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8.圆锥的侧面与底面相交成
1
条线，是曲
线（填“直”或“曲”）。答案
8.1 曲
解析
【分析】
解题时首先回忆几何中“面与面相交得到线”的基本结论，再结合圆锥的结构特征思考：圆锥的侧面是曲面，底面是圆形的平面，二者的交线就是底面的圆周，据此判断交线的数量和类型即可。
【解析】
根据几何图形的基本性质，面与面相交会形成线。圆锥的侧面为曲面，底面是圆形的平面，两者相交的部分为底面的圆周：
1. 交线的数量：只有1条连续的交线；
2. 交线的类型：圆周是曲线，因此这条交线是曲线。
【答案】
1；曲
【知识点】
圆锥的结构特征；面与面相交得线
【点评】
本题考查对常见几何体结构和几何基本要素的理解，属于基础概念类题目，熟练掌握常见几何体的组成是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆几何中“面与面相交得到线”的基本结论，再结合圆锥的结构特征思考：圆锥的侧面是曲面，底面是圆形的平面，二者的交线就是底面的圆周，据此判断交线的数量和类型即可。
【解析】
根据几何图形的基本性质，面与面相交会形成线。圆锥的侧面为曲面，底面是圆形的平面，两者相交的部分为底面的圆周：
1. 交线的数量：只有1条连续的交线；
2. 交线的类型：圆周是曲线，因此这条交线是曲线。
【答案】
1；曲
【知识点】
圆锥的结构特征；面与面相交得线
【点评】
本题考查对常见几何体结构和几何基本要素的理解，属于基础概念类题目，熟练掌握常见几何体的组成是解题的关键。
【难度系数】
0.9
9.在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（
A.圆
B.长方形
C.椭圆
D.平行四边形
B
）A.圆
B.长方形
C.椭圆
D.平行四边形
答案
9.B
解析
【分析】
要判断水面的形状，实际是判断水平面截水平放置的圆柱所得的截面形状。首先明确圆柱的结构特征：圆柱有两个大小相等的圆形底面，侧面是曲面，两个底面圆心的连线是圆柱的轴线。本题中圆柱水平放置，装一半水时，水面是水平面，这个平面平行于圆柱的轴线，且与圆柱的两个底面都垂直。接下来分析平面和圆柱各部分的交线：平面与圆柱侧面的交线是两条平行于轴线的相等线段，平面与两个圆形底面的交线是两条垂直于轴线的相等线段，四条交线围成的四边形四个角都是直角，据此即可判断形状。
【解析】
水面的形状本质是水平面截水平放置的圆柱得到的截面形状：
1. 当圆柱水平放置、装一半水时，水面是水平面，该平面平行于圆柱的轴线，同时垂直于圆柱的两个圆形底面。
2. 平面与圆柱侧面相交得到两条互相平行、长度等于圆柱长度的线段；平面与两个圆形底面相交，得到两条互相平行、长度等于圆柱底面直径的线段。
3. 上述四条线段围成的四边形对边平行且相等，且四个角都是直角，因此是长方形。
其他选项排除：垂直于圆柱轴线截圆柱得到的截面是圆，排除A；截面与轴线斜交且不经过底面时得到椭圆，排除C；平行四边形的角不是直角，不符合交线的垂直关系，排除D。
【答案】
B
【知识点】
1. 截一个几何体 2. 圆柱的特征
【点评】
本题考查平面截圆柱的截面形状判断，解题时需要结合几何体的结构特征和平面的截割位置分析，易错点是混淆不同截割方向对应的截面形状。
【难度系数】
0.7
要判断水面的形状，实际是判断水平面截水平放置的圆柱所得的截面形状。首先明确圆柱的结构特征：圆柱有两个大小相等的圆形底面，侧面是曲面，两个底面圆心的连线是圆柱的轴线。本题中圆柱水平放置，装一半水时，水面是水平面，这个平面平行于圆柱的轴线，且与圆柱的两个底面都垂直。接下来分析平面和圆柱各部分的交线：平面与圆柱侧面的交线是两条平行于轴线的相等线段，平面与两个圆形底面的交线是两条垂直于轴线的相等线段，四条交线围成的四边形四个角都是直角，据此即可判断形状。
【解析】
水面的形状本质是水平面截水平放置的圆柱得到的截面形状：
1. 当圆柱水平放置、装一半水时，水面是水平面，该平面平行于圆柱的轴线，同时垂直于圆柱的两个圆形底面。
2. 平面与圆柱侧面相交得到两条互相平行、长度等于圆柱长度的线段；平面与两个圆形底面相交，得到两条互相平行、长度等于圆柱底面直径的线段。
3. 上述四条线段围成的四边形对边平行且相等，且四个角都是直角，因此是长方形。
其他选项排除：垂直于圆柱轴线截圆柱得到的截面是圆，排除A；截面与轴线斜交且不经过底面时得到椭圆，排除C；平行四边形的角不是直角，不符合交线的垂直关系，排除D。
【答案】
B
【知识点】
1. 截一个几何体 2. 圆柱的特征
【点评】
本题考查平面截圆柱的截面形状判断，解题时需要结合几何体的结构特征和平面的截割位置分析，易错点是混淆不同截割方向对应的截面形状。
【难度系数】
0.7
10.将两个完全一样的边长为1厘米的小正方体的两个面完全重合粘在一起，这时几何体的表面积为
10
平方厘米，体积为2
立方厘米。答案
10.10 2
解析
【分析】
解题时先明确单个小正方体的表面积和体积，再分析拼接带来的变化：①表面积：两个小正方体拼接时，重合的两个面会被遮挡，不再计入几何体的表面积，因此总表面积等于两个小正方体的表面积之和减去2个重合面的面积；②体积：拼接过程没有增减立体部分，总体积等于两个小正方体的体积之和，按这个思路分步计算即可。
【解析】
先计算单个小正方体的基础数据：
小正方体棱长为1厘米，单个面的面积：$1×1=1$（平方厘米）
单个小正方体的表面积：$6×1=6$（平方厘米）
单个小正方体的体积：$1×1×1=1$（立方厘米）
1. 拼接后表面积计算：
两个小正方体原本总表面积为：$6×2=12$（平方厘米）
拼接时两个面重合，共减少2个面的面积，减少的面积为：$2×1=2$（平方厘米）
因此拼接后几何体表面积为：$12-2=10$（平方厘米）
2. 拼接后体积计算：
拼接前后体积不变，总体积为两个小正方体体积之和：$1×2=2$（立方厘米）
【答案】
10；2
【知识点】
正方体表面积计算、正方体体积计算、立体拼接表面积变化
【点评】
本题是立体图形认识的基础题型，核心易错点是计算拼接后表面积时，容易误判只减少1个重合面的面积，需牢记两个立体拼接时，重合部位会让总表面积减少2个重合面的面积，而体积不受拼接影响。
【难度系数】
0.8
解题时先明确单个小正方体的表面积和体积，再分析拼接带来的变化：①表面积：两个小正方体拼接时，重合的两个面会被遮挡，不再计入几何体的表面积，因此总表面积等于两个小正方体的表面积之和减去2个重合面的面积；②体积：拼接过程没有增减立体部分，总体积等于两个小正方体的体积之和，按这个思路分步计算即可。
【解析】
先计算单个小正方体的基础数据：
小正方体棱长为1厘米，单个面的面积：$1×1=1$（平方厘米）
单个小正方体的表面积：$6×1=6$（平方厘米）
单个小正方体的体积：$1×1×1=1$（立方厘米）
1. 拼接后表面积计算：
两个小正方体原本总表面积为：$6×2=12$（平方厘米）
拼接时两个面重合，共减少2个面的面积，减少的面积为：$2×1=2$（平方厘米）
因此拼接后几何体表面积为：$12-2=10$（平方厘米）
2. 拼接后体积计算：
拼接前后体积不变，总体积为两个小正方体体积之和：$1×2=2$（立方厘米）
【答案】
10；2
【知识点】
正方体表面积计算、正方体体积计算、立体拼接表面积变化
【点评】
本题是立体图形认识的基础题型，核心易错点是计算拼接后表面积时，容易误判只减少1个重合面的面积，需牢记两个立体拼接时，重合部位会让总表面积减少2个重合面的面积，而体积不受拼接影响。
【难度系数】
0.8
11.我们知道用5根火柴棒可以拼成2个正三角形，那么，再增加1根火柴棒，你能否拼出4个正三角形呢？怎样拼？
答案
解：能拼出4个正三角形。
拼法：跳出平面的限制，利用空间立体图形，将6根火柴棒作为正四面体（正三棱锥）的6条棱进行搭建，该正四面体的4个面均为正三角形，即可得到4个正三角形。
拼法：跳出平面的限制，利用空间立体图形，将6根火柴棒作为正四面体（正三棱锥）的6条棱进行搭建，该正四面体的4个面均为正三角形，即可得到4个正三角形。
解析
【分析】
首先尝试在平面内拼接：平面内拼1个正三角形需要3根火柴，新增正三角形时最多共用1条边，每多拼1个正三角形最少要加2根火柴，6根火柴在平面内最多只能拼出3个正三角形，无法得到4个。此时需要跳出平面思维限制，考虑立体图形拼接：正四面体恰好有6条棱，且4个面都是正三角形，刚好符合要求。
【解析】
先判断可行性：平面拼接无法得到4个正三角形，转向立体拼接可以实现。
拼法说明：突破平面的限制，搭建空间立体图形，将6根火柴棒作为正四面体（正三棱锥）的6条棱，拼接后正四面体的4个面都是正三角形，即可得到4个正三角形。
【答案】
能拼出4个正三角形。拼法：跳出平面的限制，利用空间立体图形，将6根火柴棒作为正四面体（正三棱锥）的6条棱进行搭建，该正四面体的4个面均为正三角形，即可得到4个正三角形。
【知识点】
1. 平面与立体图形
2. 正四面体特征
【点评】
本题打破了常规的平面思维定式，重点考查空间想象能力，引导学生学会从二维平面到三维立体的思维转换，结合立体图形的特征应用是解题的关键。
【难度系数】
0.4
首先尝试在平面内拼接：平面内拼1个正三角形需要3根火柴，新增正三角形时最多共用1条边，每多拼1个正三角形最少要加2根火柴，6根火柴在平面内最多只能拼出3个正三角形，无法得到4个。此时需要跳出平面思维限制，考虑立体图形拼接：正四面体恰好有6条棱，且4个面都是正三角形，刚好符合要求。
【解析】
先判断可行性：平面拼接无法得到4个正三角形，转向立体拼接可以实现。
拼法说明：突破平面的限制，搭建空间立体图形，将6根火柴棒作为正四面体（正三棱锥）的6条棱，拼接后正四面体的4个面都是正三角形，即可得到4个正三角形。
【答案】
能拼出4个正三角形。拼法：跳出平面的限制，利用空间立体图形，将6根火柴棒作为正四面体（正三棱锥）的6条棱进行搭建，该正四面体的4个面均为正三角形，即可得到4个正三角形。
【知识点】
1. 平面与立体图形
2. 正四面体特征
【点评】
本题打破了常规的平面思维定式，重点考查空间想象能力，引导学生学会从二维平面到三维立体的思维转换，结合立体图形的特征应用是解题的关键。
【难度系数】
0.4
▲12.图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体(下底面为圆,单位:cm),将它们拼成如图2所示的新几何体,求该新几何体的体积(结果保留π). 
(第12题)
(第12题)答案
12.60π cm³
解析
【分析】
我们观察到单个几何体是圆柱被斜截后的不规则几何体，无法直接用公式计算体积，因此可以用割补法：将两个完全相同的该几何体拼接，刚好能得到一个规则的圆柱。先求出拼接后的完整圆柱体积，除以2就能得到单个几何体的体积，再乘3即可得到三个几何体拼成的新几何体的总体积。
【解析】
首先，底面直径为4cm，因此底面半径$r=4÷2=2\mathrm{cm}$。
两个相同的题图1的几何体可拼成一个高为$4+6=10\mathrm{cm}$的完整圆柱，该圆柱的体积为：
$V_{\mathrm{整}}=π r^2 h=π×2^2×10=40π\ \mathrm{cm}^3$
因此单个几何体的体积为：
$V_{\mathrm{单}}=V_{\mathrm{整}}÷2=40π÷2=20π\ \mathrm{cm}^3$
三个该几何体拼成的新几何体体积为：
$V_{\mathrm{总}}=3× V_{\mathrm{单}}=3×20π=60π\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
$60π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算，割补法求体积，立体图形拼接
【点评】
本题通过割补法将不规则的几何体转化为规则的圆柱进行体积计算，巧妙降低了求解难度，解题的核心是找到不规则几何体和规则圆柱之间的拼接关系，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
我们观察到单个几何体是圆柱被斜截后的不规则几何体，无法直接用公式计算体积，因此可以用割补法：将两个完全相同的该几何体拼接，刚好能得到一个规则的圆柱。先求出拼接后的完整圆柱体积，除以2就能得到单个几何体的体积，再乘3即可得到三个几何体拼成的新几何体的总体积。
【解析】
首先，底面直径为4cm，因此底面半径$r=4÷2=2\mathrm{cm}$。
两个相同的题图1的几何体可拼成一个高为$4+6=10\mathrm{cm}$的完整圆柱，该圆柱的体积为：
$V_{\mathrm{整}}=π r^2 h=π×2^2×10=40π\ \mathrm{cm}^3$
因此单个几何体的体积为：
$V_{\mathrm{单}}=V_{\mathrm{整}}÷2=40π÷2=20π\ \mathrm{cm}^3$
三个该几何体拼成的新几何体体积为：
$V_{\mathrm{总}}=3× V_{\mathrm{单}}=3×20π=60π\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
$60π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算，割补法求体积，立体图形拼接
【点评】
本题通过割补法将不规则的几何体转化为规则的圆柱进行体积计算，巧妙降低了求解难度，解题的核心是找到不规则几何体和规则圆柱之间的拼接关系，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
