7[2026宁波镇海期中]如图是由全等的含$60°$角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫作格点，其中点$A$，$B$，$C$在格点上，则$\tan∠ CAB$的值为（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

7.B

8如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，点D在边AC上，$∠ CBD=∠ A$。若$AC=4$，$\cos A=\dfrac{4}{5}$，则BD的长为。

8.$\frac{15}{4}$

9 如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，$∠ C = 45°$，$\sin B = \frac{1}{3}$，AD=1.求：
(1) BC的长；
(2) $\tan ∠ DAE$的值.

(1) 因为AD是BC边上的高,所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$. 因为$∠ ADC=90°,∠ C=45°,AD=1$,所以 $DC=AD=1$. 在$△ ADB$ 中,$∠ ADB=90°$,$\sin B = \frac{1}{3}$,$AD = 1$, 所以 $AB = \frac{AD}{\sin B}=3$. 所以 $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2}=2\sqrt{2}$. 所以 $BC = BD + DC=2\sqrt{2}+1$
(2) 因为AE是BC边上的中线,所以 $CE=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$. 所以 $DE = CE - CD=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$. 所以 $\tan ∠ DAE=\frac{DE}{AD}=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$

10 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$，$E$分别在$AC$，$AB$上，$BD$平分$∠ ABC$，$DE ⊥ AB$，垂足为$E$，$AE=6$，$\cos A=\dfrac{3}{5}$。求：
(1) $CD$的长；
(2) $\tan ∠ DBC$的值。

(1) 在$\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,由 $AE=6$,$\cos A=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$,得 $AD=10$. 由勾股定理,得 $DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2}=8$. 因为BD平分$∠ ABC$,$DE⊥ AB$,$∠ C=90°$,即 $DC⊥ BC$,所以 $CD=DE=8$
(2) 由(1),得 $AC = AD + CD = 18$. 因为在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$,所以 $AB=30$. 由勾股定理,得 $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}=24$. 所以 $\tan ∠ DBC=\frac{DC}{BC}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$

11 [2025 金华婺城期末]如图,将 $Rt△ ABC$ 以直角顶点 C 为旋转中心,按顺时针方向旋转 $90°$ 得到 $Rt△ DEC$,延长 AB,交 DE 于点 F.若 $\tan A=k$,求 $\frac{BF}{EF}$ 的值.

在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\tan A=\frac{BC}{AC}=k$,设 $AC=a$,则 $BC=ak$. 由旋转的性质,得 $CD=AC=a$,$CE=BC=ak$,$∠ D=∠ A$,所以 $BD=CD-BC=a-ak$,$AE=AC+CE=a+ak$. 因为$∠ A + ∠ ABC=90°$,$∠ ABC=∠ DBF$,$∠ D=∠ A$,所以 $∠ D + ∠ DBF=90°$. 所以$∠ DFB=90°$. 所以$△ DBF$ 和$△ AEF$ 都是直角三角形. 在 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中,$\sin D=\frac{BF}{BD}=\frac{BF}{a-ak}$. 在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中,$\sin A=\frac{EF}{AE}=\frac{EF}{a+ak}$. 因为$∠ D=∠ A$,所以$\frac{BF}{a-ak}=\frac{EF}{a+ak}$. 所以$\frac{BF}{EF}=\frac{1-k}{1+k}$