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9.已知$\odot O$的半径$r$为4，点$P$到圆心$O$的距离$d$恰好是方程$x^2 - 6x + 8 = 0$的解，则点$P$与$\odot O$的位置关系是(
A.点$P$在$\odot O$的外部
B.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$的外部
C.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$的内部
D.点$P$在$\odot O$的内部
C
).A.点$P$在$\odot O$的外部
B.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$的外部
C.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$的内部
D.点$P$在$\odot O$的内部
答案
9.C
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是比较点P到圆心的距离d和圆半径r的大小，因此解题分两步进行：第一步先求解一元二次方程得到d的所有可能值；第二步将每个d值与r=4对比，结合点和圆的位置关系判定规则综合得出结论。
【解析】
1. 求解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$：
对左侧因式分解可得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，即点P到圆心O的距离$d=2$或$d=4$。
2. 根据点与圆的位置关系判定：
已知$\odot O$半径$r=4$：
当$d=2$时，$d＜r$，点P在$\odot O$内部；
当$d=4$时，$d=r$，点P在$\odot O$上。
因此点P在$\odot O$上或$\odot O$的内部。
【答案】
C
【知识点】
解一元二次方程；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题为基础题，解题时需注意一元二次方程有两个解，要分别判断每个解对应的位置关系后再汇总结果，避免漏解出错。
【难度系数】
0.8
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是比较点P到圆心的距离d和圆半径r的大小，因此解题分两步进行：第一步先求解一元二次方程得到d的所有可能值；第二步将每个d值与r=4对比，结合点和圆的位置关系判定规则综合得出结论。
【解析】
1. 求解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$：
对左侧因式分解可得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，即点P到圆心O的距离$d=2$或$d=4$。
2. 根据点与圆的位置关系判定：
已知$\odot O$半径$r=4$：
当$d=2$时，$d＜r$，点P在$\odot O$内部；
当$d=4$时，$d=r$，点P在$\odot O$上。
因此点P在$\odot O$上或$\odot O$的内部。
【答案】
C
【知识点】
解一元二次方程；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题为基础题，解题时需注意一元二次方程有两个解，要分别判断每个解对应的位置关系后再汇总结果，避免漏解出错。
【难度系数】
0.8
10.如图，AB是$\odot O$的弦，点C是优弧$\overset{\frown}{AB}$上的动点（点C不与点A，B重合），$CH ⊥ AB$，垂足为点H，点M是BC的中点。若$\odot O$的半径是3，则MH的长的最大值是
3
。答案
10.3
解析
【分析】
首先观察已知条件，CH垂直AB可得到直角三角形CHB，点M是BC中点，可联想到直角三角形斜边中线的性质，推导出MH与BC的数量关系；要得到MH的最大值，只需找到BC的最大值即可，结合圆的基本性质，圆内最长的弦是直径，代入数据即可计算出结果。
【解析】
解：$\because CH⊥ AB$，垂足为$H$
$\therefore ∠ CHB=90°$，$△ CHB$是直角三角形
又$\because M$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$MH=\frac{1}{2}BC$
要使$MH$的长度最大，则$BC$的长度需取最大值
在$\odot O$中，最长的弦为直径，已知$\odot O$的半径为$3$
$\therefore BC$的最大值为$2×3=6$
$\therefore MH$的最大值为$\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 圆中最长弦为直径
【点评】
本题是直角三角形性质与圆的基础性质的综合应用题，解题核心是将所求线段MH的长度转化为BC长度的一半，再结合圆的性质找到BC的最大值，侧重考察基础定理的灵活应用，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，CH垂直AB可得到直角三角形CHB，点M是BC中点，可联想到直角三角形斜边中线的性质，推导出MH与BC的数量关系；要得到MH的最大值，只需找到BC的最大值即可，结合圆的基本性质，圆内最长的弦是直径，代入数据即可计算出结果。
【解析】
解：$\because CH⊥ AB$，垂足为$H$
$\therefore ∠ CHB=90°$，$△ CHB$是直角三角形
又$\because M$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$MH=\frac{1}{2}BC$
要使$MH$的长度最大，则$BC$的长度需取最大值
在$\odot O$中，最长的弦为直径，已知$\odot O$的半径为$3$
$\therefore BC$的最大值为$2×3=6$
$\therefore MH$的最大值为$\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 圆中最长弦为直径
【点评】
本题是直角三角形性质与圆的基础性质的综合应用题，解题核心是将所求线段MH的长度转化为BC长度的一半，再结合圆的性质找到BC的最大值，侧重考察基础定理的灵活应用，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，若$∠ AOB + ∠ C = 180°$，$∠ COD = ∠ A$，则$∠ AOB$的度数为
108°
。答案
11.108°
解析
【分析】
解题时首先利用圆的半径相等，可知△AOB和△COD均为等腰三角形，两个三角形的内角都满足内角和为180°。我们可以设∠AOB的度数为未知数，结合题目给出的∠AOB与∠C的关系、∠COD与∠A的相等关系，把其余角用含未知数的式子表示，最后利用△AOB的内角和列方程求解即可。
【解析】
设∠AOB = x°，
∵ ∠AOB + ∠C = 180°，
∴ ∠C = (180 - x)°，
∵ OC、OD是⊙O的半径，OC=OD，
∴ △COD为等腰三角形，
∴ ∠COD = 180° - 2∠C = 180° - 2(180 - x)° = (2x - 180)°，
又
∵ ∠COD = ∠A，
∴ ∠A = (2x - 180)°，
∵ OA、OB是⊙O的半径，OA=OB，
∴ △AOB为等腰三角形，∠A = ∠B，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB + 2∠A = 180°，
即 x + 2(2x - 180) = 180，
解得 x = 108。
【答案】
108°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题将圆的基本性质和三角形相关知识结合考查，通过设未知数列方程的方法求解角度，解题关键是准确找到各角之间的等量关系，是圆的基础概念部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆的半径相等，可知△AOB和△COD均为等腰三角形，两个三角形的内角都满足内角和为180°。我们可以设∠AOB的度数为未知数，结合题目给出的∠AOB与∠C的关系、∠COD与∠A的相等关系，把其余角用含未知数的式子表示，最后利用△AOB的内角和列方程求解即可。
【解析】
设∠AOB = x°，
∵ ∠AOB + ∠C = 180°，
∴ ∠C = (180 - x)°，
∵ OC、OD是⊙O的半径，OC=OD，
∴ △COD为等腰三角形，
∴ ∠COD = 180° - 2∠C = 180° - 2(180 - x)° = (2x - 180)°，
又
∵ ∠COD = ∠A，
∴ ∠A = (2x - 180)°，
∵ OA、OB是⊙O的半径，OA=OB，
∴ △AOB为等腰三角形，∠A = ∠B，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB + 2∠A = 180°，
即 x + 2(2x - 180) = 180，
解得 x = 108。
【答案】
108°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题将圆的基本性质和三角形相关知识结合考查，通过设未知数列方程的方法求解角度，解题关键是准确找到各角之间的等量关系，是圆的基础概念部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
12.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，AB的延长线和CD的延长线交于点E，已知$AB=2DE$，若$△ COD$为直角三角形，求$∠ E$的度数.
答案
12.$\because AB$是$\odot O$的直径,$AB=2DE,\therefore AB=2DO=2DE,\therefore ∠ DOE=∠ E$,
$\because △ COD$为直角三角形,$OC=OD,\therefore △ COD$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ CDO=45°$,
$\because ∠ CDO=∠ DOE+∠ E=2∠ E,\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ CDO=\frac{1}{2}×45°=22.5°$.
$\because △ COD$为直角三角形,$OC=OD,\therefore △ COD$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ CDO=45°$,
$\because ∠ CDO=∠ DOE+∠ E=2∠ E,\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ CDO=\frac{1}{2}×45°=22.5°$.
解析
【分析】
解题时首先结合圆的基本性质，直径长度是半径的2倍，由已知AB=2DE可推出半径OD与DE相等，进而得到△ODE为等腰三角形，得出∠DOE=∠E；再根据△COD是直角三角形且OC、OD都是半径长度相等，判断出△COD是等腰直角三角形，得到∠CDO的度数；最后利用三角形外角的性质，∠CDO是△ODE的外角，等于两个不相邻内角的和，代入前面得到的等量关系即可求出∠E的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ AB=2OD，
又
∵ AB=2DE，
∴ OD=DE，
∴ ∠DOE=∠E（等腰三角形两底角相等）。
∵ OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴ OC=OD，
又
∵ △COD为直角三角形，
∴ △COD是等腰直角三角形，
∴ ∠CDO=45°。
∵ ∠CDO是△ODE的外角，
∴ ∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E，
∴ $∠E=\frac{1}{2}∠CDO=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题核心是利用圆的半径相等得到线段等量关系，再结合等腰三角形和外角的性质推导角度关系，属于圆章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合圆的基本性质，直径长度是半径的2倍，由已知AB=2DE可推出半径OD与DE相等，进而得到△ODE为等腰三角形，得出∠DOE=∠E；再根据△COD是直角三角形且OC、OD都是半径长度相等，判断出△COD是等腰直角三角形，得到∠CDO的度数；最后利用三角形外角的性质，∠CDO是△ODE的外角，等于两个不相邻内角的和，代入前面得到的等量关系即可求出∠E的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ AB=2OD，
又
∵ AB=2DE，
∴ OD=DE，
∴ ∠DOE=∠E（等腰三角形两底角相等）。
∵ OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴ OC=OD，
又
∵ △COD为直角三角形，
∴ △COD是等腰直角三角形，
∴ ∠CDO=45°。
∵ ∠CDO是△ODE的外角，
∴ ∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E，
∴ $∠E=\frac{1}{2}∠CDO=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题核心是利用圆的半径相等得到线段等量关系，再结合等腰三角形和外角的性质推导角度关系，属于圆章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中$∠ C=90°$.
(1)求证:$A$,$B$,$C$三点在同一个圆上.并在图中画出该圆.
(2)点$P$是$AB$的延长线上一点,点$M$是(1)中所画的圆上异于点$A$,$B$的一点,连接$PM$,求证:$PB＜PM＜PA$.
(1)求证:$A$,$B$,$C$三点在同一个圆上.并在图中画出该圆.
(2)点$P$是$AB$的延长线上一点,点$M$是(1)中所画的圆上异于点$A$,$B$的一点,连接$PM$,求证:$PB＜PM＜PA$.
答案
13.(1)取$AB$的中点$O$,连接$CO$.
$\because ∠ ACB=90 °,\therefore CO=AO=BO$,故$A,B,C$三点在同一个圆上,圆心为点$O$.
画图略.
(2)连接$OM$,在$△ POM$中,$PO-OM＜PM＜PO+OM$.
$\because OM=OB=OA,\therefore PO-OB＜PM＜PO+OA$,即$PB＜PM＜PA$.
解析
【分析】
(1)要证明三个点在同一个圆上，根据圆的定义，需证明这三个点到同一个定点的距离相等。已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，联想直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AB中点O，即可得到A、B、C到O的距离相等，从而证明三点共圆，再以O为圆心、OA为半径画圆即可。
(2)要证明PB＜PM＜PA，结合(1)得到的圆，M在圆上可知OM为半径，与OA、OB长度相等，因此考虑在△POM中利用三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，再将线段等量替换即可得到结论。
【解析】
(1) 取AB的中点O，连接CO。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CO=AO=BO$，
因此A、B、C三点在以O为圆心，OA长为半径的同一个圆上。
以点O为圆心，OA长度为半径作圆即为所求圆（画图略）。
(2) 连接OM，
∵ 点M在(1)中所作的圆上，
∴ $OM=OB=OA$，
在△POM中，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$PO-OM＜PM＜PO+OM$，
将$OM=OB$、$OM=OA$代入上式，得：
$PO-OB＜PM＜PO+OA$，
其中$PO-OB=PB$，$PO+OA=PA$，
因此$PB＜PM＜PA$。
【答案】
13.(1)取$AB$的中点$O$,连接$CO$.
$\because ∠ ACB=90 °,\therefore CO=AO=BO$,故$A,B,C$三点在同一个圆上,圆心为点$O$.
画图略.
(2)连接$OM$,在$△ POM$中,$PO-OM＜PM＜PO+OM$.
$\because OM=OB=OA,\therefore PO-OB＜PM＜PO+OA$,即$PB＜PM＜PA$.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的定义、三角形三边关系
【点评】
本题基础考察圆的判定和线段不等关系的证明，解题的核心是利用直角三角形的性质确定共圆的圆心，再结合圆半径相等的性质和三角形三边关系完成线段关系的推导，能帮助学生加深对圆的基本概念的理解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明三个点在同一个圆上，根据圆的定义，需证明这三个点到同一个定点的距离相等。已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，联想直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AB中点O，即可得到A、B、C到O的距离相等，从而证明三点共圆，再以O为圆心、OA为半径画圆即可。
(2)要证明PB＜PM＜PA，结合(1)得到的圆，M在圆上可知OM为半径，与OA、OB长度相等，因此考虑在△POM中利用三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，再将线段等量替换即可得到结论。
【解析】
(1) 取AB的中点O，连接CO。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CO=AO=BO$，
因此A、B、C三点在以O为圆心，OA长为半径的同一个圆上。
以点O为圆心，OA长度为半径作圆即为所求圆（画图略）。
(2) 连接OM，
∵ 点M在(1)中所作的圆上，
∴ $OM=OB=OA$，
在△POM中，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$PO-OM＜PM＜PO+OM$，
将$OM=OB$、$OM=OA$代入上式，得：
$PO-OB＜PM＜PO+OA$，
其中$PO-OB=PB$，$PO+OA=PA$，
因此$PB＜PM＜PA$。
【答案】
13.(1)取$AB$的中点$O$,连接$CO$.
$\because ∠ ACB=90 °,\therefore CO=AO=BO$,故$A,B,C$三点在同一个圆上,圆心为点$O$.
画图略.
(2)连接$OM$,在$△ POM$中,$PO-OM＜PM＜PO+OM$.
$\because OM=OB=OA,\therefore PO-OB＜PM＜PO+OA$,即$PB＜PM＜PA$.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的定义、三角形三边关系
【点评】
本题基础考察圆的判定和线段不等关系的证明，解题的核心是利用直角三角形的性质确定共圆的圆心，再结合圆半径相等的性质和三角形三边关系完成线段关系的推导，能帮助学生加深对圆的基本概念的理解。
【难度系数】
0.7
