1. 已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（）

1. C 解析:△MNP是底角为75°,顶角为30°的等腰三角形,要与之相似必定也是顶角为30°,底角为75°的等腰三角形,只有C选项符合.故选C.

【分析】
要判断哪个三角形与△MNP相似，首先需先明确△MNP的各内角度数，再结合相似三角形“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一比对选项中三角形的内角度数即可找到答案。第一步先利用等腰三角形性质和三角形内角和定理计算△MNP的三个内角；第二步逐一分析各选项三角形的内角，找到和△MNP三个角对应相等的选项即可。
【解析】
首先计算△MNP的内角度数：
已知△MNP是等腰三角形，顶角为30°，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得两个底角的度数为：
$\frac{180° - 30°}{2}=75°$
即△MNP的三个内角分别为30°、75°、75°。
根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，可知与△MNP相似的三角形也需满足三个内角为30°、75°、75°。
逐一分析选项：仅C选项是顶角为30°的等腰三角形，底角为75°，三个内角与△MNP对应相等，故与△MNP相似。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题关键是先求出已知三角形的内角度数，再结合两角相等的相似判定定理比对选项即可，解题时注意不要混淆等腰三角形的顶角和底角。
【难度系数】
0.8

2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若$OA · OC = OB · OD$，则下列结论中一定正确的是（）

A.①和②相似
B.②和③相似
C.①和④相似
D.②和④相似

2. D 解析:由 $OA · OC = OB · OD$,得$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$ ,又 $∠AOD = ∠BOC$,所以$△AOD∽△BOC$.故选 D.

【分析】
要判断哪组三角形相似，首先回忆相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。第一步先把已知的乘积式$OA·OC = OB·OD$转化为比例式，第二步找到比例式中四条边所属的三角形，再看两边的夹角是否相等，即可判断相似的三角形。
【解析】
已知$OA · OC = OB · OD$，等式两边同时除以$OB·OC$，可变形为比例式$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$。
又因为∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角的性质可得$∠AOD = ∠BOC$。
根据相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可推出$△ AOD ∽ △ BOC$。
其中$△ AOD$是编号为②的三角形，$△ BOC$是编号为④的三角形，因此②和④相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题关键是正确将乘积式转化为比例式，准确找到对应边的相等夹角，熟练掌握判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

3. | 新趋势·开放性试题（邵阳中考）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC.

3. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$(答案不唯一) 解析:已知$∠DAE=∠BAC$,添加条件$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,即可根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定$△ADE∽△ABC$(答案不唯一).

【分析】
要判定△ADE∽△ABC，首先观察两个三角形的公共特征：∠DAE与∠BAC是公共角，已经满足一组对应角相等的条件。结合相似三角形的判定定理，有两种可行的添加条件的思路：一是再添加一组对应角相等，二是添加这组公共角的两组夹边对应成比例，两种思路都能满足相似三角形的判定要求，据此写出符合要求的条件即可。
【解析】
已知在△ADE和△ABC中，∠DAE=∠BAC（公共角相等）。
根据相似三角形的判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可添加条件$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，此时即可判定△ADE∽△ABC。
除此之外，添加∠ADE=∠B、∠AED=∠C、DE//BC等条件，也都符合相似三角形的判定规则，均可判定△ADE∽△ABC，答案不唯一。
【答案】
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定，公共角的性质
【点评】
本题属于开放性试题，主要考查对相似三角形判定定理的理解和灵活运用能力，解题时先找到已知的公共相等角，再结合判定定理补充所需条件即可，符合要求的条件有多种，合理即可。
【难度系数】
0.8

4. 如图, 在四边形ABCD中, AC平分∠BAD,且AB=4,AC=6.当AD=时,
△ABC∽△ACD.

4. 9 解析:
∵ AC平分∠BAD,
∴ ∠BAC = ∠DAC,当$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$时,$△ABC∽△ACD$,即$AC^2 = AB · AD$.
∵ AB = 4,AC = 6,
∴ $6^2 = 4AD$,
∴ AD=9.故答案为9.

【分析】
要使△ABC∽△ACD，首先根据已知AC平分∠BAD，可得到一组相等的角：∠BAC=∠DAC。结合相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，这组相等的角就是两个三角形的夹角，因此只需让夹这组角的两组对应边成比例，即可列出比例式代入已知边长求解AD的长度。
【解析】
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAC = ∠DAC，
根据相似三角形的判定定理，当$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$时，△ABC∽△ACD，
交叉相乘可得：$AC^2 = AB · AD$，
将AB=4，AC=6代入得：$6^2 = 4AD$，
即$36=4AD$，解得$AD=9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的定义、相似三角形的判定、比例的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用题，解题的关键是先确定两个三角形的公共相等角，再结合判定定理匹配对应的成比例边，注意不要混淆对应边，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8

5. ★★ 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$CA=4$,点$D$为$AC$中点,点$E$在$AB$上,当$AE$为时,$△ ABC$与以点$A,D,E$为顶点的三角形相似.

5. 3或$\frac{4}{3}$ 解析:当$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AC}$时,
∵ ∠A = ∠A,
∴ $△AED∽△ABC$,
∴ $AE=\frac{AB · AD}{AC}=\frac{6×2}{4}=3$.当 $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$时,
∵ ∠A = ∠A,
∴ $△ADE∽△ABC$,
∴ $AE=\frac{AC · AD}{AB}=\frac{4×2}{6}=\frac{4}{3}$.综上,$AE=3$ 或$\frac{4}{3}$.故答案为3或$\frac{4}{3}$.

【分析】
本题中△ABC和以A、D、E为顶点的三角形有公共角∠A，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，只需夹∠A的两组边对应成比例即可证相似。由于两个三角形的对应顶点未明确，因此需要分两种情况讨论对应边的比例关系，先根据中点定义求出AD的长度，再分别代入比例式计算AE的长度即可。
【解析】
解：
∵点D是AC的中点，AC=4，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
∠A是△ABC和△ADE的公共角，分两种情况讨论：
① 当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时，$△ AED ∽ △ ABC$，
代入数据得$\frac{AE}{6}=\frac{2}{4}$，
解得$AE=\frac{6×2}{4}=3$；
② 当$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$时，$△ ADE ∽ △ ABC$，
代入数据得$\frac{AE}{4}=\frac{2}{6}$，
解得$AE=\frac{4×2}{6}=\frac{4}{3}$。
综上，AE的长为3或$\frac{4}{3}$。
【答案】
3或$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；分类讨论思想；线段中点的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型应用题型，解题的核心是明确当相似三角形对应顶点未给出时，要分情况讨论对应边的比例关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6

6. (2024·广州中考)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，BE=3，EC=6，CF=2.求证：△ABE∽△ECF.

6.
∵ BE=3,EC=6,
∴ BC=9.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB=CB=9,∠B=∠C=90°.
∵ $\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$,$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$,
∴ $\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$
∴ $△ABE∽△ECF$.

【分析】
要证明△ABE∽△ECF，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。首先根据已知的BE、EC长度求出正方形的边长，得到AB的长度；再结合正方形的性质可得∠B=∠C=90°，接下来分别计算两组对应边的比值，验证比值相等后，即可结合夹角相等的条件证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ BE=3，EC=6，
∴ BC=BE+EC=9，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=CB=9，∠B=∠C=90°，
∴ $\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
又
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ △ABE∽△ECF。
【答案】
∵ BE=3,EC=6,
∴ BC=9.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB=CB=9,∠B=∠C=90°.
∵ $\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$,$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$,
∴ $\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$
∴ $△ABE∽△ECF$.
【知识点】
1.正方形的性质
2.相似三角形的判定
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是熟练掌握正方形的性质，准确找到两个三角形的对应边，计算对应边的比值后结合夹角相等的条件即可完成证明，侧重考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.85

7. ★★ 如图,在等边三角形ABC中,点E,F分别在AC,BC上,且AE·AC=AP·AF,那么下列不正确的是 ()

A.△AEP∽△AFC
B.△ABP∽△PAE
C.△PBF∽△BAF
D.△PBF∽△CBE

7. B 解析:
∵ $AE · AC=AP · AF$,$△ABC$是等边三角形,
∴ $\frac{AE}{AP}=\frac{AF}{AC}$,∠C = ∠ABC = 60°.
∵ ∠EAP = ∠FAC,
∴ $△AEP∽△AFC$,
∴ ∠APE = ∠C = 60° = ∠BPF.
∵ ∠BFP = ∠AFB,∠BPF = ∠ABC,
∴ $△PBF∽△BAF$.
∵ ∠PBF = ∠CBE,∠BPF = ∠C,
∴ $△PBF∽△CBE$,所以选项A,C,D正确;在△ABP和△APE中,∠BAP＜∠APE,∠APB＞∠AEP,可知这两个三角形不相似.所以选项B不正确.故选 B.

【分析】
这是等边三角形背景下的相似三角形判定题，解题思路如下：①先将题干给出的等积式转化为比例式，结合公共角先验证A选项的相似是否成立；②利用等边三角形内角均为60°的性质，结合A选项相似得到的等角，依次推导其他选项中的三角形是否满足两角对应相等的相似判定条件；③分析B选项两个三角形的对应角大小关系，判断是否满足相似条件，最终选出不正确的选项。
【解析】
已知$△ ABC$是等边三角形，因此$∠ C=∠ ABC=∠ BAC=60°$。
1. 验证选项A：
由$AE· AC=AP· AF$，变形得$\frac{AE}{AP}=\frac{AF}{AC}$，又$∠ EAP=∠ FAC$（公共角），根据两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，可得$△ AEP∽△ AFC$，故A正确。
2. 由$△ AEP∽△ AFC$可得$∠ APE=∠ C=60°$，因此$∠ BPF=∠ APE=60°$。
3. 验证选项C：
在$△ PBF$和$△ BAF$中，$∠ BFP=∠ AFB$（公共角），$∠ BPF=∠ ABF=60°$，根据两角对应相等的相似判定定理，可得$△ PBF∽△ BAF$，故C正确。
4. 验证选项D：
在$△ PBF$和$△ CBE$中，$∠ PBF=∠ CBE$（公共角），$∠ BPF=∠ C=60°$，根据两角对应相等的相似判定定理，可得$△ PBF∽△ CBE$，故D正确。
5. 验证选项B：
在$△ ABP$和$△ PAE$中，$∠ PAE＜∠ BAC=60°=∠ APE$，$∠ APB=180°-∠ BPF=120°$，$∠ AEP=180°-∠ PAE-∠ APE＞60°$，两个三角形的角无法对应相等，因此$△ ABP$和$△ PAE$不相似，B错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，等边三角形的性质，等积式化比例式
【点评】
本题属于相似三角形判定的常规综合题，解题核心是先将等积式转化为比例式，结合公共角证明第一组相似，再借助等边三角形的内角特性得到等角，逐一验证各选项的相似关系即可，解题时要注意对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.6