8. 如图,在$△ ABC$中,$CE ⊥ AB$,垂足为$E$,$BD ⊥ AC$,垂足为$D$,$CE$与$BD$交于点$F$,则图中与$△ BEF$不相似的是 ()

A.$△ ABD$
B.$△ CDF$
C.$△ BCD$
D.$△ ACE$

8. C 解析:A.
∵ $CE ⊥ AB, BD ⊥ AC$,
∴ ∠BEF = ∠BDA = 90°.
∵ ∠ABD = ∠FBE,
∴ △BEF ∽ △BDA, 不符合题意; B.
∵ $CE ⊥ AB, BD ⊥ AC$,
∴ ∠BEF = ∠CDF = 90°.
∵ ∠EFB = ∠DFC,
∴ △BEF∽△CDF,不符合题意;C. 条件不足,无法证明△BEF 与△BCD 相似,符合题意;D. 由 B 选项知△BEF∽△CDF,
∴ ∠EBF = ∠ECA.
∵ ∠BEF = ∠AEC = 90°,
∴ △BEF∽△CEA,不符合题意.故选 C.

【分析】
要解决本题，首先明确△BEF是直角三角形（∠BEF=90°），我们可以用“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理来分析。解题时逐个分析选项：先确认各选项三角形的直角，再判断是否存在另一组与△BEF相等的角，若能找到两组相等的角则两三角形相似，反之则不相似，最终选出不相似的选项即可。
【解析】
已知$CE ⊥ AB$，$BD ⊥ AC$，因此$∠ BEF=∠ CEA=∠ BDA=∠ BDC=90°$。
A. 在$△ BEF$和$△ ABD$中，$∠ BEF=∠ BDA=90°$，$∠ EBF=∠ ABD$（公共角），由两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ BEF ∽ △ ABD$，不符合题意；
B. 在$△ BEF$和$△ CDF$中，$∠ BEF=∠ CDF=90°$，$∠ BFE=∠ CFD$（对顶角相等），由两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ BEF ∽ △ CDF$，不符合题意；
C. $△ BCD$是直角三角形（$∠ BDC=90°$），但无法证明$△ BEF$与$△ BCD$存在另一组相等的角，因此无法证明二者相似，符合题意；
D. 由B选项的$△ BEF ∽ △ CDF$可得$∠ EBF=∠ DCF$，在$△ BEF$和$△ ACE$中，$∠ BEF=∠ CEA=90°$，$∠ EBF=∠ ACE$，由两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ BEF ∽ △ ACE$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.垂直的性质
3.对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题的核心是熟练掌握两角分别相等判定三角形相似的定理，结合图形中的公共角、对顶角、相等角的推导逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7

9. （牡丹江中考）如图，在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=10$，点$E$在$BC$边上，$DF ⊥ AE$，垂足为$F$。若$DF=6$，则线段$EF$的长为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

9. B 解析:
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ $AB = CD = 3, BC = AD = 10, AD // BC$,
∴ ∠AEB = ∠DAF. 又 ∠B = ∠F = 90°,
∴ △AFD∽△EBA,
∴ $\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{AE}=\frac{DF}{AB}$.
∵ $DF = 6$,
∴ $AF = \sqrt{AD^2-DF^2} = \sqrt{10^2-6^2} = 8$,
∴ $\frac{8}{BE}=\frac{10}{AE}=\frac{6}{3}=2$,
∴ $AE = 5$,
∴ $EF=AF-AE=8-5=3$.故选 B.

【分析】
解题时首先从矩形的性质入手，矩形对边平行且相等、四个角均为直角，结合DF⊥AE的垂直条件，可找到两组相等的角，证明△AFD和△EBA相似；接下来先在Rt△AFD中用勾股定理求出AF的长度，再利用相似三角形的对应边成比例求出AE的长度，最后用AF减去AE即可得到EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ $AB = CD = 3$，$BC = AD = 10$，$AD // BC$，
∴ $∠AEB = ∠DAF$。
又
∵ $∠B = ∠AFD = 90°$，
∴ $△ AFD ∽ △ EBA$，
∴ $\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{AE}=\frac{DF}{AB}$。
在$Rt△ AFD$中，$AD=10$，$DF=6$，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AD^2-DF^2} = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64}=8$，
代入相似比得$\frac{DF}{AB}=\frac{6}{3}=2$，即$\frac{AD}{AE}=2$，
∴ $\frac{10}{AE}=2$，解得$AE=5$，
∴ $EF=AF-AE=8-5=3$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，将矩形性质、相似三角形、勾股定理结合考查，解题的核心是准确识别相似三角形，熟练运用勾股定理和相似三角形的比例关系计算线段长度，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

10. ★★★（南京中考）如图，在$△ ABC$中，$BC$的垂直平分线$MN$交$AB$于点$D$，$CD$平分$∠ ACB$。若$AD=2$，$BD=3$，则$AC$的长为。

10. $\sqrt{10}$ 解析:
∵ BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D,
∴ $CD= BD = 3$,
∴ ∠B = ∠DCB, $AB = AD + BD = 5$.
∵ CD 平分∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠DCB = ∠B.
∵ ∠A = ∠A,
∴ △ACD∽△ABC,
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
∴ $AC^2 = AD · AB = 2×5 = 10$,
∴ $AC = \sqrt{10}$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到MN是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到CD=BD，同时推出∠B=∠DCB；再结合CD平分∠ACB，可得到∠ACD=∠DCB，进而推出∠ACD=∠B；此时观察△ACD和△ABC，二者有公共角∠A，结合刚才得到的等角，可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列等式即可求出AC的长度。
【解析】
∵ BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴ $CD = BD = 3$，
∴ $∠ B = ∠ DCB$，$AB = AD + BD = 2 + 3 = 5$。
∵ CD平分$∠ ACB$，
∴ $∠ ACD = ∠ DCB = ∠ B$。
又
∵ $∠ A = ∠ A$，
∴ $△ ACD ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴ $AC^2 = AD · AB = 2×5 = 10$，
∵ AC为线段长度，取正值，
∴ $AC = \sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
垂直平分线的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将线段垂直平分线、角平分线的性质与相似三角形的知识结合考查，解题的核心是通过角的等量转化找到相似三角形，再利用相似的比例关系求解未知边长，这类题是几何模块的常考题型。
【难度系数】
0.6

11. 如图, 在$△ ABC$与$△ AEF$中,$AB=AE$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E$,$AB$交$EF$于点$D$,给出下列结论.①$∠ AFC=∠ C$;②$DF=CF$;③$△ ADE ∽ △ FDB$;④$∠ BFD=∠ CAF$.其中正确的结论是________(填序号).

11. ①③④ 解析: 在 △AEF 和 △ABC 中,
∵ $\begin{cases} AE=AB, \\ ∠E=∠B, \\ EF=BC, \end{cases}$
∴ △AEF≌△ABC ( SAS ),
∴ $AF = AC$,
∴ ∠AFC = ∠C,
∴ ①正确;DF=CF 不正确,理由:假设 DF=CF,
∵ △AEF≌△ABC,
∴ ∠AFD = ∠C, $AF = AC$,
∴ △ACF≌△AFD,
∴ ∠DAF=∠FAC,原题中无 AF 为∠BAC 平分线这一条件,
∴ ②错误;
∵ ∠E = ∠B, ∠EDA = ∠BDF,
∴ △ADE∽△FDB,
∴ ③正确;
∵ △AEF≌△ABC,
∴ ∠EAF = ∠BAC,
∴ ∠EAF - ∠DAF = ∠BAC - ∠DAF,
∴ ∠EAD = ∠CAF.
∵ △ADE∽△FDB,
∴ ∠BFD = ∠EAD = ∠CAF,
∴ ④正确.

【分析】
解题时首先根据已知的边、角相等条件，优先判定△AEF和△ABC全等，得到对应边、对应角相等的结论后，再逐一分析4个结论：①利用全等得到的AF=AC，结合等腰三角形底角相等即可判断；②若要DF=CF需满足的全等条件题目未给出，可判断不成立；③找两组对应角相等即可判定两三角形相似；④结合全等的角相等、相似的对应角相等进行等量代换即可判断。
【解析】
首先证明△AEF≌△ABC：
在△AEF和△ABC中，
$\begin{cases}AE=AB\\∠E=∠B\\EF=BC\end{cases}$
∴△AEF≌△ABC（SAS）
∴$AF=AC$，$∠EAF=∠BAC$。
1. 验证结论①：
∵$AF=AC$，△AFC为等腰三角形，
∴$∠AFC=∠C$，故①正确。
2. 验证结论②：
假设$DF=CF$，结合$AF=AC$、$∠AFD=∠C$，可推出△ACF≌△AFD，即需要$∠DAF=∠FAC$，但题目未给出AF平分∠BAC的条件，故②错误。
3. 验证结论③：
在△ADE和△FDB中，$∠E=∠B$，$∠EDA=∠BDF$（对顶角相等），两角对应相等，
∴△ADE∽△FDB，故③正确。
4. 验证结论④：
∵$∠EAF=∠BAC$，
∴$∠EAF-∠DAF=∠BAC-∠DAF$，即$∠EAD=∠CAF$。
又
∵△ADE∽△FDB，
∴$∠BFD=∠EAD$，等量代换得$∠BFD=∠CAF$，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是先通过SAS判定三角形全等，得到边角相等的基础结论，再结合等腰三角形、相似三角形的相关性质逐一验证结论，解题时需注意不能默认题目未给出的条件，避免判断失误。
【难度系数】
0.7

12. ★★★ 如图,点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点,连接 CP 并延长,交 AD 于点 E,交 BA 的延长线于点 F.
求证:$△ APE ∽ △ FPA$.

12.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $AD=CD, AB//CD, ∠BDA = ∠BDC$,在 △CDP 和 △ADP 中, $\begin{cases} AD=CD, \\ ∠PDA=∠PDC, \\ DP=DP, \end{cases}$
∴ △ADP ≌ △CDP(SAS),
∴ ∠DCP = ∠DAP.
∵ $AB // CD$,
∴ ∠DCP = ∠F,
∴ ∠PAE = ∠F.
∵ ∠APE = ∠FPA,
∴ △APE∽△FPA.

【分析】
要证明△APE∽△FPA，优先考虑用两角分别相等的相似判定定理。观察两个三角形可知二者有公共角∠APE=∠FPA，因此只需再证明一组对应角相等，即∠PAE=∠F即可。首先利用菱形的性质：邻边相等、对角线平分内角、对边平行，先证△ADP≌△CDP得到∠DCP=∠DAP，再结合AB//CD推出内错角∠DCP=∠F，通过等量代换得到∠PAE=∠F，即可满足相似的判定条件。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AD=CD, AB//CD, ∠BDA = ∠BDC$，
在 △CDP 和 △ADP 中，
$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠PDA=∠PDC, \\ DP=DP, \end{cases}$
∴ △ADP ≌ △CDP(SAS)，
∴ ∠DCP = ∠DAP。
∵ $AB // CD$，
∴ ∠DCP = ∠F（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠PAE = ∠F。
又
∵ ∠APE = ∠FPA（公共角），
∴ △APE∽△FPA（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△APE∽△FPA，得证。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题综合考查特殊四边形、全等三角形、相似三角形的相关知识，解题关键是通过菱形性质结合全等实现角的等量转换，进而找到相似判定所需的等角，逻辑连贯，属于几何基础综合题。
【难度系数】
0.65

13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是高,$BE$平分$∠ ABC$,$BE$分别与$AC$,$CD$相交于点$E$,$F$.
(1)求证:$△ AEB ∽ △ CFB$;
(2)求证:$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}$;
(3)若$CE=5$,$EF=2\sqrt{5}$,$BD=6$,求$AD$的长.

13. (1)
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACD+∠BCD = 90°.
∵ CD 为 AB 边上的高,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ ∠A + ∠ACD = 90°,
∴ ∠A = ∠BCD.
∵ BE 是 ∠ABC 的平分线, ∠ABE = ∠CBE,
∴ △AEB∽△CFB.
(2)
∵ ∠ABE = ∠CBE, ∠A = ∠BCD,
∴ ∠CFE = ∠BCD+∠CBE = ∠A+∠ABE.
∵ ∠CEF = ∠A+∠ABE,
∴ ∠CEF = ∠CFE,
∴ $CE = CF$.
∵ △AEB ∽ △CFB,
∴ $\frac{AE}{CF}=\frac{AB}{CB}$,
∴ $\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}$.
(3)如图,作 $CH ⊥ EF$ 于点 H.
∵ $CE = CF = 5, CH ⊥ EF$,
∴ $EH = FH = \frac{1}{2}EF = \sqrt{5}$,
∴ $CH = \sqrt{EC^2-EH^2} = \sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{5}$.
∵ ∠BFD = ∠CFH, ∠CHF = ∠BDF = 90°,
∴ △BFD∽△CFH,
∴ $\frac{DF}{HF}=\frac{BD}{CH}$,
∴ $\frac{DF}{\sqrt{5}}=\frac{6}{2\sqrt{5}}$,
∴ $DF = 3, CD = CF+DF = 8$.
∵ ∠ACD = 90°-∠DCB = ∠CBD, ∠ADC = ∠CDB = 90°,
∴ △ACD∽△CBD,
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$,
∴ $\frac{AD}{8}=\frac{8}{6}$,
∴ $AD=\frac{32}{3}$.

【分析】
(1) 要证明△AEB∽△CFB，可根据相似三角形的AA判定定理，寻找两组对应角相等。先利用直角三角形两锐角互余推导∠A=∠BCD，再结合BE是∠ABC的平分线得到∠ABE=∠CBE，即可完成相似证明。
(2) 要证比例式$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}$，先通过三角形外角性质推导∠CEF=∠CFE，得到CE=CF，再结合(1)的相似结论，将比例式中的CF替换为CE即可得证。
(3) 求AD的长，先作辅助线CH⊥EF，利用等腰三角形三线合一得到EH=FH，用勾股定理求CH的长度；再证明△BFD∽△CFH，列比例式求DF的长，得到CD的长度；最后证明△ACD∽△CBD，利用相似三角形对应边成比例即可求出AD。
【解析】
(1)
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACD+∠BCD = 90°.
∵ CD 为 AB 边上的高,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ ∠A + ∠ACD = 90°,
∴ ∠A = ∠BCD.
∵ BE 是 ∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABE = ∠CBE,
∴ △AEB∽△CFB.
(2)
∵ ∠ABE = ∠CBE, ∠A = ∠BCD,
∴ ∠CFE = ∠BCD+∠CBE = ∠A+∠ABE.
∵ ∠CEF = ∠A+∠ABE,
∴ ∠CEF = ∠CFE,
∴ $CE = CF$.
∵ △AEB ∽ △CFB,
∴ $\frac{AE}{CF}=\frac{AB}{CB}$,
∴ $\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}$.
(3)
如图,作 $CH ⊥ EF$ 于点 H.
∵ $CE = CF = 5, CH ⊥ EF$,
∴ $EH = FH = \frac{1}{2}EF = \sqrt{5}$,
∴ $CH = \sqrt{EC^2-EH^2} = \sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{5}$.
∵ ∠BFD = ∠CFH, ∠CHF = ∠BDF = 90°,
∴ △BFD∽△CFH,
∴ $\frac{DF}{HF}=\frac{BD}{CH}$,
∴ $\frac{DF}{\sqrt{5}}=\frac{6}{2\sqrt{5}}$,
∴ $DF = 3, CD = CF+DF = 8$.
∵ ∠ACD = 90°-∠DCB = ∠CBD, ∠ADC = ∠CDB = 90°,
∴ △ACD∽△CBD,
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$,
∴ $\frac{AD}{8}=\frac{8}{6}$,
∴ $AD=\frac{32}{3}$.

【答案】
(1) 证明成立；
(2) 证明成立；
(3) $AD=\frac{32}{3}$

【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题三个小问层层递进，前一问的结论可为后一问的解题提供支撑，解题时要注意知识的前后关联。需要熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用角平分线性质、等腰三角形三线合一等知识，必要时构造辅助线简化线段长度的求解过程。
【难度系数】
0.6