1.「2025山东济宁汶上期末，★☆」如图,在平面直角坐标系中,点A,B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,分别以点A,B为圆心,1为半径作圆,当$\odot A$与y轴相切,$\odot B$与x轴相切时,连接AB.若$AB=3\sqrt{2}$,则k的值为（）


A.2
B.3
C.$3\sqrt{2}$
D.4

1.D 如图,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,AC,BD相交于点E,易知四边形OCED为矩形,
∵⊙A,⊙B的半径为1,
∴A点的横坐标为1,B点的纵坐标为1,
∵点A,B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,
∴A点的纵坐标为k,B点的横坐标为k,
∴AE=k-1,BE=k-1,
∵∠AEB=90°,
∴$AE^2+BE^2=AB^2$,
∴$(k-1)^2+(k-1)^2=18$,
∴k=4或k=-2,
∵k＞0,
∴k=4.故选D.

2.「2025河南许昌一模，★☆」如图，已知一次函数$y_1=k_1x+2$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象交于点$A(m,-1)$，且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴、y轴分别相切于点D,B.
(1)求$k_1$和$k_2$的值.
(2)当$y_1＜y_2＜0$时，根据图象直接写出x的取值范围.

2.解析
(1)如图,连接CB,CD,
∵一次函数$y_1=k_1x+2$的图象与y轴交于点B,
∴B(0,2),
∴OB=2,
∵⊙C与x轴、y轴分别相切于点D,B,
∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD,BC=CD,
∴四边形BODC是正方形,
∴BO=OD=DC=CB=2,
∴C(2,2),
∵点C在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上,
∴$k_2=2×2=4$,
∴$y_2=\frac{4}{x}$,
把$(m,-1)$代入$y_2=\frac{4}{x}$,得$-1=\frac{4}{m}$,
∴m=-4,
∴A(-4,-1),
把(-4,-1)代入$y_1=k_1x+2$,得$-4k_1+2=-1$,解得$k_1=\frac{3}{4}$.

(2)由(1)知A(-4,-1),
∴当$y_1＜y_2＜0$时,x的取值范围是x＜-4.