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2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=4$,$BC=3$,点$D$在$BC$上,$DE⊥ AB$,垂足为$E$,求$\tan∠ BDE$的值.
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
$\because DE⊥ AB$，
$\therefore ∠ DEB=90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ BDE=90°$。
又$\because ∠ A + ∠ B=90°$，
$\therefore ∠ BDE=∠ A$。
$\therefore \tan∠ BDE=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
$\because DE⊥ AB$，
$\therefore ∠ DEB=90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ BDE=90°$。
又$\because ∠ A + ∠ B=90°$，
$\therefore ∠ BDE=∠ A$。
$\therefore \tan∠ BDE=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$
解析
【分析】
要求$\tan∠BDE$的值，若直接在$Rt△BDE$中计算，缺少对应边长的条件，因此考虑通过角度转化求解。观察图形可知$∠B$是$Rt△ABC$和$Rt△BDE$的公共角，根据“同角的余角相等”可推出$∠BDE=∠A$，因此只需计算$\tan A$的值即可得到答案，计算$\tan A$需要先利用勾股定理求出$AC$的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
$\because DE⊥ AB$，
$\therefore ∠ DEB=90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ BDE=90°$。
又$\because ∠ A + ∠ B=90°$，
$\therefore ∠ BDE=∠ A$。
$\therefore \tan∠ BDE=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$
【答案】
$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
勾股定理，同角的余角相等，正切的定义
【点评】
本题通过角度转化将未知角的正切值求解转化为已知直角三角形内角的正切值求解，避免了繁琐的边长计算，是求解三角函数值的常用方法，解题的关键是准确找出相等的角。
【难度系数】
0.7
要求$\tan∠BDE$的值，若直接在$Rt△BDE$中计算，缺少对应边长的条件，因此考虑通过角度转化求解。观察图形可知$∠B$是$Rt△ABC$和$Rt△BDE$的公共角，根据“同角的余角相等”可推出$∠BDE=∠A$，因此只需计算$\tan A$的值即可得到答案，计算$\tan A$需要先利用勾股定理求出$AC$的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
$\because DE⊥ AB$，
$\therefore ∠ DEB=90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ BDE=90°$。
又$\because ∠ A + ∠ B=90°$，
$\therefore ∠ BDE=∠ A$。
$\therefore \tan∠ BDE=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$
【答案】
$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
勾股定理，同角的余角相等，正切的定义
【点评】
本题通过角度转化将未知角的正切值求解转化为已知直角三角形内角的正切值求解，避免了繁琐的边长计算，是求解三角函数值的常用方法，解题的关键是准确找出相等的角。
【难度系数】
0.7
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AC=2$，则$\cos B=$。
答案
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
本题要求直角三角形中锐角B的余弦值，解题思路可按以下步骤展开：首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边长度与斜边长度的比值；其次我们已知两条直角边的长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；最后找到∠B的邻边，代入余弦定义计算，注意结果要化为最简二次根式。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由锐角余弦的定义可知，$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理、锐角余弦的定义、二次根式化简
【点评】
本题是基础的锐角三角函数计算题，核心是掌握直角三角形中余弦的定义，结合勾股定理求出未知边长即可求解，计算过程中注意要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题要求直角三角形中锐角B的余弦值，解题思路可按以下步骤展开：首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边长度与斜边长度的比值；其次我们已知两条直角边的长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；最后找到∠B的邻边，代入余弦定义计算，注意结果要化为最简二次根式。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由锐角余弦的定义可知，$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理、锐角余弦的定义、二次根式化简
【点评】
本题是基础的锐角三角函数计算题，核心是掌握直角三角形中余弦的定义，结合勾股定理求出未知边长即可求解，计算过程中注意要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=12$，$AC=16$，$\tan A=$，$\tan B=$.
答案
$\frac{3}{4}$；$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
本题考查直角三角形中锐角正切值的计算，解题思路如下：首先回忆正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；接着分别确定∠A、∠B的对边和邻边，已知∠C=90°，BC=12、AC=16，∠A的对边为BC、邻边为AC，∠B的对边为AC、邻边为BC；最后将对应边长代入正切公式计算，约分得到最简结果即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的对边}}{\mathrm{角}α\mathrm{的邻边}}$。
1. 计算$\tan A$：
∠A的对边是BC=12，邻边是AC=16，因此：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$
2. 计算$\tan B$：
∠B的对边是AC=16，邻边是BC=12，因此：
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{3}{4}$；$\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 锐角三角函数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正切定义的掌握，解题的关键是准确区分所求锐角对应的对边和邻边，计算时注意将分数约分为最简形式，熟练掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形中锐角正切值的计算，解题思路如下：首先回忆正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；接着分别确定∠A、∠B的对边和邻边，已知∠C=90°，BC=12、AC=16，∠A的对边为BC、邻边为AC，∠B的对边为AC、邻边为BC；最后将对应边长代入正切公式计算，约分得到最简结果即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的对边}}{\mathrm{角}α\mathrm{的邻边}}$。
1. 计算$\tan A$：
∠A的对边是BC=12，邻边是AC=16，因此：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$
2. 计算$\tan B$：
∠B的对边是AC=16，邻边是BC=12，因此：
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{3}{4}$；$\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 锐角三角函数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正切定义的掌握，解题的关键是准确区分所求锐角对应的对边和邻边，计算时注意将分数约分为最简形式，熟练掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8,AC⊥CD.若sin∠ACB=$\frac{1}{3}$,则cosD=.
答案
解：
在Rt△ABC中，∠B=90°，
$\because \sin∠ ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$，$AB=2$，
$\therefore AC = 3AB = 3×2 = 6$。
$\because AC⊥ CD$，
$\therefore ∠ ACD = 90°$，即△ACD为直角三角形。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
$\therefore \cos D = \frac{CD}{AD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
在Rt△ABC中，∠B=90°，
$\because \sin∠ ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$，$AB=2$，
$\therefore AC = 3AB = 3×2 = 6$。
$\because AC⊥ CD$，
$\therefore ∠ ACD = 90°$，即△ACD为直角三角形。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
$\therefore \cos D = \frac{CD}{AD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
解析
【分析】
解题时先观察图形，可知存在两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ACD，公共边AC是连接两个三角形的桥梁。首先利用Rt△ABC中已知的sin∠ACB和AB的长度，根据正弦的定义求出AC的长度；再由AC⊥CD判定△ACD是直角三角形，结合已知的CD长度，用勾股定理求出斜边AD的长度；最后根据余弦的定义，用∠D的邻边CD除以斜边AD即可得到cosD的值。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，
∵ $\sin∠ ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$，且$AB=2$，
∴ $AC = 3AB = 3×2 = 6$。
∵ $AC⊥ CD$，
∴ $∠ ACD = 90°$，即△ACD为直角三角形。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$，
∴ $\cos D = \frac{CD}{AD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，垂直的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用，解题核心是找到两个直角三角形的公共衔接边AC，结合三角函数定义和勾股定理逐步计算即可，侧重考查对基础概念的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，可知存在两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ACD，公共边AC是连接两个三角形的桥梁。首先利用Rt△ABC中已知的sin∠ACB和AB的长度，根据正弦的定义求出AC的长度；再由AC⊥CD判定△ACD是直角三角形，结合已知的CD长度，用勾股定理求出斜边AD的长度；最后根据余弦的定义，用∠D的邻边CD除以斜边AD即可得到cosD的值。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，
∵ $\sin∠ ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$，且$AB=2$，
∴ $AC = 3AB = 3×2 = 6$。
∵ $AC⊥ CD$，
∴ $∠ ACD = 90°$，即△ACD为直角三角形。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$，
∴ $\cos D = \frac{CD}{AD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，垂直的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用，解题核心是找到两个直角三角形的公共衔接边AC，结合三角函数定义和勾股定理逐步计算即可，侧重考查对基础概念的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$Rt△ ABC$中,CD为斜边AB上的高.下列不能表示$\tan A$的值是()
A.$\frac{BD}{CD}$
B.$\frac{CD}{AD}$
C.$\frac{BC}{AC}$
D.$\frac{AC}{AB}$
A.$\frac{BD}{CD}$
B.$\frac{CD}{AD}$
C.$\frac{BC}{AC}$
D.$\frac{AC}{AB}$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项不能表示$\tan A$的值，首先要明确正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值；另外相等的角正切值相等，我们可以先找出与$∠ A$相等的角，再结合正切定义逐一分析每个选项即可。
【解析】
解：已知$Rt△ ABC$中$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的高，因此$∠ ADC=∠ CDB=90°$。
1. 在$Rt△ ABC$中，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$，故C选项可表示$\tan A$，不符合题意；
2. 在$Rt△ ADC$中，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{CD}{AD}$，故B选项可表示$\tan A$，不符合题意；
3. 因为$∠ A+∠ ACD=90°$，$∠ BCD+∠ ACD=90°$，根据同角的余角相等可得$∠ A=∠ BCD$，在$Rt△ BCD$中，$\tan∠ BCD=\frac{BD}{CD}$，因此$\tan A=\frac{BD}{CD}$，故A选项可表示$\tan A$，不符合题意；
4. D选项$\frac{AC}{AB}$是$Rt△ ABC$中$∠ A$的邻边与斜边的比值，是$\cos A$的值，不能表示$\tan A$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.正切的定义 2.同角的余角相等 3.余弦的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关知识，解题的关键是熟练掌握正切的定义，以及利用同角的余角相等得到相等的角，进而转换正切的表达式，注意区分不同锐角三角函数对应的边的比例关系。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项不能表示$\tan A$的值，首先要明确正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值；另外相等的角正切值相等，我们可以先找出与$∠ A$相等的角，再结合正切定义逐一分析每个选项即可。
【解析】
解：已知$Rt△ ABC$中$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的高，因此$∠ ADC=∠ CDB=90°$。
1. 在$Rt△ ABC$中，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$，故C选项可表示$\tan A$，不符合题意；
2. 在$Rt△ ADC$中，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{CD}{AD}$，故B选项可表示$\tan A$，不符合题意；
3. 因为$∠ A+∠ ACD=90°$，$∠ BCD+∠ ACD=90°$，根据同角的余角相等可得$∠ A=∠ BCD$，在$Rt△ BCD$中，$\tan∠ BCD=\frac{BD}{CD}$，因此$\tan A=\frac{BD}{CD}$，故A选项可表示$\tan A$，不符合题意；
4. D选项$\frac{AC}{AB}$是$Rt△ ABC$中$∠ A$的邻边与斜边的比值，是$\cos A$的值，不能表示$\tan A$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.正切的定义 2.同角的余角相等 3.余弦的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关知识，解题的关键是熟练掌握正切的定义，以及利用同角的余角相等得到相等的角，进而转换正切的表达式，注意区分不同锐角三角函数对应的边的比例关系。
【难度系数】
0.8
5.若角$α$为锐角，且$\tanα$是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的一个根，则$\cosα$等于（）
A.$1$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
A.$1$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
答案
C
解析
【分析】
解题需分三步进行：①先解一元二次方程，得到tanα的两个可能值；②结合α是锐角的条件，锐角的正切值为正，舍去不符合的负根，确定tanα的准确值；③根据锐角正切、余弦的定义，结合勾股定理计算cosα的值。
【解析】
1. 解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
2. 因为$α$是锐角，锐角的正切值大于0，因此$\tanα=3$，舍去负根$-1$。
3. 根据锐角三角函数的定义，$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=3$，设$α$的邻边长为$k(k＞0)$，则对边长为$3k$，由勾股定理得斜边长为：
$\sqrt{(3k)^2 + k^2}=\sqrt{10k^2}=\sqrt{10}k$
4. 余弦的定义为$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$，代入得：
$\cosα=\frac{k}{\sqrt{10}k}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解与锐角三角函数知识结合，解题核心是先确定$\tanα$的取值，再结合三角函数定义计算，易错点是混淆余弦和正弦的定义、或分母有理化出错。
【难度系数】
0.7
解题需分三步进行：①先解一元二次方程，得到tanα的两个可能值；②结合α是锐角的条件，锐角的正切值为正，舍去不符合的负根，确定tanα的准确值；③根据锐角正切、余弦的定义，结合勾股定理计算cosα的值。
【解析】
1. 解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
2. 因为$α$是锐角，锐角的正切值大于0，因此$\tanα=3$，舍去负根$-1$。
3. 根据锐角三角函数的定义，$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=3$，设$α$的邻边长为$k(k＞0)$，则对边长为$3k$，由勾股定理得斜边长为：
$\sqrt{(3k)^2 + k^2}=\sqrt{10k^2}=\sqrt{10}k$
4. 余弦的定义为$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$，代入得：
$\cosα=\frac{k}{\sqrt{10}k}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解与锐角三角函数知识结合，解题核心是先确定$\tanα$的取值，再结合三角函数定义计算，易错点是混淆余弦和正弦的定义、或分母有理化出错。
【难度系数】
0.7
6.已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若$DP=1$，连接$BP$，则$\tan∠ BPC$的值是()
A.$2$或$\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$或$\frac{3}{2}$
D.$2$
A.$2$或$\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$或$\frac{3}{2}$
D.$2$
答案
A
解析
【分析】
首先注意点P的位置是在直线CD上，因此存在两种情况：①点P在线段CD上；②点P在CD的延长线上。结合正方形边长为2、DP=1的条件，先分别计算两种情况下PC的长度，再利用正方形四个角都是直角的性质，在Rt△BCP中根据正切的定义（锐角的正切值=对边长度÷邻边长度），即可求出对应∠BPC的正切值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在线段CD上时：
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BC=CD=2，∠BCD=90°，
已知DP=1，
∴PC=CD-DP=2-1=1，
在Rt△BCP中，$\tan∠ BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{1}=2$。
2. 当点P在CD的延长线上时：
∵CD=2，DP=1，
∴PC=CD+DP=2+1=3，
又
∵BC=2，∠BCD=90°，
在Rt△BCP中，$\tan∠ BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{3}$。
综上，$\tan∠ BPC$的值为2或$\frac{2}{3}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正方形的性质
2.正切的定义
3.分类讨论思想
【点评】
本题容易忽略“直线CD”包含两种位置情况，导致漏解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的表述差异，结合直角三角形的边角关系计算即可。
【难度系数】
0.7
首先注意点P的位置是在直线CD上，因此存在两种情况：①点P在线段CD上；②点P在CD的延长线上。结合正方形边长为2、DP=1的条件，先分别计算两种情况下PC的长度，再利用正方形四个角都是直角的性质，在Rt△BCP中根据正切的定义（锐角的正切值=对边长度÷邻边长度），即可求出对应∠BPC的正切值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在线段CD上时：
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BC=CD=2，∠BCD=90°，
已知DP=1，
∴PC=CD-DP=2-1=1，
在Rt△BCP中，$\tan∠ BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{1}=2$。
2. 当点P在CD的延长线上时：
∵CD=2，DP=1，
∴PC=CD+DP=2+1=3，
又
∵BC=2，∠BCD=90°，
在Rt△BCP中，$\tan∠ BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{3}$。
综上，$\tan∠ BPC$的值为2或$\frac{2}{3}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正方形的性质
2.正切的定义
3.分类讨论思想
【点评】
本题容易忽略“直线CD”包含两种位置情况，导致漏解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的表述差异，结合直角三角形的边角关系计算即可。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP//AB,交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是()
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3
答案
C
解析
【分析】
要求tan∠OAP的值，根据正切的定义，需在包含∠OAP的直角三角形中找到对边和邻边的比值。首先利用OP平行AB的条件，结合OC:BC=1:2的比例，可证明△ABC与△POC相似，求出AB的长度；再结合OP的倾斜角得出△AOB是等腰直角三角形，求出OA的长度，得到点A的坐标，最后构造直角三角形计算正切值即可。
【解析】
过点P作PH⊥x轴，垂足为H。
∵点P坐标为(1,1)，
∴PH=1，OH=1，由勾股定理得$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵$OP// AB$，
∴$∠ BAC=∠ OPC$，$∠ ABC=∠ POC$，
∴$△ ABC ∽ △ POC$。
已知$OC:BC=1:2$，即$BC:OC=2:1$，
∴$△ ABC$与$△ POC$的相似比为$2:1$，因此$AB:OP=2:1$，即$AB=2OP=2\sqrt{2}$。
∵$OP// AB$，直线OP与x轴正方向夹角为$45°$，
∴$∠ OAB=45°$，又
∵$∠ AOB=90°$，
∴$△ AOB$为等腰直角三角形，$OA=OB$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$OA^2+OB^2=AB^2$，代入$AB=2\sqrt{2}$、$OA=OB$，得$2OA^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$OA=2$（长度取正值），即点A坐标为$(-2, 0)$。
∴$AH=OA+OH=2+1=3$，在$Rt△ AHP$中，$\tan∠ OAP=\frac{PH}{AH}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了相似三角形、勾股定理和锐角三角函数的相关知识，解题的关键是利用平行线和比例关系求出点A的坐标，再结合正切的定义计算，难度不大，侧重对基础知识点的综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要求tan∠OAP的值，根据正切的定义，需在包含∠OAP的直角三角形中找到对边和邻边的比值。首先利用OP平行AB的条件，结合OC:BC=1:2的比例，可证明△ABC与△POC相似，求出AB的长度；再结合OP的倾斜角得出△AOB是等腰直角三角形，求出OA的长度，得到点A的坐标，最后构造直角三角形计算正切值即可。
【解析】
过点P作PH⊥x轴，垂足为H。
∵点P坐标为(1,1)，
∴PH=1，OH=1，由勾股定理得$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵$OP// AB$，
∴$∠ BAC=∠ OPC$，$∠ ABC=∠ POC$，
∴$△ ABC ∽ △ POC$。
已知$OC:BC=1:2$，即$BC:OC=2:1$，
∴$△ ABC$与$△ POC$的相似比为$2:1$，因此$AB:OP=2:1$，即$AB=2OP=2\sqrt{2}$。
∵$OP// AB$，直线OP与x轴正方向夹角为$45°$，
∴$∠ OAB=45°$，又
∵$∠ AOB=90°$，
∴$△ AOB$为等腰直角三角形，$OA=OB$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$OA^2+OB^2=AB^2$，代入$AB=2\sqrt{2}$、$OA=OB$，得$2OA^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$OA=2$（长度取正值），即点A坐标为$(-2, 0)$。
∴$AH=OA+OH=2+1=3$，在$Rt△ AHP$中，$\tan∠ OAP=\frac{PH}{AH}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了相似三角形、勾股定理和锐角三角函数的相关知识，解题的关键是利用平行线和比例关系求出点A的坐标，再结合正切的定义计算，难度不大，侧重对基础知识点的综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2√5,E是BC的中点,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点F处,连接CF,则cos∠ECF的值为()
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用矩形的性质得到直角△ABE，结合E是BC中点求出BE的长度，再根据折叠的性质得到FE=BE=EC，推出△FEC是等腰三角形，再结合三角形外角性质和折叠前后对应角相等，可推导出∠ECF=∠AEB，最后在Rt△ABE中利用余弦的定义计算cos∠AEB的值，即为所求cos∠ECF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵E是BC的中点，BC=2√5，
∴BE=EC=½BC=√5，
在Rt△ABE中，AB=2，BE=√5，由勾股定理得：
AE=√(AB²+BE²)=√(2²+(√5)²)=√9=3，
由折叠的性质可得：BE=FE，∠AEB=∠AEF，
∴FE=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF是△EFC的外角，
∴∠BEF=∠EFC+∠ECF=2∠ECF，
又
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=2∠AEB，
∴2∠AEB=2∠ECF，即∠AEB=∠ECF，
∴cos∠ECF=cos∠AEB=BE/AE=√5/3。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，余弦的定义
【点评】
本题是几何综合基础题，通过角的等量转化将所求的非直角三角形内角转化为直角三角形的内角，大大简化了计算过程，解题的关键是熟练掌握折叠、等腰三角形和锐角三角函数的相关性质。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用矩形的性质得到直角△ABE，结合E是BC中点求出BE的长度，再根据折叠的性质得到FE=BE=EC，推出△FEC是等腰三角形，再结合三角形外角性质和折叠前后对应角相等，可推导出∠ECF=∠AEB，最后在Rt△ABE中利用余弦的定义计算cos∠AEB的值，即为所求cos∠ECF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵E是BC的中点，BC=2√5，
∴BE=EC=½BC=√5，
在Rt△ABE中，AB=2，BE=√5，由勾股定理得：
AE=√(AB²+BE²)=√(2²+(√5)²)=√9=3，
由折叠的性质可得：BE=FE，∠AEB=∠AEF，
∴FE=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF是△EFC的外角，
∴∠BEF=∠EFC+∠ECF=2∠ECF，
又
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=2∠AEB，
∴2∠AEB=2∠ECF，即∠AEB=∠ECF，
∴cos∠ECF=cos∠AEB=BE/AE=√5/3。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，余弦的定义
【点评】
本题是几何综合基础题，通过角的等量转化将所求的非直角三角形内角转化为直角三角形的内角，大大简化了计算过程，解题的关键是熟练掌握折叠、等腰三角形和锐角三角函数的相关性质。
【难度系数】
0.6
