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9.已知$\odot O$的半径$r$为4，点$P$到圆心$O$的距离$d$恰好是方程$x^2 - 6x + 8 = 0$的解，则点$P$与$\odot O$的位置关系是(
A.点$P$在$\odot O$的外部
B.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$的外部
C.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$的内部
D.点$P$在$\odot O$的内部
C
).A.点$P$在$\odot O$的外部
B.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$的外部
C.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$的内部
D.点$P$在$\odot O$的内部
答案
9.C
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是比较点P到圆心的距离d和圆半径r的大小关系，因此首先需要求解一元二次方程得到d的所有可能取值，再分别将d的取值与r=4对比，结合点和圆位置关系的判定规则即可得出结论。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$：
对等式左边因式分解可得：$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即点P到圆心O的距离$d=2$或$d=4$。
2. 结合点与圆的位置关系判定：
已知$\odot O$的半径$r=4$：
①当$d=2$时，$d＜r$，此时点P在$\odot O$的内部；
②当$d=4$时，$d=r$，此时点P在$\odot O$上。
综上，点P在$\odot O$上或$\odot O$的内部，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，将一元二次方程求解和点与圆的位置关系判定结合考查，解题时注意不要遗漏方程的解，分情况讨论对比d与r的大小即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是比较点P到圆心的距离d和圆半径r的大小关系，因此首先需要求解一元二次方程得到d的所有可能取值，再分别将d的取值与r=4对比，结合点和圆位置关系的判定规则即可得出结论。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$：
对等式左边因式分解可得：$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即点P到圆心O的距离$d=2$或$d=4$。
2. 结合点与圆的位置关系判定：
已知$\odot O$的半径$r=4$：
①当$d=2$时，$d＜r$，此时点P在$\odot O$的内部；
②当$d=4$时，$d=r$，此时点P在$\odot O$上。
综上，点P在$\odot O$上或$\odot O$的内部，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，将一元二次方程求解和点与圆的位置关系判定结合考查，解题时注意不要遗漏方程的解，分情况讨论对比d与r的大小即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
10.如图，AB是$\odot O$的弦，点C是优弧$\overset{\frown}{AB}$上的动点（点C不与点A，B重合），$CH ⊥ AB$，垂足为点H，点M是BC的中点。若$\odot O$的半径是3，则MH的长的最大值是
3
。答案
10.3
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：CH⊥AB可得△CHB是直角三角形，M是BC中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由此将MH的长度转化为BC长度的一半。要得到MH的最大值，只需求出⊙O中弦BC的最大值即可，而圆中最长的弦是直径，结合已知半径即可求出结果。
【解析】
解：
∵CH⊥AB，
∴∠CHB=90°，即△CHB为直角三角形。
∵点M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得：
$MH=\frac{1}{2}BC$。
∵BC是⊙O的弦，圆中最长的弦为直径，已知⊙O的半径为3，
∴BC的最大值为直径长度$2×3=6$，
∴MH的最大值为$\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的弦的特征
【点评】
本题解题的核心是利用转化思想，将未知线段的最值问题转化为圆中弦的最值问题，结合直角三角形的性质和圆的基本性质即可快速求解，侧重对基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：CH⊥AB可得△CHB是直角三角形，M是BC中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由此将MH的长度转化为BC长度的一半。要得到MH的最大值，只需求出⊙O中弦BC的最大值即可，而圆中最长的弦是直径，结合已知半径即可求出结果。
【解析】
解：
∵CH⊥AB，
∴∠CHB=90°，即△CHB为直角三角形。
∵点M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得：
$MH=\frac{1}{2}BC$。
∵BC是⊙O的弦，圆中最长的弦为直径，已知⊙O的半径为3，
∴BC的最大值为直径长度$2×3=6$，
∴MH的最大值为$\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的弦的特征
【点评】
本题解题的核心是利用转化思想，将未知线段的最值问题转化为圆中弦的最值问题，结合直角三角形的性质和圆的基本性质即可快速求解，侧重对基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，若$∠ AOB + ∠ C = 180°$，$∠ COD = ∠ A$，则$∠ AOB$的度数为
108°
。答案
11.108°
解析
【分析】
解题时先利用圆的半径相等，得到△AOB和△COD都是等腰三角形，两个三角形的底角分别相等。我们可以设∠AOB的度数为未知数，结合三角形内角和定理把∠A、∠C、∠COD都用含未知数的式子表示，再根据题目给出的∠COD=∠A的等量关系列方程，求解即可得到∠AOB的度数。
【解析】
设$∠ AOB = x°$，
∵ OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形，
∴ $∠ A = ∠ B = \frac{180° - x°}{2}$，
由题知$∠ AOB + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ C = 180° - x°$，
∵ OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，$△ COD$为等腰三角形，
∴ $∠ C = ∠ D$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ COD = 180° - 2∠ C = 180° - 2(180° - x°) = 2x° - 180°$，
又
∵ $∠ COD = ∠ A$，
∴ $2x - 180 = \frac{180 - x}{2}$，
两边同乘2得：$4x - 360 = 180 - x$，
移项合并同类项得：$5x = 540$，
解得：$x = 108$，即$∠ AOB=108°$。
【答案】
$108°$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的核心是结合等腰三角形性质和三角形内角和定理，找到角度间的等量关系，通过设未知数列方程求解，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆的半径相等，得到△AOB和△COD都是等腰三角形，两个三角形的底角分别相等。我们可以设∠AOB的度数为未知数，结合三角形内角和定理把∠A、∠C、∠COD都用含未知数的式子表示，再根据题目给出的∠COD=∠A的等量关系列方程，求解即可得到∠AOB的度数。
【解析】
设$∠ AOB = x°$，
∵ OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形，
∴ $∠ A = ∠ B = \frac{180° - x°}{2}$，
由题知$∠ AOB + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ C = 180° - x°$，
∵ OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，$△ COD$为等腰三角形，
∴ $∠ C = ∠ D$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ COD = 180° - 2∠ C = 180° - 2(180° - x°) = 2x° - 180°$，
又
∵ $∠ COD = ∠ A$，
∴ $2x - 180 = \frac{180 - x}{2}$，
两边同乘2得：$4x - 360 = 180 - x$，
移项合并同类项得：$5x = 540$，
解得：$x = 108$，即$∠ AOB=108°$。
【答案】
$108°$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的核心是结合等腰三角形性质和三角形内角和定理，找到角度间的等量关系，通过设未知数列方程求解，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
12.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，AB的延长线和CD的延长线交于点E，已知$AB=2DE$，若$△ COD$为直角三角形，求$∠ E$的度数.
答案
12.$\because AB$是$\odot O$的直径,$AB=2DE,\therefore AB=2DO=2DE,\therefore ∠ DOE=∠ E$,
$\because △ COD$为直角三角形,$OC=OD,\therefore △ COD$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ CDO=45°$,
$\because ∠ CDO=∠ DOE+∠ E=2∠ E,\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ CDO=\frac{1}{2}×45°=22.5°$.
$\because △ COD$为直角三角形,$OC=OD,\therefore △ COD$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ CDO=45°$,
$\because ∠ CDO=∠ DOE+∠ E=2∠ E,\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ CDO=\frac{1}{2}×45°=22.5°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先根据圆的直径和半径的关系，AB是直径则AB=2OD，结合AB=2DE可得OD=DE，从而推出△ODE是等腰三角形，得到∠DOE=∠E；再由△COD是直角三角形且OC、OD都是圆的半径（长度相等），可判断△COD是等腰直角三角形，得出∠CDO的度数；最后利用三角形外角的性质，∠CDO是△ODE的外角，等于∠DOE与∠E的和，代入前面的等量关系即可求出∠E的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，$AB=2DE$，
∴ $AB=2DO=2DE$，即$DO=DE$，
∴ $∠ DOE=∠ E$，
∵ $△ COD$为直角三角形，$OC=OD$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ COD$为等腰直角三角形，
∴ $∠ CDO=45°$，
∵ $∠ CDO$是$△ODE$的外角，
∴ $∠ CDO=∠ DOE+∠ E=2∠ E$，
∴ $∠ E=\frac{1}{2}∠ CDO=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算类题目，解题的突破口是结合圆的半径相等的性质，将已知的边的数量关系转化为等腰三角形的角的关系，再结合外角性质建立角度等式求解，能够很好地考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，首先根据圆的直径和半径的关系，AB是直径则AB=2OD，结合AB=2DE可得OD=DE，从而推出△ODE是等腰三角形，得到∠DOE=∠E；再由△COD是直角三角形且OC、OD都是圆的半径（长度相等），可判断△COD是等腰直角三角形，得出∠CDO的度数；最后利用三角形外角的性质，∠CDO是△ODE的外角，等于∠DOE与∠E的和，代入前面的等量关系即可求出∠E的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，$AB=2DE$，
∴ $AB=2DO=2DE$，即$DO=DE$，
∴ $∠ DOE=∠ E$，
∵ $△ COD$为直角三角形，$OC=OD$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ COD$为等腰直角三角形，
∴ $∠ CDO=45°$，
∵ $∠ CDO$是$△ODE$的外角，
∴ $∠ CDO=∠ DOE+∠ E=2∠ E$，
∴ $∠ E=\frac{1}{2}∠ CDO=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算类题目，解题的突破口是结合圆的半径相等的性质，将已知的边的数量关系转化为等腰三角形的角的关系，再结合外角性质建立角度等式求解，能够很好地考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中$∠ C=90°$.
(1)求证:$A$,$B$,$C$三点在同一个圆上.并在图中画出该圆.
(2)点$P$是$AB$的延长线上一点,点$M$是(1)中所画的圆上异于点$A$,$B$的一点,连接$PM$,求证:$PB＜PM＜PA$.
(1)求证:$A$,$B$,$C$三点在同一个圆上.并在图中画出该圆.
(2)点$P$是$AB$的延长线上一点,点$M$是(1)中所画的圆上异于点$A$,$B$的一点,连接$PM$,求证:$PB＜PM＜PA$.
答案
13.(1)取$AB$的中点$O$,连接$CO$.
$\because ∠ ACB=90 °,\therefore CO=AO=BO$,故$A,B,C$三点在同一个圆上,圆心为点$O$.
画图略.
(2)连接$OM$,在$△ POM$中,$PO-OM＜PM＜PO+OM$.
$\because OM=OB=OA,\therefore PO-OB＜PM＜PO+OA$,即$PB＜PM＜PA$.
解析
【分析】
（1）要证明A、B、C三点共圆，根据圆的定义，只需找到一个点，使得三个点到该点的距离相等即可。已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AB的中点O，即可证得AO=BO=CO，由此可证明三点共圆，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可。
（2）要证明PB＜PM＜PA，可利用三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边。连接OM，OM是（1）中圆的半径，因此OM=OB=OA，将其代入三边关系的不等式替换后，即可推导出待证结论。
【解析】
(1) 取AB的中点O，连接CO。
∵ 在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，O是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质可得：$CO = AO = BO = \frac{1}{2}AB$，
即A、B、C三点到点O的距离相等，因此三点在以O为圆心，OA长为半径的同一个圆上。
画图：以O为圆心，OA（或OB、OC）的长度为半径画圆即可。
(2) 连接OM，
在$△POM$中，根据三角形三边关系可得：$PO-OM＜PM＜PO+OM$，
∵ OM是（1）中所画圆的半径，$\therefore OM=OB=OA$，
将$OM=OB$代入左边不等式得：$PO - OB = PB ＜ PM$，
将$OM=OA$代入右边不等式得：$PM ＜ PO + OA = PA$，
因此可得$PB＜PM＜PA$。
【答案】
13.(1)取$AB$的中点$O$,连接$CO$.
$\because ∠ ACB=90 °,\therefore CO=AO=BO$,故$A,B,C$三点在同一个圆上,圆心为点$O$.
画图略.
(2)连接$OM$,在$△ POM$中,$PO-OM＜PM＜PO+OM$.
$\because OM=OB=OA,\therefore PO-OB＜PM＜PO+OA$,即$PB＜PM＜PA$.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三点共圆判定，三角形三边关系
【点评】
本题结合三角形性质考查圆的基本概念，解题的核心是利用直角三角形斜边中点到三顶点距离相等确定共圆的圆心，再结合圆的半径相等和三角形三边关系证明线段不等关系，能帮助学生理解圆的定义，掌握相关性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明A、B、C三点共圆，根据圆的定义，只需找到一个点，使得三个点到该点的距离相等即可。已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AB的中点O，即可证得AO=BO=CO，由此可证明三点共圆，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可。
（2）要证明PB＜PM＜PA，可利用三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边。连接OM，OM是（1）中圆的半径，因此OM=OB=OA，将其代入三边关系的不等式替换后，即可推导出待证结论。
【解析】
(1) 取AB的中点O，连接CO。
∵ 在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，O是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质可得：$CO = AO = BO = \frac{1}{2}AB$，
即A、B、C三点到点O的距离相等，因此三点在以O为圆心，OA长为半径的同一个圆上。
画图：以O为圆心，OA（或OB、OC）的长度为半径画圆即可。
(2) 连接OM，
在$△POM$中，根据三角形三边关系可得：$PO-OM＜PM＜PO+OM$，
∵ OM是（1）中所画圆的半径，$\therefore OM=OB=OA$，
将$OM=OB$代入左边不等式得：$PO - OB = PB ＜ PM$，
将$OM=OA$代入右边不等式得：$PM ＜ PO + OA = PA$，
因此可得$PB＜PM＜PA$。
【答案】
13.(1)取$AB$的中点$O$,连接$CO$.
$\because ∠ ACB=90 °,\therefore CO=AO=BO$,故$A,B,C$三点在同一个圆上,圆心为点$O$.
画图略.
(2)连接$OM$,在$△ POM$中,$PO-OM＜PM＜PO+OM$.
$\because OM=OB=OA,\therefore PO-OB＜PM＜PO+OA$,即$PB＜PM＜PA$.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三点共圆判定，三角形三边关系
【点评】
本题结合三角形性质考查圆的基本概念，解题的核心是利用直角三角形斜边中点到三顶点距离相等确定共圆的圆心，再结合圆的半径相等和三角形三边关系证明线段不等关系，能帮助学生理解圆的定义，掌握相关性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
