例1 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,cosA=(用三角形的边的比来表示).

【思路导析】$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}$.
【请你解答】.

$\boldsymbol{\frac{AC}{AB}}$

【分析】
要解答本题，首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该锐角的邻边与斜边的比值。解题时先明确已知条件：△ABC是直角三角形，∠C为直角，接下来找准∠A的邻边和对应的斜边，最后根据定义写出比值即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据锐角余弦的定义可得$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}$，
其中∠A的邻边为AC，斜边为AB，
因此$\cos A=\frac{AC}{AB}$。
【答案】
$\frac{AC}{AB}$
【知识点】
余弦的定义；直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对锐角余弦定义的理解掌握，解题的核心是准确区分直角三角形中锐角的对边、邻边和斜边，牢记余弦为邻边与斜边的比值就能快速解题。
【难度系数】
0.9

例2 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=2$，则$\tan A=$。
【思路导析】$\tan A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}$。
【请你解答】。

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because$ $∠ A$的对边为$BC$，$∠ A$的邻边为$AC$，
$\therefore \tan A = \dfrac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \dfrac{BC}{AC}$，
$\because AC=3$，$BC=2$，
$\therefore \tan A = \dfrac{2}{3}$。

【分析】
本题是直角三角形中求锐角正切值的问题，解题思路如下：首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；接着结合直角∠C的位置，确定∠A的对边为BC，邻边为AC；最后代入已知的边长计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because$ $∠ A$的对边为$BC$，$∠ A$的邻边为$AC$，
$\therefore \tan A = \dfrac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \dfrac{BC}{AC}$，
$\because AC=3$，$BC=2$，
$\therefore \tan A = \dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
正切的定义；直角三角形边角计算
【点评】
本题为基础题型，重点考查对正切定义的掌握与应用，解题的关键是准确区分指定锐角的对边和邻边，避免混淆二者的顺序即可正确解答。
【难度系数】
0.9

例3 如图，在
Rt△ABC中，∠ACB=90°，
BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）

A.$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\tan A=\frac{1}{2}$
C.$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan B=\sqrt{3}$
【思路导析】由锐角三角函数的定义解答.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

D

【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的判断类题目，解题思路清晰：首先利用勾股定理求出直角三角形未知的直角边AC的长度，再根据正弦、余弦、正切的定义，分别计算每个选项对应的三角函数值，逐一对比排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
逐一分析选项：
A选项：$\sin A$为$∠ A$的对边与斜边的比，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，A错误；
B选项：$\tan A$为$∠ A$的对边与邻边的比，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\frac{1}{2}$，B错误；
C选项：$\cos B$为$∠ B$的邻边与斜边的比，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，C错误；
D选项：$\tan B$为$∠ B$的对边与邻边的比，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的基础计算，先求出未知边长是解题前提，准确记忆各类三角函数对应的边的比例关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7

例4 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\cos B=\frac{1}{3}$.
(1)求$\cos A$和$\tan A$的值；
(2)若$AB=5$，求$BC$和$AC$的长.
【探究点拨】用未知数表示三条边长来求三角函数值.
【规范解答】(1)由$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，
设$BC=x$，$AB=3x$.
$\therefore AC=\sqrt{(3x)^2 -x^2}=2\sqrt{2}x$.
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}x}{3x}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{2\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(2)$AB=3x=5$，$x=\frac{5}{3}$，即$BC=\frac{5}{3}$.
$AC=2\sqrt{2}×\frac{5}{3}=\frac{10\sqrt{2}}{3}$.

解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由余弦的定义得$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，
设$BC=x$，则$AB=3x$。
根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
$\therefore \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}x}{3x}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{2\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
(2) 已知$AB=5$，由$AB=3x=5$，解得$x=\frac{5}{3}$，
$\therefore BC=x=\frac{5}{3}$，
$AC=2\sqrt{2}x=2\sqrt{2}×\frac{5}{3}=\frac{10\sqrt{2}}{3}$。

【分析】
已知直角三角形中一个锐角的余弦值，首先可根据余弦的定义得到对应两条边的比值，通过设参数的方式表示这两条边的长度，再利用勾股定理求出第三条边的参数表达式；求其余三角函数值时，根据三角函数的定义找到对应边的比值，约去参数即可得到结果。第二问给出斜边的实际长度，先结合参数表达式求出参数的值，再代入其余边的参数表达式就能算出实际边长。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由余弦的定义得$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，
设$BC=x$，则$AB=3x$。
根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
$\therefore \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}x}{3x}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{2\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
(2) 已知$AB=5$，由$AB=3x=5$，解得$x=\frac{5}{3}$，
$\therefore BC=x=\frac{5}{3}$，
$AC=2\sqrt{2}x=2\sqrt{2}×\frac{5}{3}=\frac{10\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) $\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\tan A=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
(2) $BC=\frac{5}{3}$，$AC=\frac{10\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查对锐角三角函数概念的理解与运用，设参数表示边长求比值是解决此类问题的常用技巧，熟练掌握各三角函数对应的边的比例关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

1. 已知在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$AB = 4BC$，求 $\cos B$ 及 $\tan B$ 的值.

解：
设 $ BC = k $（$ k＞0 $），则 $ AB = 4k $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(4k)^2 - k^2} = \sqrt{15k^2} = \sqrt{15}k$
由余弦的定义：
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}$
由正切的定义：
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{15}k}{k} = \sqrt{15}$

【分析】
本题是直角三角形中求锐角三角函数值的问题，解题思路如下：第一步，已知AB与BC的倍数关系，可通过设参数的方法表示两条边的长度，简化计算；第二步，利用直角三角形的勾股定理求出第三条边AC的长度；第三步，根据余弦、正切的定义，分别找到∠B的邻边、对边和斜边，代入对应比值公式计算即可，参数在计算比值时会约去，不影响最终结果。
【解析】
设 $ BC = k $（$ k＞0 $），则 $ AB = 4k $。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$ ∠ C = 90° $，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(4k)^2 - k^2} = \sqrt{16k^2 - k^2} = \sqrt{15k^2} = \sqrt{15}k$
根据余弦的定义，$\cos B$是∠B的邻边与斜边的比值：
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}$
根据正切的定义，$\tan B$是∠B的对边与邻边的比值：
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{15}k}{k} = \sqrt{15}$
【答案】
$\cos B=\frac{1}{4}$，$\tan B=\sqrt{15}$
【知识点】
1.勾股定理 2.余弦的定义 3.正切的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，解题的核心是合理引入参数表示各边长度，再结合勾股定理和三角函数的定义求解，计算过程中参数会自动消去，不会影响最终的比值结果。
【难度系数】
0.85