AB^2=BE· AD$，
代入$BE=\sqrt{2}$得：$a^2=\sqrt{2}b$ ②，
将$b=\frac{32\sqrt{2}}{a}$代入②得：$a^2=\sqrt{2}×\frac{32\sqrt{2}}{a}$，
化简右侧得$\sqrt{2}×32\sqrt{2}=64$，因此$a^3=64$，解得$a=4$，
则$b=\frac{32\sqrt{2}}{4}=8\sqrt{2}$，即$AB=4$，$AD=8\sqrt{2}$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+(8\sqrt{2})^2}=\sqrt{144}=12$，
$△ ABD$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· h$，
代入数值得：$\frac{1}{2}×4×8\sqrt{2}=\frac{1}{2}×12× h$，
解得$h=\frac{8\sqrt{2}}{3}$，因此$AP=2h=\frac{16\sqrt{2}}{3}$。
【答案】A
【知识点】
折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了折叠变换、矩形的性质、相似三角形的应用和面积法求线段长度，解题的关键是通过角的等量关系推导相似三角形，建立矩形边长的数量关系，逐步求解目标线段长度。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的对称性得到BD垂直平分AP，再结合矩形的性质推导角的等量关系，证明相似三角形，借助相似三角形的边的比例关系和矩形面积求出矩形的边长，最后用面积法求出点A到BD的距离，进而得到AP的长度。第一步：由折叠性质得BD⊥AP，且AP被BD平分，因此只需求出A到BD的距离即可得到AP长；第二步：利用矩形直角、对边平行的性质推导角相等，证明△ABE∽△DAB，得到边长关系，结合矩形面积求出AB、AD的长度；第三步：用勾股定理求BD长，再通过△ABD的两种面积表达式求A到BD的距离，最终计算AP长。
【解析】
解：设$AB=a$，$AD=b$，
∵矩形$ABCD$面积为$32\sqrt{2}$，
∴$ab=32\sqrt{2}$ ①，
由折叠性质可知，点$A$与点$P$关于$BD$对称，因此$BD$垂直平分$AP$，即$BD⊥ AP$，设点$A$到$BD$的距离为$h$，则$AP=2h$。
∵矩形$ABCD$中，$∠ BAD=∠ ABE=90°$，$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ EAD$，
∵$BD⊥ AP$，$∠ BAD=90°$，
∴$∠ EAD+∠ ADB=90°$，$∠ ABD+∠ ADB=90°$，
∴$∠ EAD=∠ ABD$，即$∠ AEB=∠ ABD$，
∴$△ ABE ∽ △ DAB$（两角对应相等，三角形相似），
∴对应边成比例：$\frac{BE}{AB}=\frac{AB}{AD}$，即$AB^2=BE· AD$，
代入$BE=\sqrt{2}$得：$a^2=\sqrt{2}b$ ②，
将$b=\frac{32\sqrt{2}}{a}$代入②得：$a^2=\sqrt{2}×\frac{32\sqrt{2}}{a}$，
化简右侧得$\sqrt{2}×32\sqrt{2}=64$，因此$a^3=64$，解得$a=4$，
则$b=\frac{32\sqrt{2}}{4}=8\sqrt{2}$，即$AB=4$，$AD=8\sqrt{2}$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+(8\sqrt{2})^2}=\sqrt{144}=12$，
$△ ABD$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· h$，
代入数值得：$\frac{1}{2}×4×8\sqrt{2}=\frac{1}{2}×12× h$，
解得$h=\frac{8\sqrt{2}}{3}$，因此$AP=2h=\frac{16\sqrt{2}}{3}$。
【答案】A
【知识点】
折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了折叠变换、矩形的性质、相似三角形的应用和面积法求线段长度，解题的关键是通过角的等量关系推导相似三角形，建立矩形边长的数量关系，逐步求解目标线段长度。
【难度系数】
0.6
8.如图，A，B是双曲线$y=\frac{k}{x}$上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C.若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为()
A.$\frac{3}{4}$
B.2
C.4
D.8
A.$\frac{3}{4}$
B.2
C.4
D.8
答案
D
解析
【分析】
要求k的值，可结合反比例函数k的几何意义求解：过双曲线上的点向x轴作垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先过点B作BE⊥x轴于E，由AC、BE均垂直x轴可得DC//BE，进而推出$△ ODC ∽ △ OBE$；结合D为OB中点，可得两个三角形的相似比为$1:2$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可求出$△ OBE$的面积；最后利用反比例函数k的几何意义即可求出k的值。
【解析】
过点B作$BE ⊥ x$轴，垂足为E。
$\because AC ⊥ x$轴，$BE ⊥ x$轴，
$\therefore DC // BE$，
$\therefore △ ODC ∽ △ OBE$。
$\because$ D为OB的中点，
$\therefore \frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 相似三角形的面积比$\frac{S_{△ ODC}}{S_{△ OBE}}=(\frac{OD}{OB})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
已知$S_{△ ODC}=1$，代入得$\frac{1}{S_{△ OBE}}=\frac{1}{4}$，解得$S_{△ OBE}=4$。
$\because$ 点B在第一象限的双曲线$y=\frac{k}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}k$（$k＞0$），
$\therefore \frac{1}{2}k=4$，解得$k=8$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数与相似三角形的综合基础题，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，结合相似三角形的面积比性质和反比例函数的几何意义求解，是常考的典型题型。
【难度系数】
0.7
要求k的值，可结合反比例函数k的几何意义求解：过双曲线上的点向x轴作垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先过点B作BE⊥x轴于E，由AC、BE均垂直x轴可得DC//BE，进而推出$△ ODC ∽ △ OBE$；结合D为OB中点，可得两个三角形的相似比为$1:2$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可求出$△ OBE$的面积；最后利用反比例函数k的几何意义即可求出k的值。
【解析】
过点B作$BE ⊥ x$轴，垂足为E。
$\because AC ⊥ x$轴，$BE ⊥ x$轴，
$\therefore DC // BE$，
$\therefore △ ODC ∽ △ OBE$。
$\because$ D为OB的中点，
$\therefore \frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 相似三角形的面积比$\frac{S_{△ ODC}}{S_{△ OBE}}=(\frac{OD}{OB})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
已知$S_{△ ODC}=1$，代入得$\frac{1}{S_{△ OBE}}=\frac{1}{4}$，解得$S_{△ OBE}=4$。
$\because$ 点B在第一象限的双曲线$y=\frac{k}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}k$（$k＞0$），
$\therefore \frac{1}{2}k=4$，解得$k=8$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数与相似三角形的综合基础题，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，结合相似三角形的面积比性质和反比例函数的几何意义求解，是常考的典型题型。
【难度系数】
0.7
9.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，△DCE的面积与△DCB的面积比为1：3，则△DCE的面积与△BEA的面积比为（）
A.1：3
B.1：4
C.1：5
D.1：9
A.1：3
B.1：4
C.1：5
D.1：9
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用同高三角形的面积比等于对应底边长的比，由已知的△DCE与△DCB的面积比推出DE与EB的比值；再根据AB//CD判定△DCE与△BAE相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△DCE和△BCE共高（高为点C到直线BD的距离）
∴二者的面积比等于底边长的比，即$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ BCE}}=\frac{DE}{EB}$
已知$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ DCB}}=\frac{1}{3}$，且$S_{△ DCB}=S_{△ DCE}+S_{△ BCE}$
∴$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ BCE}}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}$
∵AB//CD
∴∠CDE=∠ABE，∠DCE=∠BAE（两直线平行，内错角相等）
∴△DCE∽△BAE（两角分别相等的两个三角形相似）
相似比$k=\frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ BEA}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
即△DCE与△BEA的面积比为1:4。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；同高三角形面积比；平行线的性质
【点评】
本题是几何比例计算的常见题型，解题的核心是先通过面积比转化得到线段的比例关系，再结合相似三角形的性质求解，有助于锻炼学生的逻辑推导和图形分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用同高三角形的面积比等于对应底边长的比，由已知的△DCE与△DCB的面积比推出DE与EB的比值；再根据AB//CD判定△DCE与△BAE相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△DCE和△BCE共高（高为点C到直线BD的距离）
∴二者的面积比等于底边长的比，即$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ BCE}}=\frac{DE}{EB}$
已知$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ DCB}}=\frac{1}{3}$，且$S_{△ DCB}=S_{△ DCE}+S_{△ BCE}$
∴$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ BCE}}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}$
∵AB//CD
∴∠CDE=∠ABE，∠DCE=∠BAE（两直线平行，内错角相等）
∴△DCE∽△BAE（两角分别相等的两个三角形相似）
相似比$k=\frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ BEA}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
即△DCE与△BEA的面积比为1:4。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；同高三角形面积比；平行线的性质
【点评】
本题是几何比例计算的常见题型，解题的核心是先通过面积比转化得到线段的比例关系，再结合相似三角形的性质求解，有助于锻炼学生的逻辑推导和图形分析能力。
【难度系数】
0.6
10.如图,在$△ ABC$中,D,E分别是边AB,BC上的点,且$DE // AC$.若$S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=1:3$,求$S_{△ DOE}:S_{△ AOC}$的值.
答案
解：
∵ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=1:3$，且$△ BDE$与$△ CDE$同高（点D到BC的距离相等），
∴ $BE:EC = 1:3$，
∴ $BE:BC = 1:4$。
∵ $DE// AC$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$，
∴ $\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4}$。
又∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE = ∠ OAC$，$∠ OED = ∠ OCA$，
∴ $△ DOE ∽ △ AOC$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$S_{△ DOE}:S_{△ AOC} = (\frac{DE}{AC})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$。
答：$S_{△ DOE}:S_{△ AOC}$的值为$1:16$。
∵ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=1:3$，且$△ BDE$与$△ CDE$同高（点D到BC的距离相等），
∴ $BE:EC = 1:3$，
∴ $BE:BC = 1:4$。
∵ $DE// AC$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$，
∴ $\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4}$。
又∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE = ∠ OAC$，$∠ OED = ∠ OCA$，
∴ $△ DOE ∽ △ AOC$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$S_{△ DOE}:S_{△ AOC} = (\frac{DE}{AC})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$。
答：$S_{△ DOE}:S_{△ AOC}$的值为$1:16$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件中△BDE和△CDE的面积比，这两个三角形有公共的高（点D到BC的距离），因此面积比等于底边长的比，可先求出BE与EC的比，进而得到BE与BC的比；再结合DE//AC的条件，可判定△BDE∽△BAC，得到DE与AC的相似比；最后由DE//AC可判定△DOE∽△AOC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出所求的面积比。
【解析】
∵ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=1:3$，且$△ BDE$与$△ CDE$同高（点D到BC的距离相等），
∴ $BE:EC = 1:3$，
∴ $BE:BC = 1:4$。
∵ $DE// AC$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$，
∴ $\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4}$。
又
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE = ∠ OAC$，$∠ OED = ∠ OCA$，
∴ $△ DOE ∽ △ AOC$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$S_{△ DOE}:S_{△ AOC} = (\frac{DE}{AC})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$。
【答案】
$1:16$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形面积与底的关系
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是先利用同高三角形的面积比得到线段比例关系，再结合平行线判定相似三角形，最终利用相似三角形的面积比性质求解，有助于锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件中△BDE和△CDE的面积比，这两个三角形有公共的高（点D到BC的距离），因此面积比等于底边长的比，可先求出BE与EC的比，进而得到BE与BC的比；再结合DE//AC的条件，可判定△BDE∽△BAC，得到DE与AC的相似比；最后由DE//AC可判定△DOE∽△AOC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出所求的面积比。
【解析】
∵ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=1:3$，且$△ BDE$与$△ CDE$同高（点D到BC的距离相等），
∴ $BE:EC = 1:3$，
∴ $BE:BC = 1:4$。
∵ $DE// AC$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$，
∴ $\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4}$。
又
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE = ∠ OAC$，$∠ OED = ∠ OCA$，
∴ $△ DOE ∽ △ AOC$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$S_{△ DOE}:S_{△ AOC} = (\frac{DE}{AC})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$。
【答案】
$1:16$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形面积与底的关系
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是先利用同高三角形的面积比得到线段比例关系，再结合平行线判定相似三角形，最终利用相似三角形的面积比性质求解，有助于锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
11. 矩形ABCD中，AB = 30，BC = 20，矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，且相似比为1：2，试求矩形A'B'C'D'的周长和面积.
答案
解：
矩形ABCD的周长为：
$C_{矩形ABCD}=2×(AB+BC)=2×(30+20)=100$
矩形ABCD的面积为：
$S_{矩形ABCD}=AB· BC=30×20=600$
∵ 矩形ABCD∽矩形$A'B'C'D'$，相似比为$1:2$，
根据相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，
∴ $\frac{C_{矩形ABCD}}{C_{矩形A'B'C'D'}}=\frac{1}{2}$，
代入得$C_{矩形A'B'C'D'}=2×100=200$。
又∵ 相似多边形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{矩形ABCD}}{S_{矩形A'B'C'D'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
代入得$S_{矩形A'B'C'D'}=4×600=2400$。
答：矩形$A'B'C'D'$的周长为200，面积为2400。
矩形ABCD的周长为：
$C_{矩形ABCD}=2×(AB+BC)=2×(30+20)=100$
矩形ABCD的面积为：
$S_{矩形ABCD}=AB· BC=30×20=600$
∵ 矩形ABCD∽矩形$A'B'C'D'$，相似比为$1:2$，
根据相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，
∴ $\frac{C_{矩形ABCD}}{C_{矩形A'B'C'D'}}=\frac{1}{2}$，
代入得$C_{矩形A'B'C'D'}=2×100=200$。
又∵ 相似多边形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{矩形ABCD}}{S_{矩形A'B'C'D'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
代入得$S_{矩形A'B'C'D'}=4×600=2400$。
答：矩形$A'B'C'D'$的周长为200，面积为2400。
解析
【分析】
解题思路如下：首先先计算原矩形ABCD的周长和面积，再结合相似多边形的性质求解矩形A'B'C'D'的周长和面积。已知两个矩形相似比为1:2，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可知矩形A'B'C'D'的周长是原矩形的2倍，面积是原矩形的4倍，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
首先计算矩形ABCD的周长：
$C_{矩形ABCD}=2×(AB+BC)=2×(30+20)=100$
再计算矩形ABCD的面积：
$S_{矩形ABCD}=AB· BC=30×20=600$
∵ 矩形ABCD∽矩形$A'B'C'D'$，相似比为$1:2$，
根据相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，
∴ $\frac{C_{矩形ABCD}}{C_{矩形A'B'C'D'}}=\frac{1}{2}$，
代入得$C_{矩形A'B'C'D'}=2×100=200$。
又
∵ 相似多边形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{矩形ABCD}}{S_{矩形A'B'C'D'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
代入得$S_{矩形A'B'C'D'}=4×600=2400$。
【答案】
矩形$A'B'C'D'$的周长为200，面积为2400。
【知识点】
1.相似多边形周长性质
2.相似多边形面积性质
3.矩形周长与面积计算
【点评】
本题为基础应用题，核心考查相似多边形性质的运用，解题关键是准确牢记相似多边形周长比、面积比与相似比的对应关系，先求出原矩形的周长、面积后按比例换算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先先计算原矩形ABCD的周长和面积，再结合相似多边形的性质求解矩形A'B'C'D'的周长和面积。已知两个矩形相似比为1:2，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可知矩形A'B'C'D'的周长是原矩形的2倍，面积是原矩形的4倍，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
首先计算矩形ABCD的周长：
$C_{矩形ABCD}=2×(AB+BC)=2×(30+20)=100$
再计算矩形ABCD的面积：
$S_{矩形ABCD}=AB· BC=30×20=600$
∵ 矩形ABCD∽矩形$A'B'C'D'$，相似比为$1:2$，
根据相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，
∴ $\frac{C_{矩形ABCD}}{C_{矩形A'B'C'D'}}=\frac{1}{2}$，
代入得$C_{矩形A'B'C'D'}=2×100=200$。
又
∵ 相似多边形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{矩形ABCD}}{S_{矩形A'B'C'D'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
代入得$S_{矩形A'B'C'D'}=4×600=2400$。
【答案】
矩形$A'B'C'D'$的周长为200，面积为2400。
【知识点】
1.相似多边形周长性质
2.相似多边形面积性质
3.矩形周长与面积计算
【点评】
本题为基础应用题，核心考查相似多边形性质的运用，解题关键是准确牢记相似多边形周长比、面积比与相似比的对应关系，先求出原矩形的周长、面积后按比例换算即可。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE:EB=1:2$,且$S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$.
(1)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长的比;
(2)求$S_{△ CDF}$.
(1)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长的比;
(2)求$S_{△ CDF}$.
答案
解：
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，
∴ △AEF∽△CDF。
∵ AE:EB=1:2，
∴ AE:AB=1:(1+2)=1:3，
∴ AE:CD=1:3。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ △AEF与△CDF的周长比为1:3。
(2) ∵ △AEF∽△CDF，相似比为1:3，
∴ $\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵ $S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ CDF}=6×9=54\ \mathrm{cm}^2$。
答：(1) △AEF与△CDF的周长比为1:3；(2) $S_{△ CDF}$为$54\ \mathrm{cm}^2$。
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，
∴ △AEF∽△CDF。
∵ AE:EB=1:2，
∴ AE:AB=1:(1+2)=1:3，
∴ AE:CD=1:3。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ △AEF与△CDF的周长比为1:3。
(2) ∵ △AEF∽△CDF，相似比为1:3，
∴ $\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵ $S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ CDF}=6×9=54\ \mathrm{cm}^2$。
答：(1) △AEF与△CDF的周长比为1:3；(2) $S_{△ CDF}$为$54\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①求解周长比：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，证明△AEF与△CDF相似，再根据已知线段比例求出两个三角形的相似比，结合相似三角形周长比等于相似比的性质即可得到结果；②求解△CDF的面积：根据相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知的△AEF的面积，代入计算即可求出△CDF的面积。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，
∴ △AEF∽△CDF。
∵ AE:EB=1:2，
∴ AE:AB=1:(1+2)=1:3，
∴ AE:CD=1:3。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ △AEF与△CDF的周长比为1:3。
(2)
∵ △AEF∽△CDF，相似比为1:3，
∴ $\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵ $S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ CDF}=6×9=54\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) △AEF与△CDF的周长比为$\boxed{1:3}$；
(2) $S_{△ CDF}$为$\boxed{54\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似章节的基础常考题，解题关键是先结合平行四边形的性质判定三角形相似、求出相似比，再利用相似三角形周长、面积与相似比的关系求解，难度较低，核心是对相似三角形基本性质的熟练运用。
【难度系数】
0.75
解题思路可分为两步：①求解周长比：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，证明△AEF与△CDF相似，再根据已知线段比例求出两个三角形的相似比，结合相似三角形周长比等于相似比的性质即可得到结果；②求解△CDF的面积：根据相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知的△AEF的面积，代入计算即可求出△CDF的面积。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，
∴ △AEF∽△CDF。
∵ AE:EB=1:2，
∴ AE:AB=1:(1+2)=1:3，
∴ AE:CD=1:3。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ △AEF与△CDF的周长比为1:3。
(2)
∵ △AEF∽△CDF，相似比为1:3，
∴ $\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵ $S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ CDF}=6×9=54\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) △AEF与△CDF的周长比为$\boxed{1:3}$；
(2) $S_{△ CDF}$为$\boxed{54\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似章节的基础常考题，解题关键是先结合平行四边形的性质判定三角形相似、求出相似比，再利用相似三角形周长、面积与相似比的关系求解，难度较低，核心是对相似三角形基本性质的熟练运用。
【难度系数】
0.75
13.如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F，已知DE=5，AB=8。
(1)求证：$△ ABF ∽ △ FCE$；
(2)求$\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ FCE}}$。
(1)求证：$△ ABF ∽ △ FCE$；
(2)求$\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ FCE}}$。
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
由折叠的性质可得：$△ ADE ≌ △ AFE$，
∴ $∠ AFE=∠ D=90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ EFC = 180° - ∠ AFE = 90°$，
又∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ AFB + ∠ BAF = 90°$，
∴ $∠ BAF = ∠ EFC$，
∴ $△ ABF ∽ △ FCE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
由折叠性质得：$EF=DE=5$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD=AB=8$，
∴ $EC = CD - DE = 8 - 5 = 3$，
在$\mathrm{Rt}△ FCE$中，由勾股定理得：
$FC = \sqrt{EF^2 - EC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
设$BF = x$，由折叠知$AF=AD$，又矩形中$AD=BC$，
∴ $AF=BC=BF + FC = x + 4$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BF^2 = AF^2$，即 $8^2 + x^2 = (x + 4)^2$，
解得：$x=6$，即$BF=6$。
∵ $△ ABF ∽ △ FCE$，相似比$k=\frac{AB}{FC}=\frac{8}{4}=2$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ FCE}} = k^2 = 4$。
最终结论：$\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ FCE}}=4$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
由折叠的性质可得：$△ ADE ≌ △ AFE$，
∴ $∠ AFE=∠ D=90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ EFC = 180° - ∠ AFE = 90°$，
又∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ AFB + ∠ BAF = 90°$，
∴ $∠ BAF = ∠ EFC$，
∴ $△ ABF ∽ △ FCE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
由折叠性质得：$EF=DE=5$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD=AB=8$，
∴ $EC = CD - DE = 8 - 5 = 3$，
在$\mathrm{Rt}△ FCE$中，由勾股定理得：
$FC = \sqrt{EF^2 - EC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
设$BF = x$，由折叠知$AF=AD$，又矩形中$AD=BC$，
∴ $AF=BC=BF + FC = x + 4$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BF^2 = AF^2$，即 $8^2 + x^2 = (x + 4)^2$，
解得：$x=6$，即$BF=6$。
∵ $△ ABF ∽ △ FCE$，相似比$k=\frac{AB}{FC}=\frac{8}{4}=2$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ FCE}} = k^2 = 4$。
最终结论：$\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ FCE}}=4$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABF∽△FCE，可采用两角分别相等的相似判定定理。首先利用矩形的性质得到∠B=∠C=90°，再结合折叠的性质得∠AFE=∠D=90°，通过角度互余关系推导得到∠BAF=∠EFC，即可完成相似证明。
(2) 已知两个三角形相似，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此只需计算出一组对应边的比值即可。首先由折叠性质得EF=DE，结合矩形对边相等求出EC，用勾股定理计算出FC的长度；再设BF为x，利用折叠性质得AF=AD=BC=x+4，在Rt△ABF中利用勾股定理列方程求出BF，最后计算相似比，平方后得到两个三角形的面积比。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可得：△ADE≌△AFE，
∴ ∠AFE=∠D=90°，
∴ ∠AFB + ∠EFC = 180° - ∠AFE = 90°，
又
∵ 在Rt△ABF中，∠AFB + ∠BAF = 90°，
∴ ∠BAF = ∠EFC，
∴ △ABF ∽ △FCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由折叠性质得：EF=DE=5，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=8，
∴ EC = CD - DE = 8 - 5 = 3，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：
$FC = \sqrt{EF^2 - EC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
设BF = x，由折叠知AF=AD，又矩形中AD=BC，
∴ AF=BC=BF + FC = x + 4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AB^2 + BF^2 = AF^2$，即 $8^2 + x^2 = (x + 4)^2$，
解得：x=6，即BF=6。
∵ △ABF ∽ △FCE，相似比$k=\frac{AB}{FC}=\frac{8}{4}=2$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ FCE}} = k^2 = 4$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将折叠变换与矩形、相似三角形的知识结合考察，解题的关键是灵活运用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理求解线段长度，熟练掌握相似三角形的判定定理和面积比与相似比的关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABF∽△FCE，可采用两角分别相等的相似判定定理。首先利用矩形的性质得到∠B=∠C=90°，再结合折叠的性质得∠AFE=∠D=90°，通过角度互余关系推导得到∠BAF=∠EFC，即可完成相似证明。
(2) 已知两个三角形相似，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此只需计算出一组对应边的比值即可。首先由折叠性质得EF=DE，结合矩形对边相等求出EC，用勾股定理计算出FC的长度；再设BF为x，利用折叠性质得AF=AD=BC=x+4，在Rt△ABF中利用勾股定理列方程求出BF，最后计算相似比，平方后得到两个三角形的面积比。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可得：△ADE≌△AFE，
∴ ∠AFE=∠D=90°，
∴ ∠AFB + ∠EFC = 180° - ∠AFE = 90°，
又
∵ 在Rt△ABF中，∠AFB + ∠BAF = 90°，
∴ ∠BAF = ∠EFC，
∴ △ABF ∽ △FCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由折叠性质得：EF=DE=5，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=8，
∴ EC = CD - DE = 8 - 5 = 3，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：
$FC = \sqrt{EF^2 - EC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
设BF = x，由折叠知AF=AD，又矩形中AD=BC，
∴ AF=BC=BF + FC = x + 4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AB^2 + BF^2 = AF^2$，即 $8^2 + x^2 = (x + 4)^2$，
解得：x=6，即BF=6。
∵ △ABF ∽ △FCE，相似比$k=\frac{AB}{FC}=\frac{8}{4}=2$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ FCE}} = k^2 = 4$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将折叠变换与矩形、相似三角形的知识结合考察，解题的关键是灵活运用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理求解线段长度，熟练掌握相似三角形的判定定理和面积比与相似比的关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
