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1. 一题多变（教材习题改编）写出一个多项式，使它与多项式$m+2n^2$的和为三次四项式，且包含常数项：
3m+m²n+5(答案不唯一)
。答案
1. 3m+m²n+5(答案不唯一)
变式1 改为已知两个单项式和的形式,求代数式的值
若$2m^{a+2}n^2$与$\frac{1}{3}mn^{3b-4}$的和是一个单项式,则
$a^2 - b^2$的值为________.
若$2m^{a+2}n^2$与$\frac{1}{3}mn^{3b-4}$的和是一个单项式,则
$a^2 - b^2$的值为________.
答案
变式1 -3 【解析】因为$2m^{a+2}n^2$与$\frac{1}{3}mn^{3b-4}$的和是一个单项式,所以$2m^{a+2}n^2$与$\frac{1}{3}mn^{3b-4}$是同类项,所以$a+2=1,3b-4=2$,解得$a=-1,b=2$,所以$a^2 - b^2 = (-1)^2 - 2^2 = -3$.
若多项式$2x^3y^{|a|}+(a-3)x^2y^3 -1$是关于x,y的六次三项式，则a的值为
-3
。答案
变式2 -3 【解析】因为关于 x,y 的多项式$2x^3y^{|a|}+(a-3)x^2y^3 -1$是六次三项式,所以$|a|=3$且$a-3≠0$,所以$a=-3$. (易错点:注意该多项式是六次三项式,不仅要满足次数为 6,还要满足多项式为 3 项,二者缺一不可)
2. (2025 河南郑州嵩阳中学期末) 先化简，再求值：$2(a^2b+2ab^2)-3(a^2b-ab^2)-2a^2b$，其中$a,b$满足$(a+2)^2+|b-1|=0.$
答案
2. 解:因为$(a+2)^2+|b-1|=0$,
所以$a+2=0,b-1=0$,
所以$a=-2,b=1$,
所以$2(a^2b+2ab^2)-3(a^2b-ab^2)-2a^2b$
$=2a^2b+4ab^2-3a^2b+3ab^2-2a^2b$
$=-3a^2b+7ab^2$.
当$a=-2,b=1$时,
原式$=-3×(-2)^2×1+7×(-2)×1^2$
$=-12-14$
$=-26$.
所以$a+2=0,b-1=0$,
所以$a=-2,b=1$,
所以$2(a^2b+2ab^2)-3(a^2b-ab^2)-2a^2b$
$=2a^2b+4ab^2-3a^2b+3ab^2-2a^2b$
$=-3a^2b+7ab^2$.
当$a=-2,b=1$时,
原式$=-3×(-2)^2×1+7×(-2)×1^2$
$=-12-14$
$=-26$.
3. (2025江苏南京外国语期末)如图,公园有一块长为$(2m-2)\mathrm{m}$,宽为$m\mathrm{ m}$的长方形土地(一边靠墙),现将三边留出宽都是$n\mathrm{ m}$的小路,余下部分设计成花圃$ABCD$,用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来.
(1)求篱笆的总长度(用含$m,n$的式子表示);
(2)若$m=29,n=6$,篱笆的单价为$60$元/m,请计算篱笆的总价.
(1)求篱笆的总长度(用含$m,n$的式子表示);
(2)若$m=29,n=6$,篱笆的单价为$60$元/m,请计算篱笆的总价.
答案
3. 解:(1)$AB=(m-n)\mathrm{m}$,
$BC = 2m-2-2n$
$=(2m-2n-2)\mathrm{m}$.
所以篱笆总长度为$(m-n)×2+(2m-2n-2)$
$=2m-2n+2m-2n-2$
$=(4m-4n-2)\mathrm{m}$;
(2)将$m=29,n=6$代入$4m-4n-2$,得
$4m-4n-2$
$=4×29-4×6-2$
$=92-2$
$=90$,
$90×60=5400$(元).
答:篱笆的总价是 5400 元.
$BC = 2m-2-2n$
$=(2m-2n-2)\mathrm{m}$.
所以篱笆总长度为$(m-n)×2+(2m-2n-2)$
$=2m-2n+2m-2n-2$
$=(4m-4n-2)\mathrm{m}$;
(2)将$m=29,n=6$代入$4m-4n-2$,得
$4m-4n-2$
$=4×29-4×6-2$
$=92-2$
$=90$,
$90×60=5400$(元).
答:篱笆的总价是 5400 元.
4. (教材习题改编)有这样一道题:已知$A=4a^2 -2b^2 -5c^2,B=a^2 -3b^2 -3c^2,C=2c^2 +a^2 -b^2$,当$a=2$时,求$A-B+C$的值.小培说:“题出错了,需要再给出$b$与$c$的值才能求解.”小培的说法正确吗?请说明理由.
答案
4. 解:小培的说法不正确.理由如下:
因为$A = 4a^2 -2b^2 -5c^2,B = a^2 -3b^2 -3c^2,C = 2c^2 +a^2 -b^2$,
所以$A-B+C = 4a^2 -2b^2 -5c^2 -(a^2 -3b^2 -3c^2 )+2c^2 +a^2 -b^2 = 4a^2$,
所以$A-B+C$的值与$b,c$无关,
所以小培的说法不正确.
因为$A = 4a^2 -2b^2 -5c^2,B = a^2 -3b^2 -3c^2,C = 2c^2 +a^2 -b^2$,
所以$A-B+C = 4a^2 -2b^2 -5c^2 -(a^2 -3b^2 -3c^2 )+2c^2 +a^2 -b^2 = 4a^2$,
所以$A-B+C$的值与$b,c$无关,
所以小培的说法不正确.
5. (2025 四川成都嘉祥外国语期中)按如图所示的程序计算,若输入x的值为-2,输入y的值为-4,则最后输出的结果是
-512
.答案
5. -512 【解析】由条件可知$\frac{x^2+4x}{2}=\frac{(-2)^2+4×(-2)}{2}=-2,y+8=-4+8=4$,两数的积为$-2×4=-8,(-8)^3=-512$.
6. (教材复习题改编)在数学中数与形之间也可以互相转化.
(1)观察图形与等式的关系,并填空:
结合图形,我们可以发现:$1+3+5+\dots+(2n-1)=$
(2)利用(1)中的结论解决下列问题:
①$1+3+5+\dots+97+99=$
②$41+43+45+\dots+197+199=$
(1)观察图形与等式的关系,并填空:
结合图形,我们可以发现:$1+3+5+\dots+(2n-1)=$
$n^2$
;(2)利用(1)中的结论解决下列问题:
①$1+3+5+\dots+97+99=$
$2500$
;②$41+43+45+\dots+197+199=$
$9600$
.答案
6. 解:(1)$n^2$；【解析】因为$1+3=2^2,1+3+5=3^2,1+3+5+7=4^2,\dots$,所以$1+3+5+\dots+(2n-1)=(\frac{1+2n-1}{2})^2=n^2$.
(2)①$2\ 500$；【解析】由(1)发现的结论可知,$1+3+5+\dots+97+99=(\frac{1+99}{2})^2=50^2=2\ 500$.
②$9\ 600$. 【解析】$1+3+5+\dots+41+43+45+\dots+197+199=(\frac{1+199}{2})^2=100^2=10\ 000,1+3+5+\dots+39=(\frac{1+39}{2})^2=20^2=400$,所以$41+43+45+\dots+197+199=10\ 000-400=9\ 600$.
(2)①$2\ 500$；【解析】由(1)发现的结论可知,$1+3+5+\dots+97+99=(\frac{1+99}{2})^2=50^2=2\ 500$.
②$9\ 600$. 【解析】$1+3+5+\dots+41+43+45+\dots+197+199=(\frac{1+199}{2})^2=100^2=10\ 000,1+3+5+\dots+39=(\frac{1+39}{2})^2=20^2=400$,所以$41+43+45+\dots+197+199=10\ 000-400=9\ 600$.
