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1. 下列计算中，正确的是 （
A.$6x^6 ÷ 3x^3 = 2x^2$
B.$8x^8 ÷ 4x^2 = 2x^6$
C.$(3xy)^2 ÷ 3x = y$
D.$x^2y^2 ÷ (xy)^2 = -xy$
B
）A.$6x^6 ÷ 3x^3 = 2x^2$
B.$8x^8 ÷ 4x^2 = 2x^6$
C.$(3xy)^2 ÷ 3x = y$
D.$x^2y^2 ÷ (xy)^2 = -xy$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查整式的除法相关运算，解题思路如下：首先回忆单项式除以单项式法则、积的乘方法则，运算遵循“有乘方先算乘方，再算除法”的顺序，对四个选项逐一计算，将计算结果和选项给出的结果对比，即可判断正误。其中单项式除以单项式法则为：系数、同底数幂分别相除后作为商的因式，只在被除式里含有的字母连同指数一起作为商的因式；积的乘方法则为：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
【解析】
我们对每个选项逐一运算验证：
A选项：$6x^6 ÷ 3x^3 = (6÷3)·x^{6-3}=2x^3≠2x^2$，因此A错误；
B选项：$8x^8 ÷ 4x^2 = (8÷4)·x^{8-2}=2x^6$，因此B正确；
C选项：先计算乘方：$(3xy)^2=9x^2y^2$，再计算除法：$9x^2y^2 ÷3x=(9÷3)·x^{2-1}·y^2=3xy^2≠y$，因此C错误；
D选项：先计算乘方：$(xy)^2=x^2y^2$，再计算除法：$x^2y^2 ÷x^2y^2=1≠-xy$，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式；积的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考察运算法则的掌握和运算顺序的规范性，计算时要注意区分指数的运算规则，同底数幂相除是指数相减而非相除，有乘方运算时要先算乘方再算除法，避免法则混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的除法相关运算，解题思路如下：首先回忆单项式除以单项式法则、积的乘方法则，运算遵循“有乘方先算乘方，再算除法”的顺序，对四个选项逐一计算，将计算结果和选项给出的结果对比，即可判断正误。其中单项式除以单项式法则为：系数、同底数幂分别相除后作为商的因式，只在被除式里含有的字母连同指数一起作为商的因式；积的乘方法则为：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
【解析】
我们对每个选项逐一运算验证：
A选项：$6x^6 ÷ 3x^3 = (6÷3)·x^{6-3}=2x^3≠2x^2$，因此A错误；
B选项：$8x^8 ÷ 4x^2 = (8÷4)·x^{8-2}=2x^6$，因此B正确；
C选项：先计算乘方：$(3xy)^2=9x^2y^2$，再计算除法：$9x^2y^2 ÷3x=(9÷3)·x^{2-1}·y^2=3xy^2≠y$，因此C错误；
D选项：先计算乘方：$(xy)^2=x^2y^2$，再计算除法：$x^2y^2 ÷x^2y^2=1≠-xy$，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式；积的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考察运算法则的掌握和运算顺序的规范性，计算时要注意区分指数的运算规则，同底数幂相除是指数相减而非相除，有乘方运算时要先算乘方再算除法，避免法则混淆出错。
【难度系数】
0.7
2.×3ab=3a²b,则内应填的代数式是 （
A.ab
B.3ab
C.a
D.3a
C
）A.ab
B.3ab
C.a
D.3a
答案
2.C
解析
【分析】
本题已知乘法运算的积和其中一个因式，求另一个未知因式，解题时可利用乘法与除法的互逆关系：一个因式=积÷另一个已知因式，将问题转化为单项式除以单项式的运算，再按照单项式除法法则计算即可得到结果。
【解析】
设方框内应填的代数式为$ M $，根据题意可得：
$ M × 3ab = 3a^2b $
根据乘除互逆关系，得：
$ M = 3a^2b ÷ 3ab $
按照单项式除以单项式的法则计算：
1. 系数相除：$ 3÷3 = 1 $
2. 同底数幂分别相除：$ a^2÷ a = a^{2-1}=a $，$ b÷ b = b^{1-1}=1 $
3. 将所得结果相乘：$ 1× a × 1 = a $
因此方框内应填的代数式是$ a $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘除互逆关系、单项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式除法的运算法则，计算时注意分别处理系数和同底数幂，避免因粗心算错系数或指数。
【难度系数】
0.9
本题已知乘法运算的积和其中一个因式，求另一个未知因式，解题时可利用乘法与除法的互逆关系：一个因式=积÷另一个已知因式，将问题转化为单项式除以单项式的运算，再按照单项式除法法则计算即可得到结果。
【解析】
设方框内应填的代数式为$ M $，根据题意可得：
$ M × 3ab = 3a^2b $
根据乘除互逆关系，得：
$ M = 3a^2b ÷ 3ab $
按照单项式除以单项式的法则计算：
1. 系数相除：$ 3÷3 = 1 $
2. 同底数幂分别相除：$ a^2÷ a = a^{2-1}=a $，$ b÷ b = b^{1-1}=1 $
3. 将所得结果相乘：$ 1× a × 1 = a $
因此方框内应填的代数式是$ a $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘除互逆关系、单项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式除法的运算法则，计算时注意分别处理系数和同底数幂，避免因粗心算错系数或指数。
【难度系数】
0.9
3.一个长方形的面积为$(2mn+3n)\ \mathrm{m}^2$，长为$n\ \mathrm{m}$，则它的宽为 （
A.$(2mn+2n)\ \mathrm{m}$
B.$(2mn^2+3n^2)\ \mathrm{m}$
C.$(2m+3)\ \mathrm{m}$
D.$(2mn+4n)\ \mathrm{m}$
C
）A.$(2mn+2n)\ \mathrm{m}$
B.$(2mn^2+3n^2)\ \mathrm{m}$
C.$(2m+3)\ \mathrm{m}$
D.$(2mn+4n)\ \mathrm{m}$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，已知面积和长，要求宽，只需将公式变形为宽=面积÷长。接下来代入已知的面积和长的表达式，就转化为多项式除以单项式的运算，按照多项式除以单项式的运算法则计算即可得到宽的长度。
【解析】
根据长方形的面积公式可得：
宽 = 长方形面积 ÷ 长
代入已知数据计算：
$\begin{aligned}宽&=(2mn+3n)÷ n\\&=2mn÷ n + 3n÷ n\\&=2m + 3\end{aligned}$
所以长方形的宽为$(2m+3)\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 长方形面积公式
2. 多项式除以单项式运算
【点评】
本题是整式运算与几何公式结合的基础题，核心是掌握长方形面积公式的变形以及多项式除以单项式的运算法则，计算时注意不要漏除多项式的每一项即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，已知面积和长，要求宽，只需将公式变形为宽=面积÷长。接下来代入已知的面积和长的表达式，就转化为多项式除以单项式的运算，按照多项式除以单项式的运算法则计算即可得到宽的长度。
【解析】
根据长方形的面积公式可得：
宽 = 长方形面积 ÷ 长
代入已知数据计算：
$\begin{aligned}宽&=(2mn+3n)÷ n\\&=2mn÷ n + 3n÷ n\\&=2m + 3\end{aligned}$
所以长方形的宽为$(2m+3)\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 长方形面积公式
2. 多项式除以单项式运算
【点评】
本题是整式运算与几何公式结合的基础题，核心是掌握长方形面积公式的变形以及多项式除以单项式的运算法则，计算时注意不要漏除多项式的每一项即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4. $(5m^2 + 15m^3n - 20m^4) ÷ (-5m^2)$的结果是（
A.$4m^2 - 3mn - 1$
B.$1 - 3mn + 4m^2$
C.$-1 - 3m + 4m^2$
D.$4m^2 - 3mn$
A
）A.$4m^2 - 3mn - 1$
B.$1 - 3mn + 4m^2$
C.$-1 - 3m + 4m^2$
D.$4m^2 - 3mn$
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是遵循多项式除以单项式的法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。计算时要注意两点：一是同底数幂相除时底数不变、指数相减；二是要注意每一项的符号，避免因符号判断错误丢分。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分逐项计算：
$\begin{aligned}&(5m^2 + 15m^3n - 20m^4) ÷ (-5m^2)\\=&5m^2÷(-5m^2) + 15m^3n÷(-5m^2) + (-20m^4)÷(-5m^2)\\=&-1 - 3mn + 4m^2\\=&4m^2 - 3mn -1\end{aligned}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查运算规则的掌握情况，运算时要格外注意符号的处理，防止出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是遵循多项式除以单项式的法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。计算时要注意两点：一是同底数幂相除时底数不变、指数相减；二是要注意每一项的符号，避免因符号判断错误丢分。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分逐项计算：
$\begin{aligned}&(5m^2 + 15m^3n - 20m^4) ÷ (-5m^2)\\=&5m^2÷(-5m^2) + 15m^3n÷(-5m^2) + (-20m^4)÷(-5m^2)\\=&-1 - 3mn + 4m^2\\=&4m^2 - 3mn -1\end{aligned}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查运算规则的掌握情况，运算时要格外注意符号的处理，防止出现符号错误。
【难度系数】
0.8
5.已知一个多项式与单项式$-7x^{5}y^{4}$的积为$21x^{5}y^{7}-28x^{6}y^{5}$，则这个多项式是
$-3y^3+4xy$
。答案
5.$-3y^3+4xy$
解析
【分析】
本题已知两个因式的乘积与其中一个因式，求另一个因式，需运用乘法与除法互为逆运算的关系求解，即所求多项式 = 积 ÷ 已知单项式。解题时要用到多项式除以单项式的运算规则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加，计算过程中注意系数符号和同底数幂的指数运算规则。
【解析】
根据题意，所求多项式为：
$(21x^{5}y^{7} - 28x^{6}y^{5}) ÷ (-7x^{5}y^{4})$
按照多项式除以单项式的法则拆分计算：
1. 计算第一项的商：$21x^{5}y^{7} ÷ (-7x^{5}y^{4}) = [21÷(-7)] · x^{5-5} · y^{7-4} = -3y^{3}$
2. 计算第二项的商：$-28x^{6}y^{5} ÷ (-7x^{5}y^{4}) = [(-28)÷(-7)] · x^{6-5} · y^{5-4} = 4xy$
3. 将两个商相加得到最终结果：$-3y^{3} + 4xy$
【答案】
$-3y^3+4xy$
【知识点】
1. 多项式除以单项式
2. 同底数幂的除法
3. 单项式除以单项式
【点评】
本题是整式除法的基础应用题型，核心是理解乘除互逆的运算关系，掌握多项式除以单项式的运算步骤，计算时需重点注意系数符号的处理和同底数幂的指数运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题已知两个因式的乘积与其中一个因式，求另一个因式，需运用乘法与除法互为逆运算的关系求解，即所求多项式 = 积 ÷ 已知单项式。解题时要用到多项式除以单项式的运算规则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加，计算过程中注意系数符号和同底数幂的指数运算规则。
【解析】
根据题意，所求多项式为：
$(21x^{5}y^{7} - 28x^{6}y^{5}) ÷ (-7x^{5}y^{4})$
按照多项式除以单项式的法则拆分计算：
1. 计算第一项的商：$21x^{5}y^{7} ÷ (-7x^{5}y^{4}) = [21÷(-7)] · x^{5-5} · y^{7-4} = -3y^{3}$
2. 计算第二项的商：$-28x^{6}y^{5} ÷ (-7x^{5}y^{4}) = [(-28)÷(-7)] · x^{6-5} · y^{5-4} = 4xy$
3. 将两个商相加得到最终结果：$-3y^{3} + 4xy$
【答案】
$-3y^3+4xy$
【知识点】
1. 多项式除以单项式
2. 同底数幂的除法
3. 单项式除以单项式
【点评】
本题是整式除法的基础应用题型，核心是理解乘除互逆的运算关系，掌握多项式除以单项式的运算步骤，计算时需重点注意系数符号的处理和同底数幂的指数运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
6. 计算：
(1) $9a^9 ÷ 3a^3$；
(2) $\frac{2}{3}a^3b^5 ÷ (-\frac{3}{2}a^2b^2)$；
(3) $(-\frac{2}{5}a^2b^4) ÷ (-\frac{1}{4}ab^2) ÷ (-10ab)$；
(4) $-32a^4b^5c ÷ (-2ab)^3 · (-\frac{3}{4}ac)$。
(1) $9a^9 ÷ 3a^3$；
(2) $\frac{2}{3}a^3b^5 ÷ (-\frac{3}{2}a^2b^2)$；
(3) $(-\frac{2}{5}a^2b^4) ÷ (-\frac{1}{4}ab^2) ÷ (-10ab)$；
(4) $-32a^4b^5c ÷ (-2ab)^3 · (-\frac{3}{4}ac)$。
答案
6.(1)$3a^6$ (2)$-\frac{4}{9}ab^3$ (3)$-\frac{4}{25}b$ (4)$-3a^2b^2c^2$
解析
【分析】
这组题目是单项式的乘除运算题，解题思路如下：1. 牢记单项式除以单项式法则：系数相除作为商的系数，同底数幂分别相除后作为商的因式，只在被除式里含有的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式；2. 运算顺序：有乘方先算乘方，同级乘除运算从左到右依次计算；3. 计算时优先处理符号，再计算系数的乘除，最后计算同底数幂的指数运算，避免符号、系数、指数三类错误。
【解析】
(1) 按照单项式除以单项式法则计算：
系数相除：$9÷3=3$，同底数幂相除：$a^9÷a^3=a^{9-3}=a^6$，
故原式$=3a^6$。
(2) 先处理符号，再分别计算系数和同底数幂：
系数相除：$\frac{2}{3}÷(-\frac{3}{2})=\frac{2}{3}×(-\frac{2}{3})=-\frac{4}{9}$，
同底数幂相除：$a^3÷a^2=a^{3-2}=a$，$b^5÷b^2=b^{5-2}=b^3$，
故原式$=-\frac{4}{9}ab^3$。
(3) 同级运算从左到右依次计算：
第一步先算前两个单项式的除法：
$(-\frac{2}{5}a^2b^4)÷(-\frac{1}{4}ab^2)=[(-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{4})]a^{2-1}b^{4-2}=\frac{8}{5}ab^2$，
第二步用结果除以第三个单项式：
$\frac{8}{5}ab^2÷(-10ab)=[\frac{8}{5}÷(-10)]a^{1-1}b^{2-1}=-\frac{4}{25}b$，
故原式$=-\frac{4}{25}b$。
(4) 先算乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
先算乘方：$(-2ab)^3=(-2)^3a^3b^3=-8a^3b^3$，
再算除法：$-32a^4b^5c÷(-8a^3b^3)=[(-32)÷(-8)]a^{4-3}b^{5-3}c=4ab^2c$，
最后算乘法：$4ab^2c·(-\frac{3}{4}ac)=[4×(-\frac{3}{4})]a^{1+1}b^2c^{1+1}=-3a^2b^2c^2$，
故原式$=-3a^2b^2c^2$。
【答案】
(1)$3a^6$；(2)$-\frac{4}{9}ab^3$；(3)$-\frac{4}{25}b$；(4)$-3a^2b^2c^2$
【知识点】
单项式除以单项式，同底数幂的除法，整式乘除混合运算
【点评】
本题重点考查整式乘除的运算能力，解题的核心是熟练掌握单项式乘除的运算法则，运算过程中要格外注意符号的判断、系数的约分以及指数的加减规则，养成按顺序运算的习惯，减少粗心失误。
【难度系数】
0.7
这组题目是单项式的乘除运算题，解题思路如下：1. 牢记单项式除以单项式法则：系数相除作为商的系数，同底数幂分别相除后作为商的因式，只在被除式里含有的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式；2. 运算顺序：有乘方先算乘方，同级乘除运算从左到右依次计算；3. 计算时优先处理符号，再计算系数的乘除，最后计算同底数幂的指数运算，避免符号、系数、指数三类错误。
【解析】
(1) 按照单项式除以单项式法则计算：
系数相除：$9÷3=3$，同底数幂相除：$a^9÷a^3=a^{9-3}=a^6$，
故原式$=3a^6$。
(2) 先处理符号，再分别计算系数和同底数幂：
系数相除：$\frac{2}{3}÷(-\frac{3}{2})=\frac{2}{3}×(-\frac{2}{3})=-\frac{4}{9}$，
同底数幂相除：$a^3÷a^2=a^{3-2}=a$，$b^5÷b^2=b^{5-2}=b^3$，
故原式$=-\frac{4}{9}ab^3$。
(3) 同级运算从左到右依次计算：
第一步先算前两个单项式的除法：
$(-\frac{2}{5}a^2b^4)÷(-\frac{1}{4}ab^2)=[(-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{4})]a^{2-1}b^{4-2}=\frac{8}{5}ab^2$，
第二步用结果除以第三个单项式：
$\frac{8}{5}ab^2÷(-10ab)=[\frac{8}{5}÷(-10)]a^{1-1}b^{2-1}=-\frac{4}{25}b$，
故原式$=-\frac{4}{25}b$。
(4) 先算乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
先算乘方：$(-2ab)^3=(-2)^3a^3b^3=-8a^3b^3$，
再算除法：$-32a^4b^5c÷(-8a^3b^3)=[(-32)÷(-8)]a^{4-3}b^{5-3}c=4ab^2c$，
最后算乘法：$4ab^2c·(-\frac{3}{4}ac)=[4×(-\frac{3}{4})]a^{1+1}b^2c^{1+1}=-3a^2b^2c^2$，
故原式$=-3a^2b^2c^2$。
【答案】
(1)$3a^6$；(2)$-\frac{4}{9}ab^3$；(3)$-\frac{4}{25}b$；(4)$-3a^2b^2c^2$
【知识点】
单项式除以单项式，同底数幂的除法，整式乘除混合运算
【点评】
本题重点考查整式乘除的运算能力，解题的核心是熟练掌握单项式乘除的运算法则，运算过程中要格外注意符号的判断、系数的约分以及指数的加减规则，养成按顺序运算的习惯，减少粗心失误。
【难度系数】
0.7
