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7. 质检部门从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行模拟测试，结果如下(单位：年)：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
(1) 根据调查结果，三个厂家在广告中都称自己产品的使用寿命是8年，请分析他们各自的理由.
(2) 你认为哪个厂家产品的使用寿命更长一些？说说你的理由.
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
(1) 根据调查结果，三个厂家在广告中都称自己产品的使用寿命是8年，请分析他们各自的理由.
(2) 你认为哪个厂家产品的使用寿命更长一些？说说你的理由.
答案
7. (1) 甲：众数是8；乙的平均数是8，中位数是7；丙：平均数是7.375，中位数是8；甲厂家在广告中用的是中位数；乙厂家在广告中用的是平均数；丙厂家在广告中用的是中位数 (2) 答案不唯一，合理即可
解析
【分析】
(1) 要分析三个厂家称产品使用寿命为8年的理由，需结合统计中反映数据集中趋势的三个特征量：众数、中位数、平均数来判断。我们只需要分别计算三组数据的众数、中位数、平均数，哪个特征量的取值为8，就是对应厂家广告的依据。其中众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后中间位置的数（偶数个数据取中间两个数的平均数），平均数是所有数据之和除以数据总个数。
(2) 判断哪个厂家产品使用寿命更长，可对比三个厂家的平均数、中位数等特征量，选择合理的角度说明理由即可。
【解析】
(1) 分别计算三个厂家产品使用寿命的众数、中位数、平均数：
① 甲厂数据：3，4，5，6，8，8，8，10
众数：8出现的次数最多，共3次，因此众数为8；
中位数：数据排序后第4个为6、第5个为8，中位数为$\frac{6+8}{2}=7$；
平均数：$\frac{3+4+5+6+8+8+8+10}{8}=6.5$
因此甲厂家以众数为广告依据，众数为8年。
② 乙厂数据：4，6，6，6，8，9，12，13
众数：6出现的次数最多，共3次，因此众数为6；
中位数：数据排序后第4个为6、第5个为8，中位数为$\frac{6+8}{2}=7$；
平均数：$\frac{4+6+6+6+8+9+12+13}{8}=8$
因此乙厂家以平均数为广告依据，平均数为8年。
③ 丙厂数据：3，3，4，7，9，10，11，12
众数：3出现的次数最多，共2次，因此众数为3；
中位数：数据排序后第4个为7、第5个为9，中位数为$\frac{7+9}{2}=8$；
平均数：$\frac{3+3+4+7+9+10+11+12}{8}=7.375$
因此丙厂家以中位数为广告依据，中位数为8年。
(2) 示例：乙厂家产品的使用寿命更长。理由：乙厂家产品的平均使用寿命为8年，高于甲厂家的6.5年和丙厂家的7.375年，说明乙厂家产品的整体平均使用寿命更长。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 甲厂家产品使用寿命的众数是8，广告中用的是众数；乙厂家产品使用寿命的平均数是8，广告中用的是平均数；丙厂家产品使用寿命的中位数是8，广告中用的是中位数。
(2) 答案不唯一，合理即可。
【知识点】
平均数；中位数；众数
【点评】
本题结合实际场景考查三类统计特征量的应用，需要掌握不同统计量的计算方法和代表意义，能根据需求选择合适的统计量分析数据特征。
【难度系数】
0.7
(1) 要分析三个厂家称产品使用寿命为8年的理由，需结合统计中反映数据集中趋势的三个特征量：众数、中位数、平均数来判断。我们只需要分别计算三组数据的众数、中位数、平均数，哪个特征量的取值为8，就是对应厂家广告的依据。其中众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后中间位置的数（偶数个数据取中间两个数的平均数），平均数是所有数据之和除以数据总个数。
(2) 判断哪个厂家产品使用寿命更长，可对比三个厂家的平均数、中位数等特征量，选择合理的角度说明理由即可。
【解析】
(1) 分别计算三个厂家产品使用寿命的众数、中位数、平均数：
① 甲厂数据：3，4，5，6，8，8，8，10
众数：8出现的次数最多，共3次，因此众数为8；
中位数：数据排序后第4个为6、第5个为8，中位数为$\frac{6+8}{2}=7$；
平均数：$\frac{3+4+5+6+8+8+8+10}{8}=6.5$
因此甲厂家以众数为广告依据，众数为8年。
② 乙厂数据：4，6，6，6，8，9，12，13
众数：6出现的次数最多，共3次，因此众数为6；
中位数：数据排序后第4个为6、第5个为8，中位数为$\frac{6+8}{2}=7$；
平均数：$\frac{4+6+6+6+8+9+12+13}{8}=8$
因此乙厂家以平均数为广告依据，平均数为8年。
③ 丙厂数据：3，3，4，7，9，10，11，12
众数：3出现的次数最多，共2次，因此众数为3；
中位数：数据排序后第4个为7、第5个为9，中位数为$\frac{7+9}{2}=8$；
平均数：$\frac{3+3+4+7+9+10+11+12}{8}=7.375$
因此丙厂家以中位数为广告依据，中位数为8年。
(2) 示例：乙厂家产品的使用寿命更长。理由：乙厂家产品的平均使用寿命为8年，高于甲厂家的6.5年和丙厂家的7.375年，说明乙厂家产品的整体平均使用寿命更长。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 甲厂家产品使用寿命的众数是8，广告中用的是众数；乙厂家产品使用寿命的平均数是8，广告中用的是平均数；丙厂家产品使用寿命的中位数是8，广告中用的是中位数。
(2) 答案不唯一，合理即可。
【知识点】
平均数；中位数；众数
【点评】
本题结合实际场景考查三类统计特征量的应用，需要掌握不同统计量的计算方法和代表意义，能根据需求选择合适的统计量分析数据特征。
【难度系数】
0.7
8. 一家商场的广告如下：
为庆祝本店开业5周年，特举办真情回报新老顾客活动，本项活动共设奖金20万元，平均每份奖金200元，一等奖1万元，凡在本店购物满100元者均可参加抽奖.
一名顾客幸运地抽中一张奖券，奖金额为10元，他又调查了若干名中奖的顾客，发现奖金均未超过50元，他认为商场广告存在欺骗. 而商场认为广告属实，并出示了下面这张奖金分配表.
你认为商场说“平均每份奖金200元”是否欺骗了顾客？哪个统计量更能反映顾客实际中奖情况？
为庆祝本店开业5周年，特举办真情回报新老顾客活动，本项活动共设奖金20万元，平均每份奖金200元，一等奖1万元，凡在本店购物满100元者均可参加抽奖.
一名顾客幸运地抽中一张奖券，奖金额为10元，他又调查了若干名中奖的顾客，发现奖金均未超过50元，他认为商场广告存在欺骗. 而商场认为广告属实，并出示了下面这张奖金分配表.
你认为商场说“平均每份奖金200元”是否欺骗了顾客？哪个统计量更能反映顾客实际中奖情况？
答案
8. 根据表格中提供的信息，知奖金的平均数为200元，“平均每份奖金200元”并没有欺骗顾客。但由于不同等级的奖金额存在很大差距，对平均数的影响较大，故平均数不能代表一般水平，中奖金额的中位数、众数都是10元，中位数、众数都不受极端值的影响，用10元作为中奖金额的代表较为合适
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步先验证商场宣传的平均奖金是否真实，只需根据奖金分配表分别算出总奖金和总中奖人数，用总奖金除以总人数得到实际平均奖金，和200元对比即可判断是否存在欺骗。第二步分析顾客感知和平均奖金差距大的原因：平均数易受极端高值影响，无法代表大多数人的中奖情况，此时结合中位数、众数的特点，就能判断出更适合反映普通顾客实际中奖情况的统计量。
【解析】
1. 计算总奖金：
$\begin{split}&10000×3 + 6000×10 + 1000×87 + 50×350 + 10×550\\=&30000+60000+87000+17500+5500\\=&200000\ (\mathrm{元})\end{split}$
2. 计算总中奖人数：
$3+10+87+350+550=1000$（个）
3. 计算平均每份奖金：$200000÷1000=200$（元），因此“平均每份奖金200元”的宣传是真实的，商场没有欺骗顾客。
4. 分析合适的统计量：观察数据可知，中奖人数最多的金额是10元，即众数为10元；将1000个中奖金额从小到大排列，第500、501个数据均为10元，即中位数也为10元。平均数受一等奖、二等奖这类高额极端值的影响大，无法反映大多数普通中奖者的情况，而中位数、众数不受极端值影响，更能代表普通顾客的实际中奖水平。
【答案】
根据表格中提供的信息，知奖金的平均数为200元，“平均每份奖金200元”并没有欺骗顾客。但由于不同等级的奖金额存在很大差距，对平均数的影响较大，故平均数不能代表一般水平，中奖金额的中位数、众数都是10元，中位数、众数都不受极端值的影响，用10元作为中奖金额的代表较为合适
【知识点】
平均数；中位数；众数
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景，考查了不同统计量的特点和适用场景，需要我们明确平均数易受极端值影响，中位数、众数更能反映数据的一般集中趋势，学会结合实际需求选择合适的统计量分析问题。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步先验证商场宣传的平均奖金是否真实，只需根据奖金分配表分别算出总奖金和总中奖人数，用总奖金除以总人数得到实际平均奖金，和200元对比即可判断是否存在欺骗。第二步分析顾客感知和平均奖金差距大的原因：平均数易受极端高值影响，无法代表大多数人的中奖情况，此时结合中位数、众数的特点，就能判断出更适合反映普通顾客实际中奖情况的统计量。
【解析】
1. 计算总奖金：
$\begin{split}&10000×3 + 6000×10 + 1000×87 + 50×350 + 10×550\\=&30000+60000+87000+17500+5500\\=&200000\ (\mathrm{元})\end{split}$
2. 计算总中奖人数：
$3+10+87+350+550=1000$（个）
3. 计算平均每份奖金：$200000÷1000=200$（元），因此“平均每份奖金200元”的宣传是真实的，商场没有欺骗顾客。
4. 分析合适的统计量：观察数据可知，中奖人数最多的金额是10元，即众数为10元；将1000个中奖金额从小到大排列，第500、501个数据均为10元，即中位数也为10元。平均数受一等奖、二等奖这类高额极端值的影响大，无法反映大多数普通中奖者的情况，而中位数、众数不受极端值影响，更能代表普通顾客的实际中奖水平。
【答案】
根据表格中提供的信息，知奖金的平均数为200元，“平均每份奖金200元”并没有欺骗顾客。但由于不同等级的奖金额存在很大差距，对平均数的影响较大，故平均数不能代表一般水平，中奖金额的中位数、众数都是10元，中位数、众数都不受极端值的影响，用10元作为中奖金额的代表较为合适
【知识点】
平均数；中位数；众数
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景，考查了不同统计量的特点和适用场景，需要我们明确平均数易受极端值影响，中位数、众数更能反映数据的一般集中趋势，学会结合实际需求选择合适的统计量分析问题。
【难度系数】
0.8
